理學(xué)解析幾何常見的曲面

理學(xué)解析幾何常見的曲面第1頁/共71頁本章主要內(nèi)容柱面2錐面3旋轉(zhuǎn)曲面4曲線與曲面的參數(shù)方程5橢球面6雙曲面（單葉雙曲面，雙葉雙曲面）7拋物面（橢圓拋物面，雙曲拋物面）8二次直紋面9作圖五種典型的二次曲面第2頁/共71頁水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等．曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡．曲面方程的定義：曲面的實(shí)例：§3.1柱面第3頁/共71頁觀察柱面的形成過程:定義3.1.1

平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.母線準(zhǔn)線第4頁/共71頁柱面舉例：拋物柱面平面拋物柱面方程：平面方程：第5頁/共71頁從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實(shí)例橢圓柱面，雙曲柱面，拋物柱面，母線//軸母線//軸母線//軸第6頁/共71頁1.橢圓柱面xyzO2.雙曲柱面第7頁/共71頁如何建立柱面方程已知準(zhǔn)線方程母線方向第8頁/共71頁例1已知準(zhǔn)線方程母線方向第9頁/共71頁例2已知圓柱面的軸和圓柱面上一點(diǎn)（1，-2，1），求圓柱面方程解法一：由準(zhǔn)線和母線求圓柱面方程解法二：根據(jù)圓柱面的特殊性質(zhì)求方程第10頁/共71頁空間曲線的射影柱面空間曲線如何求射影柱面？消去z，得F(x,y)=0，即對xOy坐標(biāo)面射影的射影柱面。。。。如何求射影曲線如何利用空間曲線的射影柱面來表達(dá)空間曲線？任兩個(gè)射影柱面組成的方程組即為原空間曲線第11頁/共71頁定義3.2.1

通過一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面叫做錐面.這些直線都叫做錐面的母線.那個(gè)定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn).錐面的方程是一個(gè)三元方程.特別當(dāng)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)：§3.2錐面第12頁/共71頁

n次齊次方程F(x,y,z)=0的圖形是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面；方程

F(x,y,z)=0是

n次齊次方程：準(zhǔn)線頂點(diǎn)F(x,y,z)=0.反之，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面的方程是n次齊次方程

錐面是直紋面x0z

y

錐面的準(zhǔn)線不唯一，和一切母線都相交的每一條曲線都可以作為它的準(zhǔn)線.第13頁/共71頁請同學(xué)們自己用截痕法研究其形狀.橢圓錐面第14頁/共71頁如何建立錐面方程已知錐面準(zhǔn)線已知錐面頂點(diǎn)第15頁/共71頁例1已知圓錐的準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)在原點(diǎn)第16頁/共71頁例2已知圓錐面的頂點(diǎn)為(1,2,3)軸垂直于平面2x+2y-z+1=0母線與軸成30度角求圓錐面方程解法一：由準(zhǔn)線和頂點(diǎn)求圓錐面方程解法二：根據(jù)圓錐面的特殊性質(zhì)求方程第17頁/共71頁解

圓錐面方程或第18頁/共71頁定義3.3.1

以一條曲線繞其一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面或稱回旋曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸．這條曲線叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線．§3.3旋轉(zhuǎn)曲面第19頁/共71頁2023/4/18如何建立旋轉(zhuǎn)曲面方程？已知軸和母線軸：方向和線上一點(diǎn)P0母線：方程旋轉(zhuǎn)曲面方程滿足（3.3.1）第20頁/共71頁曲線CCy

zo繞

z軸第21頁/共71頁曲線

CxCy

zo繞z軸.第22頁/共71頁曲線

C旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面

SCSMNzPy

zo繞

z軸.f(y1,z1)=0M(x,y,z).xS第23頁/共71頁曲線C旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面

SxCSMNzP.繞z軸..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0.y

zoS第24頁/共71頁建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程：如圖將代入得方程第25頁/共71頁方程第26頁/共71頁例1

將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面yzoxyzox第27頁/共71頁

xyoz

xyoz旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面第28頁/共71頁旋轉(zhuǎn)橢球面xyzxyz第29頁/共71頁旋轉(zhuǎn)拋物面xyzoxyzo第30頁/共71頁幾種特殊旋轉(zhuǎn)曲面1雙葉旋轉(zhuǎn)曲面2單葉旋轉(zhuǎn)曲面3旋轉(zhuǎn)錐面4旋轉(zhuǎn)拋物面5環(huán)面第31頁/共71頁x0y1

雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面繞x

軸一周第32頁/共71頁x0zy.繞x

軸一周1

雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面第33頁/共71頁x0zy.1

雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.繞x

軸一周第34頁/共71頁axyo2

單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上題雙曲線繞y

軸一周第35頁/共71頁axyoz.上題雙曲線繞y

軸一周2

單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面第36頁/共71頁a.xyoz..2

單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上題雙曲線繞y

軸一周第37頁/共71頁3

旋轉(zhuǎn)錐面兩條相交直線繞x

軸一周x

yo第38頁/共71頁.兩條相交直線繞x

軸一周x

yoz3

旋轉(zhuǎn)錐面第39頁/共71頁x

yoz.兩條相交直線繞x

軸一周得旋轉(zhuǎn)錐面.3

旋轉(zhuǎn)錐面第40頁/共71頁yoz4

旋轉(zhuǎn)拋物面拋物線繞z

軸一周第41頁/共71頁yoxz.拋物線繞z

軸一周4

旋轉(zhuǎn)拋物面第42頁/共71頁y.oxz生活中見過這個(gè)曲面嗎？.4

旋轉(zhuǎn)拋物面拋物線繞z

軸一周得旋轉(zhuǎn)拋物面第43頁/共71頁衛(wèi)星接收裝置例.第44頁/共71頁5環(huán)面yxorR繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面第45頁/共71頁5環(huán)面z繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面yxo.第46頁/共71頁5環(huán)面z繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面環(huán)面方程.生活中見過這個(gè)曲面嗎？yxo..第47頁/共71頁救生圈.5環(huán)面第48頁/共71頁2023/4/18空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程3.4.1空間曲線的參數(shù)方程第49頁/共71頁2023/4/18

動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解第50頁/共71頁2023/4/18螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比．即上升的高度螺距第51頁/共71頁2023/4/18有一質(zhì)點(diǎn)，沿著已知圓錐面的一條直母線自圓錐的頂點(diǎn)起，作等速直線運(yùn)動(dòng)，另一方面這一條母線在圓錐面上，過圓錐的定點(diǎn)繞圓錐的軸（旋轉(zhuǎn)軸）作等速的轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線，請建立圓錐螺線方程。練習(xí)第52頁/共71頁2023/4/18曲線又常常表現(xiàn)為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，即動(dòng)點(diǎn)的位置隨著時(shí)間t改變的規(guī)律，記為設(shè)平面上取定的標(biāo)架為，矢量就可以用它的分量來表達(dá)，記為或例4已知直線l通過定點(diǎn)M0(x0,y0)，并且它與非零矢量v={X,Y}共線，求直線l的方程。例5一個(gè)圓在一直線上無滑動(dòng)地滾動(dòng)，求圓周上的一點(diǎn)P的軌跡。平面曲線的參數(shù)方程第53頁/共71頁2023/4/18例6已知大圓半徑為a，小圓半徑為b，設(shè)大圓不動(dòng)，而小圓在大圓內(nèi)無滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓周上某一定點(diǎn)P的軌跡叫做內(nèi)旋輪線（或稱內(nèi)擺線），求內(nèi)旋輪線的方程。平面曲線的普通方程和參數(shù)方程的轉(zhuǎn)換例7把橢圓的普通方程改寫為參數(shù)方程將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程第54頁/共71頁練習(xí)：1.一動(dòng)點(diǎn)M到A(3,0)的距離恒等于它到點(diǎn)B(-6,0)的距離的一半，求此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并指出此軌跡是什么圖形。2.有一長度為2a(a<0)的線段，它的兩端點(diǎn)分別在x軸正半軸與y軸的正半軸上移動(dòng)，求此線段中點(diǎn)的軌跡。3.當(dāng)一圓沿著一個(gè)定圓的外部做無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡叫做外旋輪線，如果用a與b分別表示定圓與動(dòng)圓的半徑，試導(dǎo)出其參數(shù)方程。2023/4/18第55頁/共71頁球坐標(biāo)2023/4/183.4.2空間曲面的參數(shù)方程第56頁/共71頁二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱之為二次曲面．相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面形狀的截痕法：

用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．二次曲面§3.5.1橢球面第57頁/共71頁截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo橢球面第58頁/共71頁橢球面的方程橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：橢球面第59頁/共71頁橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面的交線為橢圓同理與平面和的交線也是橢圓.第60頁/共71頁橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成．旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：方程可寫為與平面的交線為圓.第61頁/共71頁球面截面上圓的方程方程可寫為第62頁/共71頁單葉雙曲面（1）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點(diǎn)的橢圓一、單葉雙曲面§3.5.2雙曲面第63頁/共71頁與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在軸上.（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點(diǎn)的雙曲線.實(shí)軸與軸相合，虛軸與軸相合.第64頁/共71頁單葉雙曲面圖形

xyoz（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截均可得雙曲線.第65頁/共71頁二、雙葉雙曲面雙葉雙曲面xyoz第66頁/共71頁

單葉：雙葉：...yx

zo

在平面上，雙曲線有漸進(jìn)線。相仿，單葉雙曲面和雙葉雙曲面有漸進(jìn)錐面。

用z=