不定積分求解方法

探討不定積分的解題方法班級學(xué)號姓名201241112012411151楊潔珊摘要在數(shù)學(xué)分析中，不定積分占有非常重要的地位，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn).具有很高的靈活性，可以開拓學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力，同時還存在一題多解的方法使學(xué)生能過做到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果。為了正確使用各種積分方法求解不定積分，我們必須掌握它的概念和性質(zhì)以及積分的基本公式，才能夠在以后的解題中做題自如，進(jìn)行同類遷移。研究不定積分要重在提高自己的邏輯思維能力、科學(xué)分析能力、運(yùn)用數(shù)學(xué)語言能力、聯(lián)想運(yùn)算能力以及應(yīng)用能力。求解不定積分的過程對學(xué)生的科學(xué)思維和文化素質(zhì)的培養(yǎng)所起的作用極為明顯。求解不定積分的方法主要有直接積分法（即直接利用積分公式求解）、換元積分法（第一換元積分法、第二換元積分法）、分部積分法。關(guān)鍵詞不定積分、直接積分法、換元積分法、分部積分法、分解積分法。刖言正如假發(fā)有逆運(yùn)算減法，乘法有其逆運(yùn)算除法一樣，微分法也有它的逆運(yùn)算一一積分法。我們已經(jīng)知道微分法的基本問題是研究如何從已知函數(shù)求出它的導(dǎo)函數(shù)，相反：求一個未知函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)恰好是某一已知函數(shù)。提出這個逆問題，首先是因?yàn)樗霈F(xiàn)在許多實(shí)際問題之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲線上每一點(diǎn)處的，求曲線方程等等這些都是積分在生活中的應(yīng)用，特別是在物理學(xué)中的應(yīng)用，變力做功，質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動的路程以及引力問題。所以掌握不定積分的求法，在我們的數(shù)學(xué)物理科學(xué)研究工作中顯得尤為重要。標(biāo)題一、直接積分法我們已經(jīng)知道積分法是微分的逆運(yùn)算，即直接積分法就是利用最基本的積分公式求解積分。要掌握這一方法首先就應(yīng)該熟記，并懂得靈活運(yùn)用。下面的基本積分表就必須掌握1.0dxcadxaxc2xa1xadxca0,x03.a11..4_dxlnxcx04x5.exexcaxdxc(a0,a1)lnxjcosaxdx=1sinax+c18jsinaxdx=-_cosax+c（a豐0）a9jsec2xdx=tanx+c（a豐0）10.jcsc2xdx=tanx+c11.jsecxtanxdx=secx+c12.1cscx.cotxdx=-cscx+cdx…_.13J=arcsinx+c=-arccosx+cJ1一x214.j打dx=arctanx+c=一arccotx+c'1+x2dx1x-a,15.j=IniI+cx2-a22ax+a16』secxdx=InIsecx+tanxI+c在實(shí)際計(jì)算中最重要的是要把復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為熟悉的積分公式，如下幾種情況(1).假分式化為真分式方法：分母不改變，對分子進(jìn)行拼湊，轉(zhuǎn)化為真分式。例：

%6+1,J]dxx6+x4—x4—x2+2x2+2—17TOC\o"1-5"\h\z=Jdxx2+1fx4(x2+1)—x2(x2+1)+2(x2+1)—1x2+1x2+1=jx/x-jx2+j2』x-J1dxx2+111-x5—x3+2x—arctanx+C53(2).復(fù)雜的三角函數(shù)利用積化和差公式轉(zhuǎn)化為熟悉的積分公式l.sin(a+P)=sinacosP+cosasinP2.sin(a-P)=sinacosP一cosasinP3.cos(a+P)=cosacosP—sinasinP4.cos(a—P)=cosacosP+sinasinP5sin(a+P)—sin(a—P)]=2cosasinPsin(a+P)+sin(a-P)卜2sinacosPcos(a-P)-cos(a+P)]=2sinasinPcos(a-P)+cos(a+P)]=2cosacosP

12.cosa一cosP=2sin%+P、sin-P、I2JI2Jjsin2④故例i：求9.sina+sinP=2sin9.sina+sinP=2sin，以+P、cos12>12J10.sina-sinp=2sinfa-(3)cos1l.cosa+cosP=2coscosjsin2xdx解：TOC\o"1-5"\h\z[1-COS2x1ff,fc/)l1。=Jax=_Ydr—Jcos2xdx^=_x-_sin2x+2224(利用到公式7)心八_pjcos3x.sinxdx(11.)一cos4x+_sin2x+c2l42J例2：求?cos3x.sinxdx=(11.)一cos4x+_sin2x+c2l42J（利用公式5）標(biāo)題二、換元積分法所謂不定積分的換元法，其實(shí)質(zhì)就是：當(dāng)直接求某個積分不能轉(zhuǎn)化為積分公式時，則通過換元轉(zhuǎn)化。?定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，中(t)在在區(qū)間J上可導(dǎo)，且中(J)wI。(1)、第一換元法：如果不定積分jf(x認(rèn)=F(x)dx+c在I上存在，則不定積分jf(甲(t))p,(t)dt在J上也存在，且jf(甲(t))p'(t)dt=F(甲(t))+c。該方法的基本思路是把所求的被積函數(shù)通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后，化成積分公式中的某一被積形式，然后代入積分公式求出結(jié)果，所以，也稱為“湊微分法”。基本步驟是湊微分一換元一積分一回代。(2)、第二換元法：如果x=,(t)在J上存在反函數(shù)t=H(x)，xeI，且不定積分jf(x)dx在I上存在，則當(dāng)不定積分jf(x認(rèn)=G(p-i(x))+C?；静襟E：換元t積分T回代。jf(x)dx—換元(Sf(t))Jf[8(t州(t)dt積分—tF(t)+c―回代t，G()>F"-1(x)]+c?要掌握換元法關(guān)鍵在于能夠判斷是用哪一種，或許兩種還換元都可以，學(xué)會判斷，總結(jié)才是真正能夠運(yùn)用著一方法的精髓。下面將對經(jīng)常遇到的情況進(jìn)行總結(jié)。?第一換元法的應(yīng)用“湊”：將被積函數(shù)中的某個函數(shù)直接與dx湊成微分形式；例：求j2xex2dx.分析：其中2*與。'湊成微分形式。解:j2xex2dx=fex^dvt—xrjj>rf€^d解:j2xex2dx=fex^dvt—xrjj>rf€^dfc^du將〃=]2回代，則&=e*,所以'2xeqdx2+c變形后再“湊”，有些積分通過恰當(dāng)?shù)淖冃?加、減、乘、除某些因子)后，可以使用湊微分法。例:dxf1-1<1A<=JL_i頊Ii1,1換元】X2—1+C?第二換元積分法的應(yīng)用般地采用第二換元積分法的情形：被積函數(shù)中含有根式，目的是去掉根號。du⑴j例1:求解：為去掉被積函數(shù)中的根式，取根的次數(shù)2與3的最小公倍數(shù)6,并令u=x6，則可把原來的不定積分化為簡單有理式的積分。⑴解：jdu胛+^uj6x5=JdxX3+X2dx=6jfX2一X+1-]"X+1)/.、x3x2+x—lnIx+1I+Cdx2=2^Ju—33U+6^u—6lnI6^u+11+Cdxj例2：求jx2—a2⑵解：令*=。secc，0vtv-(同理可考慮t<0的情況)于是有jdxJx2-a2=1a*'”an'dt=jsectdtatant=InIsect+tan11+CxJx2-a2借助直角三角形，便于求出sect=-,tant=—，故得aaj赤=lnlX+山2—"2I+CJx2一a2aa=InIx+x2一a2I+C常見的換元有：dxx=atanuj—:—(a〉0)令a2+x2vja2-x2dx(a〉0)令x=asint,l11<-2j~)-(a〉0)令x=asint,l11<；標(biāo)題三：分部積分法?定義：若"(x)與v(x)可導(dǎo)，不定積分ju'(x>(x)dx存在』u(*>'(*)dx則也存在，并有j"'(x^dx=u(*)v(*)-ju'(*>(x)dx。?意義：我們知道直接積分法是求積分的基本方法，換元積分法是求積分的重要方法，若這兩種方法均不能得出結(jié)果，就考慮分部積分法。該方法是化簡被積函數(shù)為可積形式的重要而有效的方法，可看成微分學(xué)中兩個函數(shù)乘積運(yùn)算的逆運(yùn)算。該積分法使用的范圍是兩種不同類型函數(shù)乘積形式的不定積分。其主要用于解決被積函數(shù)是兩種初等函數(shù)的乘積或單一個函數(shù)(對數(shù)函數(shù)。反三角函數(shù)，初等函數(shù))的不定積分。⑶利用此公式求積分的基本步驟是:?基本類型:降幕類型:求XnsinX,xnCOSX,等孫心類型函數(shù)的不定積分時，可用分部積分法使"逐漸降幕，即令",tfjpcosxdx例：求解：令=*，則有"，=2“=sinx.求得X2cosxdx=X2sinx-2]xsinxdx再令=smy則有/=1*=*尤，解得

Jx2cosxdx=x2sinx一2^xcox一Jcos=x2sinx一2xcox+2sinx升幕類型:求xnarctanx,xnInx,xnarcsinx等類型函數(shù)的不定積分時，一般使用升幕法，令”=x〃。,\x3lnxdx例：求⑷則有x4解.令u=lnx,v'=x3Jx3lnxdx=J則有x41Cx4Inx-Jx3dx）=x4（4lnx-1）+C4K超越函數(shù).超越函數(shù)型般有心sinx,exco：^等，使用循環(huán)法幕函數(shù)型如Tn=JcOs"^，一般使用遞推法，求出遞推公式。例:導(dǎo)出不定積分'n=J『X(n為正整數(shù))的遞推公式。1-x2解：

XnI=Xnn1-x()I=jxn-1d1寸1-x2)n=-xn-1J1-x2+(n-1)jxn-2頊1-x2dxxn-2(1一x2)TOC\o"1-5"\h\z=—xn-1p1—x2+(n—1)j,一—dx、:1—x2=—xn-1pT—x2+(n—1)jxn2Xn-dxx'1—x2=-xn-1V';1-x2+(n-1)jx-2dx-(n-1)jXndx1—x2寸1—xn=-xn-1\/1-x2+(n-1)I-(n-1)I由此得到遞推公式廠一+羅'n-2標(biāo)題四：分解積分法⑸如果不定積分X=\f(X認(rèn)按一般方法求較復(fù)雜，而把X作分解，分解成的輔助積分x「x2,x3.....?.?x有r個線性組合易積分，那么復(fù)雜的求不定積分問題就轉(zhuǎn)變成簡單的積分和解線性方程組的問題，這時分解積分法就起到了化繁為簡的作用。sinx+2cosx例：2sinx+3cosx“「sinx+2cosx,解：令—2sinx+3cosx*sinx則有12sinx+3cosxX=jcosxsinx則有12sinx+3cosx2sinx+3cosx7那么2X+3X=j2.3dx=x+C(1)

2cos工一3sin工7-3X+2X=j2^3dx=lnI2sinx+3cosxI+C(2)由3(1)-2(2)得，13X2=3x+2lnI2sinx+3cosxI+C2即X=JLX+2lnI2sinx+3cosxI+'￡+>°2TOC\o"1-5"\h\z即2131313再由2(1)-3(2)得，13X1=2x一2lnI2sinx+3cosxI+3?+2C2X=土x-3InI2sinx+3cosxI+'S+篁即1131313/8C+C)—1213)一81_一即可得X=X+2X=--x+百lnI2sinx+3cosxI+C,C=總結(jié)：從上述例題可以看出，實(shí)際上分解積分法的求解思路，可用于任何求解題中，只要把其中的X看作所求量X/8C+C)—1213)結(jié)束語對于一些簡單的基本的不定積分，我們可以通過基本的積分公式直接進(jìn)行求解。對于難以直接用基本積分公式的積分，我們有第一類換元積分法和第二類換元積分法，分部積分法以及分解積分法。對于某些特殊類型的不定積分，如一些有理函數(shù)的和可以化為有理函數(shù)的不定積分，無論不定積分有多么復(fù)雜，我們都可以按照一定的步驟求解。對于有理函數(shù)的不定積分，我們可以用待定系數(shù)法把它拆成一些分式的和，再按照基本積分公式求解；對于高階的積分，我們可以運(yùn)用多次分部積分法遞推公式，也可以通過一些公式代換將它化為有理函數(shù)的不定積分，但在具體計(jì)算時，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)而采用簡單靈活的代換；一些無理根式的不定積分，可以運(yùn)用換元法將其化為有理函數(shù)的不定積分，再按照有理函數(shù)的不定積分方法進(jìn)行求解。相信只要我們能夠各種方法積分的特點(diǎn)，那么不定