非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式

非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式第1頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

對(duì)于周期性的激勵(lì)與響應(yīng)，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)分解為一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧分量,再根據(jù)疊加定理。所以線性電路對(duì)非正弦周期性激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，等于組成激勵(lì)信號(hào)的各簡(jiǎn)諧分量分別作用于電路時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。而響應(yīng)的每一簡(jiǎn)諧分量可用正弦穩(wěn)態(tài)分析的相量法求得。

第2頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1.非正弦周期電流的產(chǎn)生

引起的電流或電壓便是非正弦周期電流，解決方法是？1）當(dāng)電路中有多個(gè)不同頻率的電源同時(shí)作用基本要求：初步了解非正弦信號(hào)產(chǎn)生的原因。根據(jù)疊加定理，分別計(jì)算不同頻率的響應(yīng)，然后將瞬時(shí)值結(jié)果疊加。第3頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

1.非正弦周期電流的產(chǎn)生

2）非正弦周期電壓源或電流源（例如方波、鋸齒波）

引起的響應(yīng)也是非正弦周期量，如何求響應(yīng)？基本要求：初步了解非正弦信號(hào)產(chǎn)生的原因。第4頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3）有非線性元件引起的非正弦周期電流或電壓。對(duì)非正弦周期電流電路的分析方法：諧波分析法這些非正弦周期函數(shù)首先分解為不同頻率的傅里葉級(jí)數(shù)，然后求解不同頻率的正弦激勵(lì)的響應(yīng)，最后將瞬時(shí)值結(jié)果疊加

。響應(yīng)也是非正弦周期量，如何求響應(yīng)？

1.非正弦周期電流的產(chǎn)生

基本要求：初步了解非正弦信號(hào)產(chǎn)生的原因。第5頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§71非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式

周期函數(shù)

f(t)=f(t+kT)(k=1,2,3,…)若滿(mǎn)足狄里赫利條件則f(t)可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)：(2)函數(shù)f(t)在任一周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值；

(3)函數(shù)f(t)在任一周期內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)；(1)函數(shù)f(t)在任一周期內(nèi)絕對(duì)可積，即對(duì)于任意時(shí)刻t0，積分存在；1．傅里葉級(jí)數(shù)

第6頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二是角頻率,T是f(t)的周期。其中：(7-1)積分區(qū)間也可以?。?T/2,T/2）和（-p,p）第7頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二將式（7－1）中頻率w相同的項(xiàng)合并成一項(xiàng)，則可變形為：在電路分析中，傅里葉級(jí)數(shù)的另一種形式；應(yīng)用相量運(yùn)算可得：(7-1)(7-2)第8頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二根據(jù)周期函數(shù)的某些對(duì)稱(chēng)性，可以簡(jiǎn)化傅里葉系數(shù)的求解，分別討論三種情況：（1）f(t)函數(shù)為奇函數(shù)，f(t)=-f(-t)第9頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）f(t)函數(shù)為偶函數(shù)，f(t)=f(-t)第10頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（3）f(t)函數(shù)為奇諧波函數(shù)：f(t)=－f(t+T/2)；即：相隔半個(gè)周期的函數(shù)值大小相等，符號(hào)相反；也稱(chēng)為半波對(duì)稱(chēng)（鏡對(duì)稱(chēng)）函數(shù)；k為奇數(shù)k為偶數(shù)k為奇數(shù)k為奇數(shù)k為偶數(shù)k為奇數(shù)第11頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二恒定分量（直流分量）k

=1—基波；—基波振幅，—基波初相k

=2,3稱(chēng)為高次諧波,收斂的，次數(shù)越高，振幅越小2．諧波分析:

將周期函數(shù)分解為恒定、基波和各次諧波的方法；豎線為幅值譜線（振幅頻譜）長(zhǎng)度表示Akm的量值；相鄰兩譜線的間隔等于基波ω。同樣相位頻譜,表示各次諧波的初相隨角頻率kω變動(dòng)的情形?！?1非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式

第12頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二求周期性方波的傅里葉展開(kāi)式。

所給波形在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式：

例7－1解：第13頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二因?yàn)閍k=0，所以：第14頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二說(shuō)明:式中引入新的正整數(shù)n以區(qū)別原來(lái)的正整數(shù)k。

周期性方波的波形分解直流分量基波分量3次諧波分量振幅頻譜和相位頻譜第15頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二本節(jié)小結(jié)：1、頻譜圖直觀而清晰地表示出一個(gè)信號(hào)包含有哪些諧波分量，以及各諧波分量所占的比重和其間的相角關(guān)系，便于分析周期信號(hào)通過(guò)電路后它的各諧波分量的幅值和初相發(fā)生的變化。這對(duì)于研究如何正確地傳送信號(hào)有重要的意義。2、奇，偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可能因原點(diǎn)的移動(dòng)而遭破壞，奇諧波函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性不受原點(diǎn)移動(dòng)的影響。3、適當(dāng)選擇時(shí)間起點(diǎn)，可使有些函數(shù)具有一種以上的對(duì)稱(chēng)性。4、對(duì)波形的對(duì)稱(chēng)性的判斷可直觀地判斷哪些諧波存在，哪些諧波不存在。減少付立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的工作量。

第16頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1．函數(shù)f(t)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式，直接代入上式。

例7-2：

計(jì)算方波的有效值解：有效值：周期量的有效值等于其瞬時(shí)值的方均根值基本要求：理解非正弦周期量的有效值和平均功率的定義。第17頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2．正弦級(jí)數(shù)形式求有效值有效值：7.2．非正弦周期量的有效值平均功率第18頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二基波、二次諧波…的有效值

有效值等于恒定分量、基波分量與各諧波分量有效值的平方和的平方根。有效值：2．正弦級(jí)數(shù)形式求有效值7.2．非正弦周期量的有效值平均功率第19頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二已知周期電流，求其有效值。解：例7－3：■平均值

平均值：電工技術(shù)中經(jīng)常遇到上下半周期對(duì)稱(chēng)的波，如正、余弦波，奇諧波等，在橫軸上下的面積相等，其平均值為零，在電工實(shí)踐中，還用到均絕值的概念，其數(shù)學(xué)式為：

取絕對(duì)值是將負(fù)值部分反號(hào)，即“全波整流”，就是“全波整流”后的平均值。第20頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例7-4:求正弦電壓的平均值，并有效值與平均值之比;·有效值為:或VaU=0.9U·有效值與平均值之比:解：已知：u(t)=Umsinωt·平均值為:第21頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

設(shè)一端口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向，則其輸入的瞬時(shí)功率為

p=ui平均功率就是瞬時(shí)功率在一周期內(nèi)的平均值，即3.非正弦周期電流電路的平均功率7.2．非正弦周期量的有效值平均功率第22頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

結(jié)論：非正弦周期電流電路的平均功率等于恒定分量、基波分量和各次諧波分量產(chǎn)生的平均功率之和。同時(shí)說(shuō)明：不同頻率的電壓和電流不產(chǎn)生平均功率。Uk

、Ik為第

k

次諧波的有效值，為第

k次諧波電壓與電流間的相位差；第23頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二線性電路在非正弦周期激勵(lì)時(shí)的穩(wěn)態(tài)分析步驟：

1)把給定的非正弦周期性激勵(lì)分解為恒定分量和各諧波分量。

2)分別計(jì)算電路由上述恒定分量和各諧波分量單獨(dú)作用下的響應(yīng)。求恒定分量響應(yīng)要用計(jì)算直流電路的方法；求各次諧波分量的響應(yīng)，則要應(yīng)用計(jì)算正弦電流電路的方法（相量法）。其中，電感、電容對(duì)k次諧波的電抗分別為

XL1為基波感抗

XC1為基波容抗3)

根據(jù)疊加定理，把恒定分量和各諧波分量的響應(yīng)相量轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)表達(dá)式后進(jìn)行疊加。基本要求：熟練掌握用疊加定理分析非正弦周期電流電路的方法。7.3非正弦周期電流電路的穩(wěn)態(tài)分析第24頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二圖示電路中.(1)求電流源的端電壓u及其有效值；(2)求電流源發(fā)出的平均功率。直流分量作用，電路模型如圖交流分量作用相量模型如圖(c)所示。節(jié)點(diǎn)法求電流源端電壓相量電流源的端電壓及其有效值分別為電流源發(fā)出的平均功率例7－5：圖b圖a圖c解：U0=10+2×2=14v=+第25頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二已知ω=314rad/s,R1=R2=10,

L1=0.106H，L2=0.0133H，C1=95.6μF，C2=159F

，，求i1(t)及i2(t)。例76：解：1.直流分量電壓第26頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期二已知ω=314rad