高等光學(xué)課件cxr-第15講

高等光學(xué)課件cxr__第15講第一頁，共66頁?！?-4光在光纖中的傳播一、光纖的基本知識二、光纖中光導(dǎo)波的射線光學(xué)分析三、階躍光纖中導(dǎo)波的物理光學(xué)分析四、光纖的色散與脈沖展寬、損耗第二頁，共66頁。光纖：一種圓柱對稱介質(zhì)波導(dǎo)，具有圓柱結(jié)構(gòu)折射率分布；能夠傳輸光頻電磁波；由纖芯、包層和護套三部分組成。滿足一定的入射條件時，光波就能沿著纖芯向前傳播。導(dǎo)波原理及分析方法：與介質(zhì)平板光波導(dǎo)分析相似，直角坐標處理不適用，應(yīng)在柱坐標系中求解波動方程。一、光纖的基本知識護套包層纖芯2a1、一般介紹第三頁，共66頁。

按折射率分布的方式分類：階躍折射率光纖和梯度折射率光纖按傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)量分類：單模光纖和多模光纖按傳輸?shù)钠駪B(tài)分：單模光纖可進一步分保偏光纖非保偏光纖

按制造光纖的材料分，有：①高純度熔石英光纖，材料的光傳輸損耗低，有的波長可低到0.2dB／km，一般均小于ldB／km；性能好，常用于通信②多組分玻璃纖維，芯-皮折射率可在較大范圍內(nèi)變化，有利于制造大數(shù)值孔徑的光纖，但材料損耗大，在可見光波段一般為：1dB/m③塑料光纖，成本低，缺點是材料損耗大，溫度性能較差；但易于耦合、制作容易，用于短距離能量傳導(dǎo)等④紅外光纖，可透近紅外（1～5μm）或中紅外（～10μm）光波；⑤液芯光纖，特點是纖芯為液體，可滿足特殊需要；⑥晶體光纖，纖芯為晶體，可用于制造各種有源和無源器件。2、光纖的分類第四頁，共66頁。3、光纖的結(jié)構(gòu)參數(shù)（1）直徑

纖芯直徑2a、包層直徑2b為何要細？成本，光纖直徑應(yīng)盡量小， 機械強度和柔韌性，石英光纖很脆，粗則易斷；為何要粗？對接、耦合、損耗權(quán)衡后：總粗小于150μｍ。典型單模光纖芯徑約10μｍ（多取9μｍ），包層直徑125μｍ多模階躍光纖芯徑62.5μｍ，包層直徑125μｍ第五頁，共66頁。得：光纖界面光傳輸情況

（2）數(shù)值孔徑:N.A.全反射要求：只有的光錐內(nèi)的光才可能在光纖中發(fā)生全反射而向前傳播。對于波長

處典型值，，可算得（~7°）。光纖可能接受外來入射光的最大受光角

的正弦與入射區(qū)折射率的乘積。代表光纖接收入射光的能力第六頁，共66頁。（3）相對折射率Δ

對于階躍型光纖，假設(shè)是包層折射率，是纖芯折射率，且＞，和的差值大小直接影響光纖的性能。引入相對折射率差Δ表示其相差程度。

對于通信光纖，n1≈n2，上式簡化成為

對于漸變型光纖，若軸心處（r=0）的折射率為，則相對折射率差定義為：

光纖波導(dǎo)的弱導(dǎo)條件弱導(dǎo)的基本含義是指很小的折射率差就能構(gòu)成良好的光纖波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，為制造提供了很大的方便。第七頁，共66頁。（4）歸一化頻率(V)表示在光纖中傳播模式的多少，定義為：式中，a為纖芯半徑(μm)；λ為波長(μm)；n1,n2分別為纖芯和包層折射率；它與平板波導(dǎo)中的歸一化頻率定義一致。a和N.A.越小，V越小，在光纖中的傳播模式越少。一般地，當時，只有基模能傳播；而當時，為多模傳輸態(tài)。第八頁，共66頁。纖芯折射率分布通式為：（5）折射率分布n(r)為纖芯中心折射率，r取值范圍為0≤r≤a，為折射率分布系數(shù)。取值不同，折射率分布不同：＝∞時，折射率為階躍型分布。＝2時，折射率為平方律分布（漸變型分布的一種）。＝1時，折射率為三角型分布。an2n1r

纖芯階躍型an2n1r纖芯漸變型n1an2r纖芯三角型第九頁，共66頁。二、光纖中光導(dǎo)波的射線光學(xué)分析1、子午光線子午面：入射光線與光纖軸線決定的平面入射角通過光纖軸線且大于臨界角時，光將在柱面上不斷發(fā)生反射，形成曲折型傳導(dǎo)光線，其軌跡始終處于子午面內(nèi)，稱之為子午光線。子午光線在階躍型光纖中的傳播第十頁，共66頁。子午光線傳播的條件：（1）芯層折射率n1必須大于包層折射率n2；（2）光線在芯/包界面上必須發(fā)生全反射，包層內(nèi)折射光線的折射角大于或等于90°，則對應(yīng)的芯層的入射光線的入射角必須大于或等于臨界角

，即：。（3）對應(yīng)光纖入射端面上的入射光線的入射角（又稱孔徑角，受光角）必須小于或等于臨界孔徑角（最大受光角），即：

第十一頁，共66頁。光纖位于空氣中時，其光路長度為：子午光線行進的光路長度式中，受光角為時的光路長度，L是纖維長度。由上式可知，光路長度與纖維直徑無關(guān)，只取決于纖維的入射角、芯料的折射率和纖維長度。光在纖維內(nèi)部全反射的次數(shù)，可用下式計算：式中，是受光角，d是纖維直徑第十二頁，共66頁。2、斜光線在階躍型多模光纖中的傳播斜光線：不通過光纖波導(dǎo)軸線的傳導(dǎo)光線，按空間折線傳播，空間折線不在一個面內(nèi)。斜光線傳播過程中總與一個圓柱面相切第十三頁，共66頁。斜光線傳播應(yīng)滿足的條件：光線傳播路徑不在一個平面內(nèi)，也不與光纖軸線相交；入射方向單位矢量：入射點矢徑：為方向余弦全反射條件入射線，反射線，法線共面第m次反射時入射方向單位矢量第m次反射時出射方向單位矢量反射點法矢量（徑向矢量）第十四頁，共66頁。由上可導(dǎo)出斜入射光線沿光纖軸線方向傳播的條件：特殊情況：入射點在子午面上，有：

式中無M0，入射光線與y軸夾角可為任意;

即使與y軸接近0，也會被限制在芯內(nèi)，只是傳播速度慢；

斜光線更易被光纖收集。限定入射點的位置與方向：第十五頁，共66頁。三、階躍光纖中導(dǎo)波的物理光學(xué)分析1、場方程滿足的波動方程為在圓柱坐標系中上式化為采用分離變量法，令，則上式可化為三個獨立的方程：假設(shè)光纖為無限長圓柱系統(tǒng)，芯區(qū)半徑，介電常數(shù)（折射率）；包層沿徑向延伸至無限遠，介電常數(shù)（折射率）；，無損。一般實用的光纖芯區(qū)高于包層2%～4%。包層延伸至，這一假定主要是考慮到實際導(dǎo)波模包層內(nèi)的場隨r的增加迅速衰減。(1)第十六頁，共66頁。設(shè)光沿z向傳播，由(a)式，并考慮到無窮遠處場有限，可得：(a)(b)(c)考慮到光纖的柱對稱性，穩(wěn)定的電磁場沿φ向的分布必須是以2π為周期的函數(shù)，即正弦或余弦函數(shù)(虛指數(shù)函數(shù))，因而由（b）并考慮邊界條件φ=0處場有限，可得：對于式（c），令、，可得：第十七頁，共66頁。貝塞爾函數(shù)曲線

典型Bessel方程，解為各類Bessel函數(shù)：實宗量Bessel函數(shù)：為實數(shù)，即：第一類，處為有限第二類，處為有限虛宗量Bessel函數(shù)：為虛數(shù)，即：第一類，處為有限第二類，處為無限第十八頁，共66頁。2、模式分析（2）時：芯中，s為實數(shù)，且場有限——第一類Bessel函數(shù)芯外，s為虛數(shù)且場有限——第二類虛Bessel函數(shù)，沿徑向指數(shù)衰減

——芯內(nèi)振蕩、芯外指數(shù)衰減的導(dǎo)模分布若m＝0，則E與

無關(guān)，導(dǎo)模為軸對稱場，相應(yīng)于子午光線；，對應(yīng)于；若，則E沿向周期性變化，為斜光線；，相當于邊界條件：和處連續(xù)，且在處、對于任意z及角均連續(xù)（1）時：纖芯和包層中s均為虛數(shù)，Bessel方程解為虛宗量Bessel函數(shù)。芯內(nèi)場有限——第一類虛宗量Bessel函數(shù)包層內(nèi)時場應(yīng)有限——第二類虛宗量Bessel函數(shù)

——無法做到兩類函數(shù)邊界連續(xù)，因而沒有物理意義第十九頁，共66頁。芯和包層中均為振蕩場，光向包層輻射，形成連續(xù)輻射模。（3），芯內(nèi)外的s均為實數(shù)，芯內(nèi)場有限——第一類Bessel函數(shù)；包層中

時有限——兩類實宗量Bessel函數(shù)均滿足條件，取為漢克爾(Hankel)函數(shù)(即第三類Bessel函數(shù))：第二十頁，共66頁。3、導(dǎo)模的解及特征方程

式中根據(jù)、、的表達式，得出導(dǎo)模的解：第二十一頁，共66頁。于是：用縱向磁場表達橫向磁場，有：

將代入，并考慮邊界連續(xù)條件，得到導(dǎo)模特征方程：第二十二頁，共66頁。從特征方程中可以解出u或者w，從而確定沿z方向傳播的傳播常數(shù)對弱導(dǎo)光纖，近似有：則相應(yīng)的特征方程為：——詳見陳軍著“光學(xué)電磁理論”（科學(xué)出版社）Chap.6第二十三頁，共66頁。4、導(dǎo)模的模式分類及相應(yīng)的特征方程（1）TE、TM模光纖中僅存在模階數(shù)=0的TE、TM模TE模和TM模的截止頻率在w0條件下，由特征方程解得其截止狀態(tài)的特征方程為：即歸一化截止頻率是零階貝塞爾函數(shù)的根：光纖中任意一個傳播模式必須滿足波導(dǎo)參數(shù)大于截止頻率：滿足最低歸一化頻率模（TE01和TM01）的截止波長:特征方程2.405，5.520，8.654，---零階貝塞爾函數(shù)的根第二十四頁，共66頁。（2）EH、HE模EH：HE：Ez大的稱為EH模Hz大的稱為HE模

EH模截止頻率在W0條件下，由特征方程解得其截止狀態(tài)特征方程為Jm（uc）=0

即歸一化截至頻率UC是m階貝塞爾函數(shù)的零點：最小歸一化頻率為：最小截止波長為：第二十五頁，共66頁。HE混合模的截止頻率在w0條件下，由特征方程其截止狀態(tài)特征方程分為兩種情況：m=1，截止狀態(tài)特征方程為：歸一化截至頻率為：

（一階貝塞爾函數(shù)的零點）其中HE11模是光纖中的主?！硐霕O限：其截止頻率為：截至波長為：可以以任意低的頻率在光纖中傳播，不存在截止。第二十六頁，共66頁。 m2，截止狀態(tài)特征方程為： 歸一化截止頻率為：（m=2、3、4---，n=1、2、3---

）

m是貝塞爾函數(shù)的階數(shù)，n是貝塞爾函數(shù)的零點；當m=2時，就是零階貝塞爾函數(shù)的根，與TE01模和TM01模具有相同的截止參數(shù)，成為簡并模。第二十七頁，共66頁。例：某光纖a=4.0m，0.003，纖芯折射率n1=1.48，對TE01和TM01模：最簡單的模式TE01模和TM01在工作波長=1.31m時不能傳播，只能傳播=0.85m的光波。對EH11模：=0.85m的光波也不能傳播。 光通信工作波長在1.31m和1.55m，早期的協(xié)議規(guī)定用1.31m，如果取 0.003，n1=1.46，則光纖的半徑應(yīng)該滿足：

這就是單模光纖直徑選在8~9m的依據(jù)。第二十八頁，共66頁。（2）對于斜射光線，m≠0，此時，直接求解本征方程是很復(fù)雜的，在遠離截止條件下解本征方程知：這時存在著兩種不同的模式，相應(yīng)場的縱向分量均不為零，但與橫向分量相比都弱得多，稱混合模。這兩種模是+1對應(yīng)的的EH模和-1對應(yīng)的HE模，它們在邊界上()橫向分量均為零，且在同一m值下，傳輸?shù)哪芰勘容^，HE模比EH模更集中于光纖中心，而m越大，場越集中于邊界；兩種模式橫向分量振幅相等，但位相不等，EH模的超前相位，HE模的落后相位。EH和HE模的階次表示為和，其中m表示場沿角向變化周期次數(shù)，n表示徑向變化周期次數(shù)（不含原點O）。（1）對于子午光線，m=0，這種光線在光纖中的行為類似平面波導(dǎo)的情形，因而可能存在TE、TM兩種模式，且兩種模式均只有三個場分量（TE模；TM模），解模式本征方程后知：模場沿φ向分布沒有變化，而場的橫向分量沿徑向的分布均正比，因而在軸上為零場點，場沿徑向的變化次數(shù)由的根的數(shù)目來決定。若用模指數(shù)m來標記這些根的序號，則模式記作、。第二十九頁，共66頁。模（式）的理解波導(dǎo)確定時，通過求解波導(dǎo)場方程（色散方程）可得到本征值和本征解（即“模式”）；模式是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征，每個模式對應(yīng)于光纖軸向傳播的一種電磁波。一旦光纖給定，其中能夠存在的模式及其性質(zhì)便已確定，外界激勵源只能激起光纖中允許存在的模式但不會改變模式的固有性質(zhì)（如：歸一化頻率、數(shù)值孔徑等）第三十頁，共66頁。四、光纖的色散與脈沖展寬、損耗1、光纖的色散光纖通信一般采用脈沖調(diào)制。如果光脈沖在光纖中傳輸時其形狀保持不變，只要脈沖能量足夠大，在輸出端總可以被探測并被分辨出來，最大的傳輸距離僅由光纖的損耗決定。但在實際光纖中，由于傳輸光波不可能是嚴格的單色光，另外又由于在光纖中光波往往是多模傳輸，所以勢必存在色散的影響。當光纖的纖芯很小，僅幾倍于光波波長時，光纖只能傳輸近乎平行軸線的光波，形成單模傳輸。這時只存在由于信號頻率不單一而引起的單一導(dǎo)模各頻率分量所產(chǎn)生的色散，稱為模內(nèi)色散，包括材料色散和波導(dǎo)色散等。當纖芯直徑是光波波長的幾十倍時，光纖中傳播多種模式，不同導(dǎo)模對應(yīng)于不同角度的光線，在入射端與接收端之間具有不同的光程，從而到達接收端存在時間差，造成顯著的脈沖展寬，產(chǎn)生嚴重的色散，稱為模間色散。色散的存在，使光波在傳輸過程中產(chǎn)生畸變，光脈沖隨傳播距離增長而展寬，致使輸出脈沖列變得不可分辨，使信息之間相互干擾和畸變，限制信息傳輸?shù)娜萘?，還使調(diào)制速度（或帶寬）成了限制傳輸距離的重要因素。第三十一頁，共66頁。第三十二頁，共66頁。

i）材料色散——不同的頻率群速度不同 每個頻譜成分傳播單位長度的所用時間稱為群速度（1）基本的色散機理傳播距離為L，譜線的延時為：設(shè)光源的均方根譜寬為sl,中心波長為l，由材料引起的輸入脈沖的展寬sm,可以從tm對泰勒級數(shù)展開得到:第三十三頁，共66頁。取一級近似 定義材料色散參量, 單位為ps.nm-1km-1 其物理意義是光源譜寬為1納米的輸入光傳播1公里距離引起的脈沖展寬是多少皮秒（10－12）。 純石英材料，如圖，在1.3m附近有零色散，這是選擇大容量光纖通信中心波長在1.31m的最重要的原因。（其他選擇該波長光纖損耗低也是原因）第三十四頁，共66頁。在零色散區(qū)，各波長延時相等，同時到達M>0短波長慢M<0長波長慢零色散區(qū)050100MlSiO2

ndn/dldn2/dl2lll第三十五頁，共66頁。不同的模式具有不同的群速度，因此輸入脈沖到達終點時必然會產(chǎn)生脈沖展寬，是色散引起的展寬中最嚴重的，基本現(xiàn)象可用圖表示。ii）模間色散——多模光纖中各模式間的色散現(xiàn)象第三十六頁，共66頁。iii）波導(dǎo)色散 對于單模光纖產(chǎn)生脈沖展寬主要是因為光源有譜寬，不同的波長相同的模式有不同的群速度，這稱為波導(dǎo)色散，用射線光學(xué)可表示為如圖：定義波導(dǎo)色散參量：對多模光纖，模式數(shù)量大，總色散基本取決于模間色散，其次為材料色散。對單模光纖，主要是材料色散和波導(dǎo)色散。第三十七頁，共66頁。由于波導(dǎo)色散的存在，實際零點色散波長發(fā)生漂移，波長在1.30um~1.31um；石英光纖最低損耗是在1.55m，如何將零色散點與最低損耗波長統(tǒng)一起來，有兩種方法：

改變光纖的直徑——色散位移單模光纖（DS光纖）；提高芯區(qū)與包層之間相對折射率差。但n大，則摻雜濃度大，產(chǎn)生超額損耗2db/km。并不是好的方法，可以改變芯的分布到達目的。單模光纖的技術(shù)第三十八頁，共66頁。色散平坦光纖將色散曲線變形，使其在1.33um－1.55um兩次過零點。這種光纖可以用于波分復(fù)用，獲得色散平坦曲線的方法為多包層結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)如圖：40200－20－401.21.61.71.41.51.3第三十九頁，共66頁。第四十頁，共66頁。第四十一頁，共66頁。2、光纖脈沖展寬分析光纖中光波的傳播一般以光脈沖形式出現(xiàn)。對于一個光脈沖，其寬度用時間間隔來表示。從頻域角度看，一定時間間隔對應(yīng)于一定寬度的頻譜Δω（或Δν），兩者之間是反比關(guān)系。每一頻譜分量在光纖中都將分解為許多模式分量傳播。由于同一頻率的不同模式有不同的傳播常數(shù)，因而其傳播速度各不相同；而同一模式的傳播常數(shù)隨頻率而變，又其相速度是頻率的函數(shù)，并隨之發(fā)生變化。所以光脈沖在光纖中傳播一段距離后，其能量將逐漸散開，結(jié)果引起光脈沖在空間的分布展寬或作用于光纖中某一點的時間延長。由此可見，光纖的色散主要來自于傳播常數(shù)的變化，而最終表現(xiàn)是接收端信息接收時間的延長。一般用群延遲時間（簡稱群延時）g定義光脈沖傳播長度L所需的時間：或用比群延表示。第四十二頁，共66頁。一般來講，脈沖越窄(即越小)，頻譜Δω越寬，在傳播過程中畸變越嚴重，所以在討論脈沖展寬問題時，總是通過傅里葉變換，首先將信號從時域變到頻域，經(jīng)過對頻域的分析后，再變換回時域，就得到了脈沖畸變。光脈沖f(t)與其頻譜F(ω)間有傅里葉關(guān)系：若光纖輸入端為單色時諧波：式中，為中心載波頻率，ν為模指數(shù)。則z處有：第四十三頁，共66頁。若輸入端為任意時域的光脈沖：式中，是脈沖的時域分布。則輸入光脈沖頻譜為：振幅函數(shù)A(x，y)可寫成本征模的展開式，且不同頻率的場分量各自按相應(yīng)的模式展開：于是

第四十四頁，共66頁。光脈沖傳到z處后設(shè)光功率受Gauss信號脈沖調(diào)制，此時：則光振幅調(diào)制為：因此：第四十五頁，共66頁。Gauss分布時:

對于納秒脈沖，由于，因而為量級，而隨指數(shù)下降，可見下降很陡；、是的緩變函數(shù)，就此，可將上式中和所含用代換，得一般不是的線型函數(shù)，但實際傳導(dǎo)信號譜寬一般遠小于，于是可在處展開為:第四十六頁，共66頁。光強則正比于：（1）在z＝0處，，可見，t＝0時，光強有最大值S，脈寬為2τ。（2）在z＝Ｌ處，，最大光強出現(xiàn)在處，幅值減小為。其脈寬，L足夠大時，。由此可得：第四十七頁，共66頁?？梢姡旱亩A或高階導(dǎo)數(shù)是脈沖展寬的主要原因，只考慮到二階微商時，Gauss光脈沖仍保持Gauss分布，但脈寬由展寬至，如圖所示。只考慮至一階微商時，脈沖不畸變，只有時延。脈沖展寬第四十八頁，共66頁。光纖的色散特性討論描述光脈沖的兩個速度：因此光脈沖某一導(dǎo)模分量在光纖中傳播單位長度所需的時間為：稱為比群延時。由于信號調(diào)制帶寬比光載波頻率小得多，故而光脈沖的群速度可用其載波頻率時的群速度表示。又由以下定義式：歸一化傳播常數(shù)：歸一化頻率：于是有：一個是相速度，表征光纖中某一導(dǎo)模的等相面移動速度；另一個是群速度，用以表征光脈沖能量的傳播速度。第四十九頁，共66頁。由上可求出傳播常數(shù)β：展開并取一階近似，得：則有：實際階躍光纖中，纖芯折射率與包層折射率相差不大，由弱導(dǎo)條件，得：第五十頁，共66頁。代入上式中并整理得:上式是單模傳播的比群延表達式，此時引起光纖色散的因素只有材料色散和波導(dǎo)色散，合稱模內(nèi)色散。上式第一項是由光纖的纖芯折射率隨頻率變化的結(jié)果，稱材料色散比群延，用表示：可見：是V，也就是的函數(shù)。第二項由波導(dǎo)歸一化傳播常數(shù)b隨頻率V變化引起，稱為波導(dǎo)色散比群延，用表示：因為Δ很小，且折射率隨頻率變化不十分明顯，故可以略去上式中第三項。又因為第五十一頁，共66頁。另外，對于多模光纖，不同導(dǎo)模的是不同的，這將導(dǎo)致多模色散。取最高階導(dǎo)模與最低階導(dǎo)模的之差定義為多模群延離散，用表示。因此，多模光纖中光脈沖的總比群延為：第五十二頁，共66頁。脈沖展寬機制的討論

一個中心頻率為，群速度為的光脈沖，其比群延可展開為：式中第一項可以認為是頻率的光脈沖的比群延。由于脈沖寬度與相比很小，因而可以認為這種比群延是光脈沖整體引起的，相當于整個脈沖用一個群速度傳播。它不會導(dǎo)致脈沖展寬。而第二項表示比群延隨頻率變化引起的時延展寬，記為：大多實際光源(如LED、LD）的譜線寬度遠大于信號脈沖的傅里葉譜寬，因而、可用光源譜線寬度代替。因此，各種色散對脈沖展寬的貢獻有：——真空波長。第五十三頁，共66頁。在弱導(dǎo)條件（

）下，且設(shè)纖芯和包層折射率色散特性相差不大，則A、材料色散

式中，，稱為纖芯群折射率。第五十四頁，共66頁。考慮多個諧振頻率情況，纖芯材料色散特性可以寫成為：式中，表示真空光波波長，表示振子的固有諧振波長，為與有關(guān)的一個材料常數(shù)。因此：于是：以某一石英光纖為例，畫出其～λ圖(如圖)，可見石英光纖在處，光纖的傳輸帶寬極大，同時此處正是紅外波長處，瑞利散射產(chǎn)生的損耗最小，且光探測器仍能正常工作，無需特殊冷卻。第五十五頁，共66頁。目前，實用光纖材料色散引起的脈沖展寬約為：熔融石英的材料色散特性

在0.8～0.9μm時，在1.1～1.6μm時，第五十六頁，共66頁。單模光纖的波導(dǎo)色散一般遠小于，其中～Ｖ曲線如圖。B、波導(dǎo)色散