廣東省廣州市天河區(qū)2023屆高三數(shù)學(xué)二模試卷【含答案】

高三數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知向量，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為8，則（）A．1 B． C．2 D．4．已知隨機(jī)變量的分布列如下：12若，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在上單調(diào)，則的取值集合為（）A． B． C． D．6．若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，則下列結(jié)論正確的為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．38．已知函數(shù)，且恒成立，若恰好有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為（）A． B．C． D．二、多選題9．設(shè)復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的為（）A．是純虛數(shù) B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．10．下列等式能夠成立的為（）A．B．C．D．11．已知圓：，則（）A．圓關(guān)于直線對(duì)稱B．圓被直線截得的弦長(zhǎng)為C．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為D．若點(diǎn)在圓上，則的最小值為512．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（）A．直線可能與平面相交B．三棱錐與三棱錐的體積之和為定值C．當(dāng)時(shí)，與平面所成角最大D．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐的外接球表面積為三、填空題13．函數(shù)的圖象在處的切線方程為14．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁在內(nèi)的6名同學(xué)在比賽后合影留念，若甲、乙二人必須相鄰，且丙、丁二人不能相鄰，則符合要求的排列方法共有種．（用數(shù)字作答）15．如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案．圖形的作法為：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設(shè)原正三角形（圖①）的邊長(zhǎng)為1，將圖①，圖②，圖③，圖④中的圖形周長(zhǎng)依次記為，則．16．在等腰梯形中，已知，，，，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段和上，且，，當(dāng)時(shí)，則有最小值為．四、解答題17．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：.18．在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若角的平分線交于且，求的最小值.19．在四棱錐中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中點(diǎn)，，，.（1）證明：平面EAC.（2）若四棱錐的體積為，求直線EC與平面PAB所成角的正弦值.20．某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在某旅游景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”，為了確定未來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對(duì)該景區(qū)附近五家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天，這五家“農(nóng)家樂”的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)互不相同，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，x為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（單位：元/日），t為入住天數(shù)（單位：天），以頻率作為各自的“入住率”，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x與“入住率”y的散點(diǎn)圖如圖．x100150200300450t9065453020參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，．（1）若從以上五家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查，記為“入住率”超過0.6的農(nóng)家樂的個(gè)數(shù)，求的概率分布列；（2）令，由散點(diǎn)圖判斷與哪個(gè)更合適于此模型（給出判斷即可，不必說明理由）？并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程；（，的結(jié)果精確到0.1）（3）根據(jù)第（2）問所求的回歸方程，試估計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為多少時(shí)，100天銷售額L最大？（100天銷售額L＝100×入住率×收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x）21．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動(dòng)點(diǎn)在上.（1）當(dāng)，且為線段的中點(diǎn)時(shí)，證明：；（2）記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.22．已知定義在上的函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

1．B2．A3．C4．B5．C6．A7．A8．C9．A,D10．B,C11．B,C,D12．B,C,D13．14．14415．16．；17．（1）解：①，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，即，又當(dāng)時(shí)，，解得，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2）證明：由（1）得，，因?yàn)椋?8．（1）解：，即，即.由正弦定理得，，，故.，，故，又，故，故；（2）解：，設(shè)，，根據(jù)向量的平行四邊形法則：，即，，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.19．（1）證明：連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑危允堑闹悬c(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫媲医痪€為，平面，所以平面.設(shè)，則，解得.因?yàn)榈酌媸橇庑危?，所以，?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，則，所以直線EC與平面PAB所成角的正弦值為.20．（1）解：由題意，抽取兩家深入調(diào)查，可能為0，1，2.，，，∴的分布列為：012P（2）解：由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)并非均勻分布在一條直線的兩側(cè)，而是大致分布在一條曲線的兩側(cè)，不符合線性回歸模型要求，∴更合適于此模型，∵∴∴回歸方程為：（3）解：由題意得，，在中當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處取最大值，∴收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為150元/天時(shí)，100天銷售額L最大.21．（1）證明：如圖示：當(dāng)時(shí)，恰為拋物線的焦點(diǎn).由拋物線的定義可得：.取的中點(diǎn)，連接，則為梯形的中位線，所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以.在中，由可得：.因?yàn)闉樘菪蔚闹形痪€，所以，所以，所以.同理可證：.在梯形中，，所以，所以，所以，即.（2）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得.由直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，可設(shè).設(shè)，則，消去可得：，所以，.則.而.所以，解得：.22．（1）解：函數(shù)，，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由得，由得，則在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)