線性參數(shù)的最小二乘法處理

線性參數(shù)的最小二乘法處理1第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二教學(xué)目標(biāo)最小二乘法是一種在數(shù)據(jù)處理和誤差估計(jì)等多學(xué)科領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，最小二乘法成為參數(shù)估計(jì)、數(shù)據(jù)處理、回歸分析和經(jīng)驗(yàn)公式擬合中必不可少的手段，并已形成統(tǒng)計(jì)推斷的一種準(zhǔn)則。通過本章的學(xué)習(xí)，用戶可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在組合測(cè)量問題的數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用。主菜單結(jié)束2第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)最小二乘法原理線性參數(shù)的最小二乘法非線性參數(shù)的最小二乘法組合測(cè)量主菜單結(jié)束3第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二第一節(jié)最小二乘法原理最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測(cè)量值中尋找最可信賴值的問題。對(duì)某量進(jìn)行測(cè)量，得到一組數(shù)據(jù),不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布,其標(biāo)準(zhǔn)差為測(cè)得值落入的概率主菜單結(jié)束4第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二測(cè)得值同時(shí)出現(xiàn)的概率為最可信賴值滿足權(quán)因子最小二乘法原理

雖然是在正態(tài)分布下導(dǎo)出最小二乘法，實(shí)際上，按誤差或殘差平方和為最小進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷已形成一種準(zhǔn)則。主菜單結(jié)束5第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二第二節(jié)

線性參數(shù)的最小二乘法主菜單結(jié)束6第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二組合測(cè)量基本概念如為精密測(cè)定1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)電容器的電容量測(cè)得值待解的數(shù)學(xué)模型待求量為了獲得更可靠的結(jié)果，測(cè)量次數(shù)總要多于未知參數(shù)的數(shù)目組合測(cè)量，指直接測(cè)量一組被測(cè)量的不同組合值，從它們相互所依賴的若干函數(shù)關(guān)系中，確定出各被測(cè)量的最佳估計(jì)值。主菜單結(jié)束7第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二一、正規(guī)方程組主菜單結(jié)束8第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二線性測(cè)量方程組線性測(cè)量方程組的一般形式為測(cè)量殘差方程組

含有隨機(jī)誤差矩陣形式主菜單結(jié)束9第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二最小二乘法原理式求導(dǎo)正規(guī)方程組正規(guī)方程組解不等權(quán)正規(guī)方程組主菜單結(jié)束10第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二三、標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)

1、直接測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)

（加權(quán)）未知量個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)殘差2、待求量的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)

直接測(cè)量量的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)角元素誤差傳播系數(shù)

3、待求量與的相關(guān)系數(shù)

元素主菜單結(jié)束11第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二【例5-１】為精密測(cè)定1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)電容器的電容量，進(jìn)行了等權(quán)、獨(dú)立、無系統(tǒng)誤差的測(cè)量。測(cè)得1號(hào)電容值，2號(hào)電容值，1號(hào)和3號(hào)并聯(lián)電容值，2號(hào)和3號(hào)并聯(lián)電容值。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。【解】列出測(cè)量殘差方程組

矩陣形式主菜單結(jié)束12第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二正規(guī)方程組主菜單結(jié)束13第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二正規(guī)方程組解即主菜單結(jié)束14第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算代入殘差方程組，計(jì)算

主菜單結(jié)束15第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法測(cè)量殘差方程組

非線性函數(shù)取的初始似值泰勒展開按線性參數(shù)最小二乘法解得

迭代直至滿足精度為止主菜單結(jié)束16第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二【例5-2】在例8-1的基礎(chǔ)上，再增加一次測(cè)量串聯(lián)電容，測(cè)得。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。【解】列出非線性測(cè)量方程組

主菜單結(jié)束17第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二

對(duì)前４個(gè)線性測(cè)量方程組，按例8-1求出解，作為初次近似解

在附近，取泰勒展開的一階近似

主菜單結(jié)束18第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二寫出線性化殘差方程組

整理得正規(guī)方程組

解出

迭代主菜單結(jié)束19第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二6次迭代結(jié)果

表8-2迭代次數(shù)00000.325-0.4250.1501-0.0473-0.03630.04180.278-0.4610.1922-0.0713-0.03730.05430.206-0.4990.2463-0.0472-0.05550.02640.159-0.5040.27340.001980.001050.006280.161-0.4940.2665-0.00113-0.00142-0.001270.160-0.4950.26860.0003150.0004190.0003670.160-0.4950.267主菜單結(jié)束20第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二第四節(jié)

組合測(cè)量問題應(yīng)用舉例主菜單結(jié)束21第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二【例5-3】

要求檢定絲紋尺0，1，2，3刻線間的距離。已知用組合測(cè)量法測(cè)得圖所示刻線間隙的各種組合量。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。主菜單結(jié)束22第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二計(jì)算步驟【解】列出測(cè)量殘差方程組

主菜單結(jié)束23第23頁，共25頁