2023年吉林高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.已知直線/:"-y-3k+l=0與橢圓￡：三+白=/?！?,〉。）交于A、B兩點(diǎn)，與圓g：（X—3）2+（y—1）2=1

交于C、。兩點(diǎn).若存在左使得恁=麗，則橢圓G的離心率的取值范圍為（）

A.B?卓1）C（0凈口?母」）

2.已知A（4，）'A）是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，半徑為1的圓上的任意一點(diǎn)，將射線。4繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)斗到08交圓

于點(diǎn)8（/,力），貝的最大值為（）

A.3B.2C.eD.75

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑

為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中

積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺(tái)體的體積公式V=；（S上+Js上S下+S下）?〃）.

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

4.在三棱錐S—ABC中，SB=S4=AB=BC=AC=4,SC=2后，則三棱錐S—ABC外接球的表面積是（）

40%,80%404807r

B.------

亍3~9~

5.已知集合人=國(guó)|x>0},B={x|x2~x+b=0},若Ac5={3},貝（］。=（）

A.-6B.6C.5D.-5

6.音樂(lè)，是用聲音來(lái)展現(xiàn)美，給人以聽覺(jué)上的享受，熔鑄人們的美學(xué)趣味.著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂(lè)聲的本質(zhì)，他

證明了所有的樂(lè)聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述，它們是一些形如&sin法的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是

基本音，其余的為泛音.由樂(lè)聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波.下

列函數(shù)中不能與函數(shù)y=0.06sinl8000（k構(gòu)成樂(lè)音的是（）

A.y-0.02sin360000,B.y=0.03sin180000rc.y=0.02sin181800r

D.y=0.05sin540000，

7.已知平面a和直線a,b,則下列命題正確的是（）

A.若a〃b,b//a,則a〃aB.若;bVa,則a〃a

C.若a〃。，bYa,則“_1_。D.若aJ_b，b"a，則

8.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的i的值為99,則判斷框中可以填（)

A.5>1B.5>2C.S>lg99D.S>lg98

9.若函數(shù),V=2s山（2x+e）（|同＜引的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)修,0則函數(shù)/（x）=s加（2x-0）+cos（2x-°）圖象的一條

對(duì)稱軸的方程可以為（）

7137乃\7兀13)

A.X----B.x—C.x—D.x—

24242424

一3,(兀71］的部分圖象如圖所示，則（礪+礪）?麗=（）

10.函數(shù)y=tan|—x——

142

A.6B.5C.4D.3

11.已知函數(shù)/（%）=sin3x+a），其中啰＞0,6e（0,3其圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，對(duì)滿足|/（王）一/?）|=2

的士,x2,有|玉-々1汨=1,將函數(shù)/(X)的圖象向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單

調(diào)遞減區(qū)間是()

A.k7i-%,k兀+%(Z:eZ)B.左左，后萬(wàn)+]?(ZeZ)

.71.51,7t.71

K7t-\——，左乃d-----（丘z）K7r-\------,K7r-\--------伏eZ）

361212

x-\

12.已知,*“)=e-_匚是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式/(x?3)勺(9.2)的解集為()

/+Q

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知a,b均為正數(shù)，且4+8=1,￡11一1的最小值為.

2ab

14.命題“會(huì)<0,Y-2x-l>0”的否定是.

15.角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(1,2),則s加(…)的值是

16.在△ABC中，a=3,b=2?，B=2A,則cosA=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=ln——?^2+x(a>0).

2x

(1)討論函數(shù)Ax)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若大x)有兩個(gè)極值點(diǎn)玉,X2,證明」?「->]一訪2.

18.(12分)如圖1,四邊形A3CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZS4D=60°,E為CD的中點(diǎn)，以5E為折痕將43CE折起

到AP6E的位置，使得平面尸6E_L平面A8CD,如圖2.

(1)證明：平面P43,平面PBE；

(2)求點(diǎn)。到平面Q43的距離.

19.(12分)等差數(shù)列｛4｝中，4=1,4=2%.

(1)求｛《,｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)2=2%,記S”為數(shù)列也｝前"項(xiàng)的和，若S,“=62,求

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=|x+l|-|x+a|.

（1）若。=一1,求不等式/（x）…一1的解集；

（2）若“X/xeR,〃x）<|2a+l|"為假命題，求。的取值范圍.

21.（12分）己知等差數(shù)列｛4｝的公差dwO,4=25,且％,%,%成等比數(shù)列.

（1）求使不等式420成立的最大自然數(shù)〃；

1］1312

（2）記數(shù)列-----的前"項(xiàng)和為，，求證：一丁。4「

4%+iJ2525

22.（10分）某生物研究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長(zhǎng)分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計(jì)該地區(qū)蜻蜓有A8兩種，且這兩種的個(gè)

體數(shù)量大致相等，記A種蜻蜓和3種蜻蜓的翼長(zhǎng)（單位：〃?〃?）分別為隨機(jī)變量X,y,其中X服從正態(tài)分布N（45,25）,

y服從正態(tài)分布N（55,25）.

（I）從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉一只，求這只蜻蜓的翼長(zhǎng)在區(qū)間［45,55］的概率；

（H）記該地區(qū)蜻蜓的翼長(zhǎng)為隨機(jī)變量Z,若用正態(tài)分布'（40：）來(lái)近似描述Z的分布，請(qǐng)你根據(jù)（I）中的結(jié)果,

求參數(shù)〃o和。。的值（精確到0.D;

（山）在（II）的條件下，從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉3只，記這3只中翼長(zhǎng)在區(qū)間［42.2,57.8］的個(gè)數(shù)為卬，求W的

分布列及數(shù)學(xué)期望（分布列寫出計(jì)算表達(dá)式即可）.

注:若X~N1出吟,貝！JP（〃-0.64b4X4〃+0.64cr）Q0.4773,P（//-cr<X<//+cr）?0.6827,

P（〃-X<〃+2b）k0.9546.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

由題意可知直線過(guò)定點(diǎn)即為圓心，由此得到A5坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)差法得到直線的斜率攵與A3坐標(biāo)的關(guān)系，由

此化簡(jiǎn)并求解出離心率的取值范圍.

【詳解】

設(shè)Aa，y）,6（w，%），且線/：依一丁一3%+1=0過(guò)定點(diǎn)（3,1）即為G的圓心,

x+x=x+x=2x3=6

因?yàn)閊月，所以，}2cD

,+>2=汽+%=2x1=2

又因?yàn)槿?士:‘所以），

所以匕春，所以『豹一刊,

x}-x2a

所以JwH'所以4:E'所以(1一/)￡

aL33Ja|_33」'7\_33

山|、］下）在

所以ee-.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了橢圓離心率求解以及點(diǎn)差法的運(yùn)用，難度一般.通過(guò)運(yùn)用點(diǎn)差法達(dá)到“設(shè)而

不求”的目的，大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.

2.C

【解析】

24

設(shè)射線。4與x軸正向所成的角為￡，由三角函數(shù)的定義得以=sina,yB=sin（?+y）,

2yA+%=-sina+^cosa，利用輔助角公式計(jì)算即可.

22

【詳解】

設(shè)射線0A與x軸正向所成的角為a，由已知，4=cosa,〉A(chǔ)=sina,

/2萬(wàn)、?/27r、27r

xB=cos(a+—yB=sm(a+—),所以2y.+>B=2sina+sin(6z+—)

」且。且。

2sinasina+sa=%na+sa=V3sin(a+—)<5/3,

22226

jr

當(dāng)a=§時(shí)，取得等號(hào).

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型函數(shù)的最值問(wèn)題，涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識(shí)，是一道容易題.

3.B

【解析】

試題分析：根據(jù)題意可得平地降雨量gx9x（102%+J*x62?+62〃）故選B.

=-----------高-----------=3

考點(diǎn)：1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；2.圓臺(tái)的體積.

4.B

【解析】

取A3的中點(diǎn)。，連接S。、CD,推導(dǎo)出NSOC=9（X，設(shè)設(shè)球心為。，AABC和ASAB的中心分別為￡、F,

可得出平面ABC,。尸，平面&3,利用勾股定理計(jì)算出球。的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.

【詳解】

取AB的中點(diǎn)O,連接S。、CD,

由八%8和AABC都是正三角形，得SO_LAB,CD1AB,則SO=CD=4xY2=2百，則

2

SD2+CD2=（2XA）?+（2^）2=（276）2=SC2,由勾股定理的逆定理，得/SOC=9（T.

設(shè)球心為0,AABC和ASAB的中心分別為￡、F.

由球的性質(zhì)可知：QEJ_平面ABC,0尸，平面SAB,

又0E=DF=0E=0F=4x叵義＞二士叵，由勾股定理得0D=y/OE2+DE2=皂5

2333

所以外接球半徑為R=yJOD2+BD2

373

/I—、2

所以外接球的表面積為S=4?R2=4%迎=—.

I3）3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算，解題時(shí)要分析幾何體的結(jié)構(gòu)，找出球心的位置，并以此計(jì)算出球的半徑長(zhǎng)，考

查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

5.A

【解析】

由AcB={3},得3eB,代入集合B即可得b.

【詳解】

?.■AnB={3},,-.3G5,:.9-3+h^0,即：b=-6,

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

由基本音的諧波的定義可得力=*5WN"）,利用/=工=，可得囚=〃叱（〃eN*）,即可判斷選項(xiàng).

T2%

【詳解】

由題，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波，

由/=1=R，可知若工=初（〃eN*）,則必有例=〃處（〃eN*）,

T2萬(wàn)

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.

7.C

【解析】

根據(jù)線面的位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

A：當(dāng)aua時(shí)，也可以滿足a〃。，b//a,故本命題不正確；

B：當(dāng)aua時(shí)，也可以滿足bVa,故本命題不正確;

C：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知：當(dāng)。〃8，bVa,時(shí)，能得到故本命題是正確的;

D：當(dāng)aua時(shí)，也可以滿足b//a,故本命題不正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面的位置關(guān)系，考查了平行線的性質(zhì)，考查了推理論證能力.

8.C

【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

運(yùn)行該程序：

第一次，i=l,S=lg2；

3

第二次，i=2,S=lg2+lg-=lg3;

4

第三次，i=3,S=lg3+lg-=lg4,

第九十八次，i=98,S=lg98+lg—=lg99；

第九十九次，i=99,S=lg99+lg詈=lgl00=2,

此時(shí)要輸出i的值為99.

此時(shí)S=2>/g99.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，涉及判斷條件的選擇，屬基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

由點(diǎn)求得。的值，化簡(jiǎn)/（X）解析式，根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，求得/（X）的對(duì)稱軸，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

由題可知2s山（2*3+夕］=（）,刨<g.e=_￡

）.兀兀

所以/(力sin]2x+—+cos2x+?=V2sin2x-\-----1——=yjlsin2x+—

I6J64【12

令2x+—=—+k兀,keZ,

122

xg7ikji.—

得x=-----1-------、kGZ

242

..?337萬(wàn)

令攵=3,得兀=----

24

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，屬于中檔題.

10.A

【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果.

【詳解】

/4JI

由圖象得，令y=tan—x--=0,即一x----=kn,k&Z

[4242

A=0時(shí)解得x=2,

.，（萬(wàn)萬(wàn)、nr,萬(wàn)口7t

4-y=tan—x——|=1,即一》——=一解得

（42）424x=3,

.?.4(2,0),5(3,1),

.?.礪=(2,0),礪=(3,1),通=(1,1),

.?.(厲+網(wǎng)?通=(5,1>(1,1)=5+I=6.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖

象求出坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果，屬于簡(jiǎn)單題.

11.B

【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)/(X)兩個(gè)對(duì)稱軸的距離也即是半周期，由此求得力的值，結(jié)合其對(duì)稱軸，求得。的值，進(jìn)而求得

“X)解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得g(x)的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)

間.

【詳解】

解：已知函數(shù)/(x)=sin(5+e),其中口〉0,0￡(嗚)’其圖像關(guān)于直線x=?對(duì)稱，

對(duì)滿足|/(玉)_/(%2)|=2的X],X2,有ki—/Lin=，'啰=2.

TTTTTT

再根據(jù)其圖像關(guān)于直線x=±對(duì)稱，可得2x丁+6=%%+1，ZeZ.

662

,6=7，/(x)=sin(2x+2).

將函數(shù).f(x)的圖像向左平移y個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)=sin[2尤+￡+g]=cos2x的圖像.

6I36J

JI

令2人"42%<2女"+萬(wàn)，求得<攵〃+一,

2

7t

則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是k7r,k7T+-,kwZ,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中

檔題.

12.C

【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得4=1,進(jìn)而可知/(x)在R上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化條件得x-3<9-f,解一元二次不等式即可得解.

【詳解】

因?yàn)?G)=是定義在K上的奇函數(shù)，所以〃1)+/(T)=O，

1-1

P—\—\9

即——+T—=0,解得4=1,即/(x)=—i=l--—,

e+al+a''e'+le'+l

e

易知/(x)在R上為增函數(shù).

又〃九一3)</(9-d),所以x_3<9—f,解得T<x<3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.72

【解析】

本題首先可以根據(jù)a+8=1將史士-1化簡(jiǎn)為7+—>然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.

2abb2a

【詳解】

因?yàn)镼+Z?=l,

―/+11/+（。+。）21ab.[a~b~大

2ab2ahh2a\b2a

Z7b

當(dāng)且僅當(dāng)丁=丁，即a=0—1、b=2-夜時(shí)取等號(hào)，

b2a

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)基本不等式求最值，基本不等式公式為a+。？2J茄（a。力>0）,在使用基本不等式的時(shí)候要注意“=”

成立的情況，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

14.Vx<0,X2-2X-1<0

【解析】

根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到結(jié)果即可.

【詳解】

解：因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以，命題lv<0,x2-2x-l>0,

則該命題的否定是：Vx<0,X2-2X-1<0

故答案為：Vx<0,X2-2X-1<0.

【點(diǎn)睛】

本題考查全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

15.述

5

【解析】

計(jì)算Sina=y=拽，再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算得到答案.

r5

【詳解】

由題意可得x=Ly=2,r=非，sina=—=,/.sin(.n-a)=sina=.

r55

故答案為：拽

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)定義，誘導(dǎo)公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

V6

lfio.--

3

【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解.

【詳解】

==

解：a3fb-2-\/6,B2Af

a_b_b

，由正弦定理可得:

sinAsinB2sinAcosA

.…八亞』

2a2x33

故答案為逅.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)求得函數(shù)“X)的定義域和導(dǎo)函數(shù)/'(x),對(duì)。分成a=0,aN),0<a<：三種情況進(jìn)行分類討論，判斷出/(%)

88

的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

]/(X,)+/(X,)a1

(2)由(1)知ae(0,-),結(jié)合韋達(dá)定理求得不々的關(guān)系式，由此化簡(jiǎn)為~小一的表達(dá)式為2alnt+-+2a,

8X+%222

a13)+/(%)3..

通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得2aln土+L+2a>'—ln2,由此證得‘"八一>:一殖2成立.

224%+94

【詳解】

(1)函數(shù)f(%)=In———ax?+x=-In2*-雙2+x的定義域?yàn)閤e(0,+oo)

2x

得/(x)=-2ax+1=2ax+'--,xG(0,4-oo),

xx

(i)當(dāng)q=0時(shí)；f(x)=-~~-,

x

因?yàn)閄￡(0,l)時(shí)，/'(x)<o,X￡(l,+8)時(shí)，f(x)>0,

所以X=1是函數(shù)/(X)的一個(gè)極小值點(diǎn)；

(?)若a〉0時(shí)，

若A=l-8aW0,即aN」時(shí)，f'(x)<Q,

8

/(x)在(0,+8)是減函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn).

若A=l—8a>0,即0<4<1時(shí)，

8

f(x)=2ax2-x+1=0有兩根X]%]+x=—>0,xx=—>0,

-22at2-2a

%>0,x2>0不妨設(shè)0<%<々

當(dāng)X€(0,X])和X€*2，+°°)時(shí)，f\x)<0,

當(dāng)時(shí)，/'(x)>o,

???西,公是函數(shù)/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，

綜上所述a=0時(shí)，/(X)僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

a之。時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn)；0<。<：時(shí)，.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).

OO

(2)由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)aw(0,：)時(shí)，Ax)有極小值點(diǎn)%和極大值點(diǎn)超,且％,々是方程2以2-1+1=0的兩

O

根，

11e

.,.%)+%2=—,xx=—,貝！J

2a(22a

/(再)+/(々)“1.12、c、

所以----------=——(In--------cix^2+玉4~In--------CLX2+)?(2Q)

玉+々2%j2X2

=[-(In2x,+In2%2)-a(尤:+x；)+(%+/)]?2a

2

=[-ln(4xIx2)-6f(x1+x；)++x2)]-2a

一2z1111小

=[-In—Q(------)H------J,2a

a46ra2a

-Cl1y1.__.6?1.

=(zIn---------Fid----)?2。=2。In—H----F2。

24a2a22

設(shè)g(。)=2aln@+，+2。,貝!jg(a)=21n@+4,又。￡(0-)，即。

2228216

所以.(0)=214+4<21J+4=-41n4+4<0

216

113

所以g(a)是(0,-)上的單調(diào)減函數(shù)，g(a)>g(-)=:-In2

884

/(%.)+/(x)3._

???/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)內(nèi)，%,則j9

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與

轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

18.(1)證明見解析(2)B

2

【解析】

(1)由題意可證得PELAB，AB±BE,所以AB,平面PBE,則平面平面P3E可證；

(2)解法一：利用等體積法由%一仞8=%-貓8可求出點(diǎn)。到平面Q鉆的距離；解法二：由條件知點(diǎn)。到平面R鉆的

距離等于點(diǎn)E到平面E鉆的距離，過(guò)點(diǎn)E作P3的垂線，垂足尸，證明斯，平面2鉆，計(jì)算出所即可.

【詳解】

解法一：(1)依題意知，因?yàn)镃EL8E,所以PE上BE.

又平面平面ABC。，平面PBEc平面A8CD=BE,PEu平面PBE,

所以PEL平面A8CO.

又ABi平面ABC。，

所以PE_LA3.

由已知，ABCD是等邊三角形，且E為C。的中點(diǎn)，所以BELCD.

因?yàn)锳B//CD,所以AB,8E.

又PEcBE=E,所以平面P3E.

又ABi平面Q45,所以平面R48,平面P3E.

p

（2）在A8￡>中，AB=AD=2,440=60。，所以％加=6.

由（1）知，PEJ_平面43￡>,且PE=1，

所以三棱錐P—45。的體積V=」xgxl=且.

33

在RfAPBE中,PE=LBE=日得PB=2,

由（1）知，ABL平面P8E,所以

所以%肝=2，

設(shè)點(diǎn)。到平面Q46的距離4，

則三棱錐E—P4B的體積V'='x2xd=@,得［=立.

332

解法二：（1）同解法一；

（2）因?yàn)镈E//AB,ABI平面Q4B,?！甓矫鍽4B,

所以DE〃平面Q46.

所以點(diǎn)E到平面PAB的距離等于點(diǎn)D到平面PAB的距離.

過(guò)點(diǎn)E作月？的垂線，垂足/，即EFLPB.

由（1）知，平面B4B_L平面P3E,平面加8c平面EFu平面PBE,

所以所，平面B46,即所為點(diǎn)。到平面4鉆的距離.

由（1）知，PELBE,

在RrAPBE中，PE=1，BE=4?>.得PB=2.

又PExBE=PBxEF,所以EF=也.

2

所以點(diǎn)。到平面的距離為也.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間面面垂直的的判定及點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.求點(diǎn)

到平面的距離一般可采用兩種方法求解：①等體積法；②作(找)出點(diǎn)到平面的垂線段，進(jìn)行計(jì)算即可.

19.(1)an=〃(2)m=5

【解析】

(1)由基本量法求出公差△后可得通項(xiàng)公式；

(2)由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求得S“，可求得〃?.

【詳解】

解：(1)設(shè)｛a,,｝的公差為4,由題設(shè)得

an=1+-l)d

因?yàn)?=2%，

所以1+(6-l)d=2口+(3-1)”]

解得d=l,

故a“=n.

(2)由(1)得，=2".

所以數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以S.=￡—=2"+I_2,

由￡=62得2，用_2=62,

解得m-5.

【點(diǎn)睛】

本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，解題方法是基本量法.

20.(1)一；，+°0]

(2)[-2,0]

【解析】

(D)當(dāng)a=T時(shí)，將函數(shù)/(x)寫成分段函數(shù)，即可求得不等式的解集.

(2)根據(jù)原命題是假命題，這命題的否定為真命題，即“HxwR,/(x).12a+l卜為真命題，只需滿足

〃力皿.」2。+1|即可.

【詳解】

—2,x<—1,

解：(1)當(dāng)a=-l時(shí)，/(x)=|x+l|-|x-l|=<2x,-l<x<l,

2,x>1.

由1,得.

「1、

故不等式/(X)…—1的解集為-弓，+8.

(2)因?yàn)椤癡xeR,/(x)<|2a+l|"為假命題，

所以“HxeR,/(x)..|2a+l卜為真命題，

所以/(力“」2。+11?

因?yàn)镴(x)=|x+l|-|x+a|”|(x+l)—(％+a)Ha—II，

所以/(x),皿=1。一1|，則|。一1|…|2a+l|,所以(a—l)2..(2a+l『，

即/+2。40,解得一2領(lǐng)b0,即。的取值范圍為[—2,0].

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對(duì)值不等式的解法，以及絕對(duì)值三角不等式，屬于基礎(chǔ)題.

21.(1)〃=13;(2)證明見解析

【解析】

(D根據(jù)為,如，心成等比數(shù)列，有*=。「如，結(jié)合公差dHO,4=25,求得通項(xiàng)，再解不等式a,,20.

111(11、

(2)根據(jù)(1)——=1—一