1.2.1 解決有關測量距離的問題

解三角形備課人：劉老師1.2應用舉例1.2.1解決有關測量距離的問題從容說課解斜三角形知識在實際問題中有著廣泛的應用，如測量、航海等都要用到這方面的知識．對于解斜三角形的實際問題，我們要在理解一些術語（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基礎上，正確地將實際問題中的長度、角度看成三角形相應的邊和角，創(chuàng)造可解的條件，綜合運用三角函數(shù)知識以及正弦定理和余弦定理來解決．學習這部分知識有助于增強學生的數(shù)學應用意識和解決實際問題的能力．本節(jié)的例1、例2是兩個有關測量距離的問題.例1是測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，例2是測量兩個不可到達的點之間距離的問題.對于例1可以引導學生分析這個問題實際上就是已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，從而可以用正弦定理去解決．對于例2首先把求不可到達的兩點A、B之間的距離轉(zhuǎn)化為應用余弦定理求三角形的邊長的問題，然后把求未知的BC和AC的問題轉(zhuǎn)化為例1中測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．教學重點分析測量問題的實際情景，從而找到測量距離的方法.教學難點實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化思路的確定，即根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖．教具準備三角板、直尺、量角器等三維目標一、知識與技能能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語，如:坡度、俯角、方向角、方位角等.二、過程與方法1.首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊．其次結(jié)合學生的實際情況，采用“提出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓練”的教學過程，根據(jù)大綱要求以及教學內(nèi)容之間的內(nèi)在關系，鋪開例題，設計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題．對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，引導學生從多角度發(fā)現(xiàn)問題并進行適當?shù)闹更c和矯正．2.通過解三角形的應用的學習,提高解決實際問題的能力.三、情感態(tài)度與價值觀1.激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,并體會數(shù)學的應用價值；2.通過解斜三角形在實際中的應用,要求學生體會具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學問題,以及數(shù)學知識在生產(chǎn)、生活實際中所發(fā)揮的重要作用.同時培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號表達題意和應用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題的能力．教學過程導入新課師前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施．如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性．于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的．今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離．推進新課解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確作出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解.［例題剖析］【例1】如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B兩點的距離.(精確到0.1m師（啟發(fā)提問）1：△ABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪個定理比較恰當？師（啟發(fā)提問）2：運用該定理解題還需要哪些邊和角呢？請學生回答．生從題中可以知道角A和角C，所以角B就可以知道，又因為AC可以量出來，所以應該用正弦定理．生這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊．解：根據(jù)正弦定理，得，≈65.7(m).答:A、B兩點間的距離為65.7米.[知識拓展]變題：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于Akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30°，燈塔B在觀察站C南偏東60°，則A、B之間的距離為多少？老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型．解略：km.【例2】如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法[教師精講]這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題．首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點．根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊即可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出A、B的距離．解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=A，并且在C、D兩點分別測得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，應用正弦定理得，∴.答：我艦航行的方向為北偏東50°-arcsin.[方法引導]師你能歸納和總結(jié)解斜三角形應用題的一般方法與步驟嗎？生①分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖．②建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型．③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解．④檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解．生即解斜三角形的基本思路：師解斜三角形應用題常見的會有哪幾種情況？生實際問題經(jīng)抽象概括后，已知與未知量全部集中在一個三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之．生實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個三角形中，這時需按順序逐步在兩個三角形中求出問題的解．生實際問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理．某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛．公路的走向是M站的北偏東40°．開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米．問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽車站？解：由題設，畫出示意圖，設汽車前進20千米后到達B處．在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得,則,,所以sin∠MAC=sin（120°-C）=sin120°cosC-cos120°sinC=.在△MAC中，由正弦定理得，從而有MB=MC-BC=15.答：汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站．課堂小結(jié)通過本節(jié)學習