一單項選擇題(本大題共5小題,每小題2分,共10分)精編版-2023修改整理

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦一單項選擇題(本大題共5小題,每小題2分,共10分)精編版

一、單項挑選題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

在每小題列出的四個備選項中惟獨一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1．設f(x)=lnx，且函數(shù)?(x)的反函數(shù)1?-2(x+1)

(x)=

x-1

，則[]?=f(x)（）ABCDx-2x+22-xx+2lnlnlnln

x+2

x-2

x+2

2-x

2．()0

2lim

1costtx

xeedt

x

-→+-=-?（）

A．0

B．1

C．-1

D．∞

3．設00()()yfxxfx?=+?-且函數(shù)()fx在0xx=處可導，則必有（）

.lim0.0.0.xAyByCdyDydy?→?=?==?=

4．設函數(shù),131,1

xxx?≤?->?22xf(x)=，則f(x)在點x=1處（）

A.不延續(xù)

B.延續(xù)但左、右導數(shù)不存在

C.延續(xù)但不行導

D.可導5．設C+?2

-xxf(x)dx=e，則f(x)=（）

2

2

2

2

-x-x-x-xA.xeB.-xeC.2eD.-2e

二、填空題（本大題共10小題，每空3分，共30分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。6.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上有定義，則函數(shù)f(x+

14)+f(x-1

4

)的定義域是__________.7．()()2lim1_________nnaaqaqaqq→∞

+++

+0時，ln(1xx

參考答案

一、單項挑選題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

1．答案：B

2．答案：A

3．答案：A4．答案：C5．答案：D

二、填空題（本大題共10小題，每空3分，共30分）

6．答案：13,44

??????

7．答案：

1aq

-8．答案：0

9．答案：1

4

10

11．答案：（1，2）

12．答案：3

12

xCx-+13．答案：ln2a=

14．答案：21cossin2xxdxdyyy??

-+???

15．答案：()2

114

e--

三、計算題（一）（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

16.答案：()1ln1x

xdxx??-+???

17．答案：-118

C19.答案：

24aπ

20.答案：2'

'

x

yzz

22xZZ2e2exyzxx-==--，

四、計算題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）

21

．答案：002

0Vrhrπ===22．答案：

2

4

π

23.答案：1

五、應用題（本題9分）24.答案：（1）y=2x-1（2）

112，30

π

（2）

所求面積()

1

3

12

2

1121

(1

24312

y

Sdyyy

??

+

==+-=

??

??

?

所求體積()

12

22

11

1

325630

x

Vxdx

πππ

ππ

=-???=-=

?

六、證實題（本題5分）25．證實：

()ln(1

'()ln(

ln(

ln(

1

'()ln(0

fxxx

fxx

x

x

x

x

fxx

=+

∴=++

=+

=

>

∴+>

∴=+>

故當0

x>時()

fx單調(diào)遞增，則()(0),

fxf

>即

ln(1

xx>

三．解答題(每小題7分共28分)

16計算

1

234

lim()

3

→

++

xxx

x

x

解原式=

()

00

1234ln234ln3

lnlimlim

3

lim

xxxxxx

xx

A

xx

x

eee

→→

??

++++-

?

?

??

→

==

00

2ln23ln34ln4ln2ln3ln4limlim

2343

xxx

xxx

xx

A

→→

++++

===

++

原式

===

17．設

2

1

sin

()x

t

fxdt

t

=?，求10()

?xfxdx

解明顯

22

2

2sin2sin

(1)0,()

xxx

ffx

xx

'

===

原式=

11

1

222

00

111

()()()

222

fxdxxfxxfxdx

'

??

=-

??

??

()11

22221

00

1111

2sinsincoscos112222

xxdxxdxx

=-=-==-??

18．設()

23,

wfxyzxyz

=++，f具有二階延續(xù)偏導數(shù)，求

2

,

ww

xxy

??

???解令23,

uxyzvxyz

=++=，則

''12wwuwvffyzxuxvx

?????=+=+?????()()''2'''''''''

'122111*********ffwzyzfffxzzyffxzzfxyyy

???=++?=++++????()''''2''

'111222222fxyzfxyzfzf=++++

19．求擺線???≤≤--=-=)(,cos1sinπ?π?

?

?yx的弧長L

解

Lπ

π

π

πθθ--==

?

?

024sin8cos822dπ

π

π

θ

θθθ?

?===-=???

??

?

四綜合題（共18分）

20．修建一個容積等于1083

m的無蓋長方體蓄水池，應如何挑選水池長、寬、高尺寸，才使它的表面積最小，

并求出它的最小表面積。

解設水池長、寬、高分離為,,xyz()m,則問題是在條件(),,108xyzxyz?=-下，求函數(shù)()220,0,0Sxyyzzx

xyz=++>>>的最小值，作Lagrange函數(shù)

()(),,22108Lxyzxyyzzxxyzλ=+++-

解方程組2022220228xy

zLyzyzLxyxzLxyxyxyzλλλ=++=??=++=??=++=??=?

得唯一可能極值點()6,6,3，由實際問題知表面積最小值存在，所以在長為6m,寬為6m，高為3m時，

表面積最小,最小值為1082

m.21．21、若()fx在[]0,1上延續(xù)，在()0,1內(nèi)有二階導數(shù)，求證

（1）存在()0,12ξ∈，使[](1)2(12)(0)(12)()/2fffffξξ''-+=+-（2）存在()0,1λ∈，使(1)2(12)(0)()/4ffffλ''-+=證實（1）設()[](1()

0,12Fxfxfxx=+-∈，則()Fx在[]0,12上

滿足Lagrage中值定理條件，所以，存在()0,12ξ∈，使

()[][]12(0)()/2(1)(12)(12)(0)FFFffffξ'-==

[](1)2(12)(0)(12)()/2fffffξξ''=-+=+-

（2）由已知還有，()fx'在()(),120,1ξξ+?內(nèi)可導，再次用Lagrage中值定理所以，存在()(),120,1λξξ∈+?，使

(12)()()/2fffξξλ''''+-=

結合（1）有

[](1)2(12)(0)(12)()/2()/4ffffffξξλ''''-+=+-=

試題及答案

一、單項挑選題

1．設),(yxf在點),(ba處的偏導數(shù)存在，則

xbxafbxafx)

,(),(lim0

--+→=。A、0；B、),2(bafx；C、),(bafx；D、),(2bafx。

2．設曲面),(yxfz=與平面0yy=的交線在點)),(,,(000yxfyxo處的切線與x軸正向所成的角為6

π，則。

A、236cos

),(00=

=π

yxfx；B、21)62cos(),(00=-=ππyxfy；

C、336),(00==πtgyxfx；

D、3)6

2(),(00=-=π

πtgyxfy。

3．

0lim=∞

→n

nu

是級數(shù)∑∞

=0

nnu發(fā)散的。

A、須要條件；

B、充分條件；

C、充要條件；

D、既非充分又非須要。4．在區(qū)域D：220xRy-≤

≤上的σdxyD

??2值為。

A、2

Rπ；B、2

4Rπ；C、3

3

2Rπ；D、0。

5．下列函數(shù)中，哪個是微分方程02=-xdxdy的解。

A、xy2=；

B、2

xy=；C、xy2-=；D、2

xy-=。二、是非推斷題（15分）

1．

?+-Lyxydxxdy2

2=0，其中L為圓周12

2=+yx按逆時針轉一周（）2．假如x

???，y???

均存在，則),(yx??=沿任何方向的方向導數(shù)均存在（）

3．以),(yxf為面密度的平面薄片D的質(zhì)量可表為

σdyxfD

??),(。

（）4．)(xf在],0(π上延續(xù)且符合狄利克雷條件，則它的余弦級數(shù)到處收斂，且],0[π上收斂于)(xf。（）

1．微分方程的通解包含了全部的解。（）三、計算題（16分）

1．設),(2

2

xy

eyx

f-=μ，其中f具有一階延續(xù)偏導數(shù)，求x

??μ

，yx???μ2。

2．已知1=++xyzxyz，確定的),(yxzz=，求dz。

四、（10分）求

???

Ω

+dxdydzyx)(2

2的值，其中Ω為曲面zyx222=+和平面2=z所圍成的區(qū)域。五、（12分）驗證：2

2y

xydx

xdy+-在右半平面)0(>x內(nèi)是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。六、（10分）求

dxdyzdydzx2

2+??

∑

，其中∑為22yxz+=和1=z所圍立體邊界的外側。七、（12分）求微分方程???

??='==++''1)(1)(0

2sinππyyxyy的特解。

八、（10分）求∑∞

=+0

1nn

nx的和函數(shù)。

參考答案

一、單項挑選題（15分，每題3分）

1、D；

2、C；

3、A；

4、D；

5、B。二、是非推斷題（15分，每題3分）1、×；2、×；3∨、；4、∨；5、×。三、計算題（16分）

1．

xyyefxfxu

212'+?'=??……4分xyxyxyxyxyxyefefxefyfyexefyfxy

xu

2222211211

2])2([])2([2'+'+''+-''+?''+-''=???2222221212211

222fxyefefxyefeyfexfxyxyxyxyxyxy'+'+''+''-''+''-=……10分2．1-++=xyzxyzF……1分

?

??

??+=+=+=x

yFxzFyzFzyx……3分x

yyzFFxzzx++-=-=??∴

x

yx

zFFyzzy++-

=-=??∴……5分])()[(1

dyzxdzzyyxdz++++-=∴……6分

四、(10分)

dzdddxdydzyx??????=+Ω

2

2

2

3

20

222)(ρπ

ρρθ……6分3

16π

=

……10分五、（12分）22y

xyP+-=

2

2yxx

+=θ=+-=??2

222

2)

(yxxyyPx??θ……4分在右半平面內(nèi)恒成立，因此在右半平面內(nèi)

2

2yxydx

xdy+-是某個函數(shù)的全微分……6分

?

+-=)

,()

0,1(2

2),(yxy

xydx

xdyyxu……8分xy

arctgyxyarctgy

xxdyy

==+=?

00

2

2……12分六、（10分）

dxdyz

dydzx2

2+??∑

dxdydzzx)22(???Ω

+=……4分

???+=11

20

)cos(2r

dzzrrdrdθθπ

……8分

3

2π

=

……10分七、（12分）012

=+rir±=∴……2分

設此方程的特解為：xBxAy2sin2cos*

+=代入原方程得

xxBxA2sin2sin32cos3-=--??

???==∴310BA