高考中立體幾何和三棱柱

./1.[2012高考XX文20]〔本小題滿分12分,〔Ⅰ小問4分,〔Ⅱ小問8分已知直三棱柱中,,,為的中點(diǎn)?！并袂螽惷嬷本€和的距離；〔Ⅱ若,求二面角的平面角的余弦值。[解析]〔Ⅰ如答〔20圖1,因AC=BC,D為AB的中點(diǎn),故CDAB。又直三棱柱中,面,故,所以異面直線和AB的距離為〔Ⅱ：由故面,從而,故為所求的二面角的平面角。因是在面上的射影,又已知由三垂線定理的逆定理得從而,都與互余,因此,所以≌,因此得從而所以在中,由余弦定理得2.[2012高考新課標(biāo)文19]〔本小題滿分12分如圖,三棱柱ABC－A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=eq\f<1,2>AA1,D是棱AA1的中點(diǎn)CBADC1A1CBADC1A1〔Ⅱ平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.[答案]3.[2012高考XX文18]〔本小題滿分12分直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,=〔Ⅰ證明;〔Ⅱ已知AB=2,BC=,求三棱錐 的體積[答案]4.[2012高考XX文18]<本小題滿分12分>如圖,直三棱柱,,AA′=1,點(diǎn)M,N分別為和的中點(diǎn)。<Ⅰ>證明：∥平面;<Ⅱ>求三棱錐的體積?！沧刁w體積公式V=Sh,其中S為地面面積,h為高5.[2012高考XX16]〔14分不同于點(diǎn),且為的中點(diǎn)．求證：〔1平面平面；〔2直線平面．[答案]證明：〔1∵平面。又∵平面,。又∵平面,平面。又∵平面,平面平面?！?∵為的中點(diǎn),。又∵平面,且平面,。又∵平面,,平面。由〔1知,平面,∥。又∵平面平面,直線平面6.〔2013新課標(biāo)Ⅱ18．〔本小題滿分12分如圖,直棱柱中,分別是的中點(diǎn),．〔Ⅰ證明：平面；〔Ⅱ求二面角的正弦值．7.〔2013新課標(biāo)1卷18如圖,三棱柱中,ABCC1A1ABCC1A1B1〔1證明：；〔2若平面平面,,求直線與平面所成角的正弦值解：〔Ⅰ取AB中點(diǎn)E,連結(jié)CE,,,∵AB=,=,∴是正三角形,∴⊥AB,∵CA=CB,∴CE⊥AB,∵=E,∴AB⊥面,∴AB⊥；……6分〔Ⅱ由〔Ⅰ知EC⊥AB,⊥AB,又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,∴EA,EC,兩兩相互垂直,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,||為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,有題設(shè)知A<1,0,0>,<0,,0>,C<0,0,>,B<－1,0,0>,則=〔1,0,,==<－1,0,>,=<0,－,>,……9分設(shè)=是平面的法向量,則,即,可取=〔,1,-1,∴=,∴直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為8.〔2013北京卷理17如圖,在三棱柱中,是邊長(zhǎng)為的正方形,平面平面,.C1B1A1C1B1A1CBA〔2求二面角的余弦值；〔3證明：在線段上存在點(diǎn),使得,并求的值。解：〔=1\*ROMANI因?yàn)锳A1C1C為正方形,所以AA1⊥AC.因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC,所以AA1⊥平面ABC.<=2\*ROMANII>由〔=1\*ROMANI知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由題知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－,則B<0,3,0>,A1<0,0,4>,B1<0,3,4>,C1<4,0,4>,設(shè)平面A1BC1的法向量為,則,即,令,則,,所以.同理可得,平面BB1C1的法向量為,所以.由題知二面角A1－BC1－B1為銳角,所以二面角A1－BC1－B1的余弦值為.<=3\*ROMANIII>設(shè)D是直線BC1上一點(diǎn),且.所以.解得,,.所以.由,即.解得.因?yàn)?所以在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B.此時(shí),.9.〔2013XX卷理19如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,,,分別是線段的中點(diǎn),是線段的中點(diǎn)．〔Ⅰ在平面內(nèi),試作出過點(diǎn)與平面平行的直線,說明理由,并證明直線平面；〔Ⅱ設(shè)〔Ⅰ中的直線交于點(diǎn),交于點(diǎn),求二面角的余弦值．解：如圖,在平面內(nèi),過點(diǎn)做直線//,因?yàn)樵谄矫嫱?。在平面內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知,//平面.由已知,,是的中點(diǎn),所以,,則直線.因?yàn)槠矫?所以直線.又因?yàn)樵谄矫鎯?nèi),且與相交,所以直線平面.…………….6分解法一:連接,過作于,過作于,連接.由知,平面,所以平面平面.所以平面,則.所以平面,則.故為二面角的平面角<設(shè)為>.設(shè),則由,,有,.又為的中點(diǎn),所以為的中點(diǎn),且,在中,;在中,.從而,,,所以.所以.故二面角的余弦值為.………………12分解法二:設(shè).如圖,過作平行于,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系<點(diǎn)與點(diǎn)重合>.則,.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以分別為的中點(diǎn),故,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即故有從而取,則,所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即故有從而取,則,所以.設(shè)二面角的平面角為,又為銳角,則.故二面角的余弦值為.………………12分10.〔2013XX卷文17如圖,在直棱柱中,,,,是中點(diǎn),點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)。ABCDABCDABCE〔2當(dāng)異面直線所成的角為時(shí),求三棱錐的體積。解：<Ⅰ>..<證畢>〔Ⅱ..11.〔2