常微分方程基本概念

常微分方程基本概念第一頁，共42頁。一、常微分方程與偏微分方程定義1:把聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程.

例1：下列關(guān)系式都是微分方程第二頁，共42頁。附注1：一個關(guān)系式要成為微分方程，要求該關(guān)系式中必須含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，但其中的自變量或未知函數(shù)可以不顯含.如果一個關(guān)系式中不顯含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，則這樣的關(guān)系式就不能成為微分方程，例如

就不是微分方程.實際上，我們在數(shù)學(xué)分析課程中已經(jīng)知道，它是一個函數(shù)方程.附注2：如果在一個微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，則這樣的微分方程稱為常微分方程，如上面例1中

就是常微分方程；

第三頁，共42頁。如果自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程稱為偏微分方程，如上面例1中

就是偏微分方程.

本課程主要研究常微分方程.同時把常微分方程簡稱為微分方程或方程.第四頁，共42頁。二、微分方程的階定義2：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù).

在上面例1中

是一階微分方程；

是一階微分方程；

是二階微分方程；

是四階微分方程.第五頁，共42頁。第六頁，共42頁。第七頁，共42頁。

例如上面例1中

是線性微分方程，

第八頁，共42頁。是非線性微分方程.

.而第九頁，共42頁。線性線性非線性非線性非線性第十頁，共42頁。微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的等式常微分方程(ode):只含一個自變量的微分方程偏微分方程(pde):含兩個或兩個以上自變量的微分方程方程的階數(shù):方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)分類n階常微分方程的一般形式：n階線性常微分方程：都是已知函數(shù)小結(jié)：第十一頁，共42頁。第十二頁，共42頁。是解方程的解(隱式解P17）如果,則稱是方程的一個解如：方程的通解(隱式通解P18）（1）

有n個任意常數(shù)是（1）的解

是獨立的則稱是方程（1）的通解，如果對方程n個任意獨立常數(shù)（參見P23）第十三頁，共42頁。第十四頁，共42頁。第十五頁，共42頁。第十六頁，共42頁。第十七頁，共42頁。第十八頁，共42頁。第十九頁，共42頁。第二十頁，共42頁。第二十一頁，共42頁。例是通解是解含有兩個任意常數(shù)兩個任意常數(shù)獨立第二十二頁，共42頁。第二十三頁，共42頁。例：求一個平面曲線，使其向徑與切線正交，并且經(jīng)過點(0,1)解：設(shè)所求的曲線為y=y(x).在曲線上任取一點(x,y(x)).過這一點的切線斜率為而向徑的斜率為y/x,因此,第二十四頁，共42頁。第二十五頁，共42頁。第二十六頁，共42頁。定解條件從前面的例子可以看到，一個微分方程有無窮多個解，但在實際問題中，我們需要尋找方程滿足某種條件的解，這種條件就叫做定解條件定解條件有兩種，一種是初始條件，另一種是邊界條件。這兩種定解條件都是源于物理等科學(xué)的需要。相應(yīng)有問題稱為初值問題和邊值問題。我們主要涉及初始條件。對于n階方程:初始條件的一般形式為:第二十七頁，共42頁。這里是已知的n+1個常數(shù).它們由實際問題來決定。我們把滿足初始條件的解稱為初值問題的解（又稱方程的特解）。例初始條件：注：初值問題又稱為Cauch問題已知通解：第二十八頁，共42頁。解：從通解中求初值問題的解利用初始條件把y(0)=0代入：得又因代入得第二十九頁，共42頁。微分方程的幾何解釋設(shè)是一個解，在xy平面上的圖形叫一條積分曲線。根據(jù)初始條件，在xy平面作點,把這個點叫做初始點，一個解滿足初始條件，從幾何上看，就是有一條積分曲線過初始點。考慮：第三十頁，共42頁。設(shè)是一個解,則在積分曲線上任取一點，過這一點的切線斜率為反之，如果一條曲線上任一點的切線斜率為函數(shù)f在這一點的值，則此曲線為積分曲線。第三十一頁，共42頁。方向場

(fieldofdirections)

設(shè)f(x,y)的定義域為D,過D的每一點畫一小線段，其斜率等于f(x,y),我們把這種圖形就叫做由方程所規(guī)定的方向場。

在方向場中，方向相同的點的幾何軌跡稱為等斜線(isocline)注1：求微分方程經(jīng)過點的曲線，就是在D內(nèi)求一條經(jīng)過的曲線，使其上每一點處切線的斜率都與方向場在該點的方向相吻合。注2：微分方程的等斜線方程為=,其中是參數(shù)。給出參數(shù)的一系列充分接近的值，就可得足夠密集的等斜線族，借此可以近似地作出微分方程的積分曲線。當(dāng)然，要想更精確地作出積分曲線，還必須進一步弄清楚積分曲線的極值點和拐點等。第三十二頁，共42頁。方向場例如：方向場第三十三頁，共42頁。等斜線第三十四頁，共42頁。極值點與拐點曲線第三十五頁，共42頁。解曲線第三十六頁，共42頁。解曲線第三十七頁，共42頁。圖例第三十八頁，共42頁。又如：方程確定的方向場及由此作出的方程的部分解如下第三十九頁，共42頁。小結(jié)

本節(jié)我們介紹了常（偏）微分方程、階、解（顯式和隱式）、通解（顯式和隱式）、定解條件、初值問題、積分曲線、方向場、等斜線等概念。重點分析了通解的定義，指出通解不一定包含方程的全部解，不是任何一個方程都有通解。對任意常數(shù)的獨立性作了特別說明。介紹了微分方程的幾何解釋及如何利用方向場近似畫出積分曲線的分布草圖。本節(jié)的有關(guān)概念是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，請重點理解和掌握。第四十頁，共42頁。復(fù)習(xí)與思考

1．微分方程的解是否連續(xù)？是否可導(dǎo)?2．微分方程的解的定義區(qū)間是