2023年北京理科數(shù)學(xué)試卷及答案

2023年北京高考數(shù)學(xué)（理科）試題一.選擇題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.已知集合，則()2.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）3.曲線（為參數(shù)）的對(duì)稱中心（）在直線上在直線上在直線上在直線上4.當(dāng)時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）5.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則是為遞增數(shù)列的（）充分且不必要條件必要且不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件6.若滿足且的最小值為-4，則的值為（）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，若，，分別表示三棱錐在，，坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（）（A）（B）且（C）且（D）且有語文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科，成績評(píng)定為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種.若同學(xué)每科成績不低于同學(xué)，且至少有一科成績比高，則稱“同學(xué)比同學(xué)成績好.”現(xiàn)有若干同學(xué)，他們之間沒有一個(gè)人比另一個(gè)成績好，學(xué)科網(wǎng)且沒有任意兩個(gè)人語文成績一樣，數(shù)學(xué)成績也一樣的.問滿足條件的最多有多少學(xué)生（）（A）（B）（C）（D）填空題（共6小題，每小題5分，共30分）復(fù)數(shù)________.已知向量、滿足，，且，則________.設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則的方程為________；漸近線方程為________.若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)________時(shí)的前項(xiàng)和最大.13.把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有_______種.14.設(shè)函數(shù)，，若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為________.三．解答題（共6題，滿分80分）15.（本小題13分）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且（1）求（2）求的長16.（本小題13分）.李明在10場籃球比賽中的投籃情況如下（假設(shè)各場比賽互相獨(dú)立）：（1）從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過的概率.（2）從上述比賽中選擇一個(gè)主場和一個(gè)客場，學(xué)科網(wǎng)求李明的投籃命中率一場超過，一場不超過的概率.記是表中10個(gè)命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，記為李明在這比賽中的命中次數(shù)，比較與的大小（只需寫出結(jié)論）17.（本小題14分）如圖，正方形的邊長為2，分別為的中點(diǎn)，在五棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面與棱分別交于點(diǎn).（1）求證：；（2）若底面，且，求直線與平面所成角的大小，并求線段的長.（本小題13分）已知函數(shù)，求證：；若在上恒成立，求的最大值與的最小值.（本小題14分）已知橢圓，求橢圓的離心率.設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，求直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.20.（本小題13分）對(duì)于數(shù)對(duì)序列，記，，其中表示和兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，對(duì)于數(shù)對(duì)序列，求的值.記為四個(gè)數(shù)中最小值，學(xué)科網(wǎng)對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)組成的數(shù)對(duì)序列和，試分別對(duì)和的兩種情況比較和的大小.（3）在由5個(gè)數(shù)對(duì)組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫出一個(gè)數(shù)對(duì)序列使最小，并寫出的值.（只需寫出結(jié)論）.數(shù)學(xué)（理）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）C（5）D（6）D（7）D（8）B二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）1（10）（11）（12）8（13）36（14）三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（I）在中，因?yàn)?，所以。所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得所?6）（Ⅱ）設(shè)事件A為“在隨機(jī)選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，事件B為“在隨機(jī)選擇的一場客場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，事件C為“在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場和一個(gè)客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6”。則C=，A,B獨(dú)立。根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，.所以，在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場和一個(gè)客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率為.（Ⅲ）.（17）（共14分）解：（I）在正方形中，因?yàn)锽是AM的中點(diǎn)，所以∥。又因?yàn)槠矫鍼DE，所以∥平面PDE，因?yàn)槠矫鍭BF，且平面平面，所以∥。（Ⅱ）因?yàn)榈酌鍭BCDE,所以，.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，,,,,.設(shè)平面ABF的法向量為，則即令，則。所以，設(shè)直線BC與平面ABF所成角為a,則。設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為。因?yàn)辄c(diǎn)H在棱PC上，所以可設(shè)，即。所以。因?yàn)槭瞧矫鍭BF的法向量，所以，即。解得，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為。所以（18）（共13分）解：（I）由得。因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減。從而。（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，“”等價(jià)于“”“”等價(jià)于“”。令，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立。當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減。從而對(duì)任意恒成立。當(dāng)時(shí)，存在唯一的使得。與在區(qū)間上的情況如下：→0→↗↘因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以。進(jìn)一步，“對(duì)任意恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)，即，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立。所以，若對(duì)任意恒成立，則a最大值為，b的最小值為1.（19）解：（I）由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。所以，從而。因此。故橢圓C的離心率。（Ⅱ）直線AB與圓相切。證明如下：設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為，，其中。因?yàn)?，所以，即，解得。?dāng)時(shí)，，代入橢圓C的方程，得，故直線AB的方程為。圓心O到直線AB的距離。此時(shí)直線AB與圓相切。當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，即，圓心0到直線AB的距離又，故此時(shí)直線AB與圓相切。（20）解：（I）=8（Ⅱ）.當(dāng)m=a時(shí)，==因