自旋與全同粒子

自旋與全同粒子第1頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第2節(jié)

電子的自旋算符和自旋函數(shù)電子自旋是純量子特性，不能用經(jīng)典力學(xué)解釋。它與電子的坐標(biāo)和動(dòng)量無(wú)關(guān)，是電子內(nèi)部自由度的表征。電子自旋也由算符表示。由于它是角動(dòng)量，因此電子自旋算符滿足或?qū)懗煞至啃问接捎陔娮幼孕诳臻g任意方向上都只能取兩個(gè)數(shù)值，因此為方便起見(jiàn)，通常引入無(wú)量綱算符——Pauli算符來(lái)描述電子自旋角動(dòng)量Pauli算符滿足的對(duì)易關(guān)系Pauli算符滿足的反對(duì)易關(guān)系證明例題(p2407.1題）證明第2頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第2節(jié)

電子的自旋算符和自旋函數(shù)電子自旋與電子的坐標(biāo)和動(dòng)量無(wú)關(guān)。我們可以考慮自旋空間。取表象Pauli矩陣矩陣的本征矢完整描述電子狀態(tài)需包括電子自旋量子數(shù)。因此電子的波函數(shù)的一般形式為表示電子自旋向上（下）并出現(xiàn)在位型空間dV體積中的概率考慮了電子自旋的歸一化條件變成算符的一般形式變成矩陣形式的算符平均值的一般形式變成第3頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第2節(jié)

電子的自旋算符和自旋函數(shù)例題(p2417.5題）氫原子處于狀態(tài)求的平均值波函數(shù)已歸一化了方法1：狀態(tài)函數(shù)已按這些算符的本征態(tài)展開(kāi)方法2：第4頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第3節(jié)

簡(jiǎn)單（正常）塞曼效應(yīng)考慮氫原子或類氫原子處于外磁場(chǎng)（不失一般，假設(shè)磁場(chǎng)沿z方向）電子磁矩在外磁場(chǎng)中的能量如果磁場(chǎng)足夠強(qiáng)（），外磁場(chǎng)引起譜線分裂現(xiàn)象就稱為簡(jiǎn)單（正常）塞曼效應(yīng)否則就稱為復(fù)雜（反常）塞曼效應(yīng)電子軌道-自旋相互作用能量氫原子或類氫原子處于z方向強(qiáng)外磁場(chǎng)（忽略軌道-自旋相互作用）時(shí)的哈密頓量為能級(jí)分裂由有多少不同值決定即nl固定（l=1)的一個(gè)能級(jí)變成5個(gè)子能級(jí)光譜線分裂總是1->3原子（偶極）選擇定則第5頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第4節(jié)

兩個(gè)角動(dòng)量的耦合電子既有軌道角動(dòng)量又有自旋角動(dòng)量，需要考慮角動(dòng)量相加（耦合）。下面考慮兩個(gè)角動(dòng)量相加的問(wèn)題。這兩個(gè)角動(dòng)量可以是一個(gè)粒子的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量，也可以是兩個(gè)粒子的軌道（或自旋）角動(dòng)量，等等。兩個(gè)獨(dú)立角動(dòng)量之和也是角動(dòng)量，即滿足還可證明彼此對(duì)易=>這四個(gè)算符有構(gòu)成完全集的共同本征矢集已知彼此對(duì)易=>它們有構(gòu)成完全集的共同本征矢集展開(kāi)式Clebsch-Gordon系數(shù)的個(gè)數(shù)第6頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第4節(jié)

兩個(gè)角動(dòng)量的耦合兩個(gè)獨(dú)立角動(dòng)量之和也是角動(dòng)量是耦合表象的基矢兩者聯(lián)系Clebsch-Gordon系數(shù)是無(wú)耦合表象的基矢例題1：電子的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量的耦合例題2：兩個(gè)電子的自旋角動(dòng)量之和容易推廣到多個(gè)獨(dú)立角動(dòng)量之和的情況例題3：兩個(gè)電子的軌道角動(dòng)量之和L-S耦合J-J耦合第7頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第5節(jié)

光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)由相對(duì)論效應(yīng)產(chǎn)生的電子軌道-自旋相互作用氫原子或類氫原子利用微擾理論考慮它對(duì)能級(jí)的修正——導(dǎo)致能級(jí)和光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)零級(jí)結(jié)果無(wú)耦合表象由于用耦合表象可避免簡(jiǎn)并微擾理論中的矩陣對(duì)角化過(guò)程用耦合表象表示零級(jí)結(jié)果簡(jiǎn)并微擾——一級(jí)能量修正一級(jí)能量修正顯式結(jié)果第8頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第6節(jié)全同粒子的特性前面主要討論的是單個(gè)粒子情況，也涉及到了多粒子系統(tǒng)，例如氫原子或類氫原子。經(jīng)典物理：全同粒子可以通過(guò)它們的不同軌道來(lái)區(qū)分——編號(hào)在演化時(shí)保持不混淆現(xiàn)在討論一種特殊的多粒子系統(tǒng)——全同粒子系統(tǒng)全同粒子——質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)秉（或稱固有）性質(zhì)相同的粒子。例如，所有的電子，所有的質(zhì)子，所有的中子，等等量子物理：無(wú)軌道概念,區(qū)分全同粒子有困難——編號(hào)在演化時(shí)可能混淆(玻函數(shù)重疊時(shí))它的推論再互換一次全同性原理(量子力學(xué)基本假定):交換任意兩個(gè)全同粒子不改變?nèi)Ｗ酉到y(tǒng)的狀態(tài)全同性原理導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)必須是對(duì)稱或反對(duì)稱波函數(shù)描述第9頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第6節(jié)全同粒子的特性全同粒子系統(tǒng)必須是對(duì)稱或反對(duì)稱波函數(shù)描述這種對(duì)稱性不隨時(shí)間演化而變化注意全同粒子系統(tǒng)的哈密頓量在經(jīng)典和量子物理中都具有下列不變性顯然，某時(shí)刻是對(duì)稱（反對(duì)稱）的波函數(shù)在任何時(shí)刻都是對(duì)稱（反對(duì)稱）波函數(shù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)（實(shí)際上在相對(duì)論性量子場(chǎng)論可證明由于因果率要求導(dǎo)致下列結(jié)論）全同玻色子(自旋為整數(shù)的粒子)系統(tǒng)由對(duì)稱波函數(shù)描述；它們遵從玻色—愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)全同費(fèi)米子(自旋為半整數(shù)的粒子)系統(tǒng)由反對(duì)稱波函數(shù)描述；它們遵從費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計(jì)自旋為整數(shù)（半整數(shù)）是指自旋量子數(shù)s的取值為整數(shù)（半整數(shù)）電子、質(zhì)子、中子都是自旋1/2的費(fèi)米子光子是自旋1的玻色子第10頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第7節(jié)全同粒子體系的波函數(shù)下面討論全同粒子體系的波函數(shù)怎樣用單個(gè)粒子的波函數(shù)來(lái)構(gòu)成先考慮無(wú)相互作用情況并以兩個(gè)粒子為例說(shuō)明記歸一化對(duì)稱波函數(shù)歸一化反對(duì)稱波函數(shù)對(duì)稱波函數(shù)反對(duì)稱波函數(shù)注意表明此時(shí)不能有合理的反對(duì)稱函數(shù)=>Pauli不相容原理：不能有兩個(gè)(或以更多的)費(fèi)米子處于相同的狀態(tài)歸一化條件例如無(wú)相互作用時(shí)它們是能量本征態(tài)第11頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第7節(jié)全同粒子體系的波函數(shù)N個(gè)全同粒子的波函數(shù)歸一化對(duì)稱波函數(shù)歸一化反對(duì)稱波函數(shù)注意：1）行列式轉(zhuǎn)置后的值不變2）行列式交換2列或行反號(hào)=>上式是反對(duì)稱函數(shù)顯然，當(dāng)態(tài)指標(biāo)中有兩個(gè)或兩個(gè)以上相同時(shí)，上述反對(duì)稱函數(shù)變?yōu)榱?。因此仍有Pauli不相容原理：不能有兩個(gè)(或以更多的)費(fèi)米子處于相同的狀態(tài)無(wú)相互作用時(shí)它們是能量本征態(tài)存在相互作用時(shí)，它們不是能量本征態(tài)，但是可作為對(duì)稱（反對(duì)稱）空間的基矢無(wú)自旋-軌道相互作用時(shí)，波函數(shù)可寫成形式第12頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第8節(jié)兩個(gè)電子的自旋函數(shù)——也適用于質(zhì)子和中子等其它自旋1/2粒子單電子自旋函數(shù)歸一化對(duì)稱波函數(shù)歸一化反對(duì)稱波函數(shù)注意還可證明兩個(gè)電子的自旋函數(shù)和以及上述公式，可證明例題：證明組成正交歸一系正交是顯然的，厄米算符屬不同本征函數(shù)正交第13頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二兩個(gè)自旋1/2粒子交換能的概念兩個(gè)自旋1/2的全同粒子的自旋函數(shù)1）粒子間無(wú)相互作用，用單粒子態(tài)和自旋態(tài)給出3個(gè)最低能態(tài)的波函數(shù)

兩個(gè)質(zhì)量為μ，自旋1/2的全同粒子處于一維無(wú)限深勢(shì)阱

中，忽略自旋相關(guān)力。2）粒子間有相互作用勢(shì)能這可作為微擾。以一階微擾理論計(jì)算第2和第3個(gè)最低能態(tài)的能量（結(jié)果寫出積分形式即可）。一維無(wú)限深勢(shì)阱的定態(tài)能量和定態(tài)波函數(shù)是1）粒子間無(wú)相互作用，兩個(gè)自旋1/2的全同費(fèi)米子體系的波函數(shù)是兩個(gè)自旋1/2的全同粒子的位型空間對(duì)稱和反對(duì)稱函數(shù)是自旋三重態(tài)自旋單態(tài)3個(gè)最低能態(tài)的波函數(shù)基態(tài)-自旋單態(tài)自旋三重態(tài)自旋單態(tài)第一激發(fā)態(tài)第2激發(fā)態(tài)-自旋單態(tài)相應(yīng)能量第14頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期二兩個(gè)自旋1/2粒子交換能的概念兩個(gè)質(zhì)量為μ，自旋1/2的全同粒子處于一維無(wú)限深勢(shì)阱

中，忽略自旋相關(guān)力。2）粒子間有相互作用勢(shì)能這可作為微擾。以一階微擾理論計(jì)算第2和第3個(gè)最低能態(tài)的能量（結(jié)果寫出積分形式即可）。自旋三重態(tài)自旋單態(tài)第一激發(fā)態(tài)第2激發(fā)態(tài)-自旋單態(tài)交換能第2最低的能態(tài)在零級(jí)近似中是四度簡(jiǎn)并，用簡(jiǎn)并微擾理論。由于相互作用能量與自旋無(wú)關(guān)，微擾矩陣是