高中數(shù)學(xué)人教版選修2-2全套教案設(shè)計(jì)

實(shí)用文檔

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

§1。1.1變化率問(wèn)題

教學(xué)目標(biāo)：

1．理解平均變化率的概念；2．了解平均變化率的幾何意義；3．會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率

教學(xué)重點(diǎn)：平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率;

教學(xué)難點(diǎn)：平均變化率的概念．

教學(xué)過(guò)程:

一．創(chuàng)設(shè)情景

為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過(guò)程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對(duì)函數(shù)的研究，產(chǎn)生

了微積分,微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類(lèi)問(wèn)題的處理直接相關(guān)：

一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù),求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度等;

二、求曲線的切線；

三、求已知函數(shù)的最大值與最小值；

四、求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等.

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問(wèn)題最一般、最有效的

工具。

導(dǎo)數(shù)研究的問(wèn)題即變化率問(wèn)題：研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度．

二．新課講授

（一)問(wèn)題提出

問(wèn)題1氣球膨脹率

我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑

增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢?

氣球的體積V（單位：L)與半徑r（單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是

如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么

h

分析:，

⑴當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為

⑵當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了

氣球的平均膨脹率為

可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了．

思考：當(dāng)空氣容量從V增加到V時(shí)，氣球的平均膨脹率是多少?

12

問(wèn)題2高臺(tái)跳水

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h（單位:m）與起跳后的時(shí)間t（單ot

位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述

其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?

思考計(jì)算：和的平均速度

在這段時(shí)間里，；

在這段時(shí)間里，

探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問(wèn)題：

⑴運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？

⑵你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？

探究過(guò)程：如圖是函數(shù)h(t)=—4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知,,

所以，

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雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說(shuō)明用平

均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．

（二)平均變化率概念:

1．上述問(wèn)題中的變化率可用式子表示,稱(chēng)為函數(shù)f(x）從x到x的平均變化率

12

2．若設(shè)，(這里看作是對(duì)于x的一個(gè)“增量"可用x+代替x,同樣)

112

3．則平均變化率為

思考：觀察函數(shù)f(x）的圖象y

平均變化率表示什么？y=f(x)

f(x)

2

△y=f(x)-f(x)

21

直線AB的斜率

f(x)

1△x=x-x

21

xx

O12x

三．典例分析

例1．已知函數(shù)f（x)=的圖象上的一點(diǎn)及臨近一點(diǎn),則．

解：,∴

例2．求在附近的平均變化率。

解：，所以

所以在附近的平均變化率為

四．課堂練習(xí)

1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，則在時(shí)間中相應(yīng)的平均速度為．

2。物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),求在4s附近的平均變化率.

3.過(guò)曲線y=f（x）=x3上兩點(diǎn)P（1，1）和Q（1+Δx，1+Δy）作曲線的割線，求出當(dāng)Δx=0.1時(shí)割線的

斜率.

五．回顧總結(jié)：1．平均變化率的概念；2．函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率

六．布置作業(yè)

導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：理解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握簡(jiǎn)單函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)表示和求解方法；

理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

理解導(dǎo)函數(shù)的概念和意義；

2、過(guò)程與方法：先理解概念背景,培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力；再掌握定義和幾何意義，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化問(wèn)

題的能力；最后求切線方程，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力

3、情感態(tài)度及價(jià)值觀；讓學(xué)生感受事物之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的美。

教學(xué)重點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的求解方法和過(guò)程;2、導(dǎo)數(shù)符號(hào)的靈活運(yùn)用

教學(xué)難點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)概念的理解；2、導(dǎo)函數(shù)的理解、認(rèn)識(shí)和運(yùn)用

教學(xué)過(guò)程：

一、情境引入

在前面我們解決的問(wèn)題:

1、求函數(shù)在點(diǎn)（2,4)處的切線斜率.，故斜率為4

2、直線運(yùn)動(dòng)的汽車(chē)速度V與時(shí)間t的關(guān)系是，求時(shí)的瞬時(shí)速度。

，故斜率為4

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二、知識(shí)點(diǎn)講解

上述兩個(gè)函數(shù)和中，當(dāng)（)無(wú)限趨近于0時(shí),（）都無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)。

歸納：一般的，定義在區(qū)間（，)上的函數(shù)，,當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于一個(gè)固定的常數(shù)A，

則稱(chēng)在處可導(dǎo)，并稱(chēng)A為在處的導(dǎo)數(shù),記作或，上述兩個(gè)問(wèn)題中：（1），（2）

三、幾何意義：我們上述過(guò)程可以看出在處的導(dǎo)數(shù)就是在處的切線斜率.

四、例題選講

例1、求下列函數(shù)在相應(yīng)位置的導(dǎo)數(shù)

(1）,（2），（3)，

例2、函數(shù)滿足，則當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，

（1)（2）

變式:設(shè)f（x)在x=x處可導(dǎo)，（3）無(wú)限趨近于1，則=___________

0

(4）無(wú)限趨近于1，則=________________

(5)當(dāng)△x無(wú)限趨近于0，所對(duì)應(yīng)的常數(shù)與的關(guān)系。

總結(jié)：導(dǎo)數(shù)等于縱坐標(biāo)的增量與橫坐標(biāo)的增量之比的極限值。

例3、若，求和注意分析兩者之間的區(qū)別。

例4：已知函數(shù)，求在處的切線。

導(dǎo)函數(shù)的概念涉及：的對(duì)于區(qū)間(,)上任意點(diǎn)處都可導(dǎo)，則在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨x的變化而變化，因

而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)被稱(chēng)為的導(dǎo)函數(shù)，記作.

五、小結(jié)與作業(yè)

§1.1。2導(dǎo)數(shù)的概念

教學(xué)目標(biāo)：

1．了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念；

2．理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù),體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；

3．會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)重點(diǎn):瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念；

教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念．

教學(xué)過(guò)程：

一．創(chuàng)設(shè)情景

（一）平均變化率

(二）探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問(wèn)題:h

⑴運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？

⑵你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎?

探究過(guò)程：如圖是函數(shù)h(t)=—4.9t2+6。5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，,

所以，

雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為,但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜

止，可以說(shuō)明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．

二．新課講授

ot

1．瞬時(shí)速度

我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度。運(yùn)動(dòng)員的平均速度不能反映他在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速

度，那么,如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？比如,時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？考察附近的情況：

思考：當(dāng)趨近于0時(shí)，平均速度有什么樣的變化趨勢(shì)?

結(jié)論：當(dāng)趨近于0時(shí)，即無(wú)論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時(shí),平均速度都

趨近于一個(gè)確定的值．

從物理的角度看，時(shí)間間隔無(wú)限變小時(shí)，平均速度就無(wú)限趨近于史的瞬時(shí)速度，因此，運(yùn)動(dòng)員

在時(shí)的瞬時(shí)速度是

為了表述方便，我們用

表示“當(dāng)，趨近于0時(shí),平均速度趨近于定值”

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小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)

渡到瞬時(shí)速度的精確值。

2導(dǎo)數(shù)的概念

從函數(shù)y=f（x)在x=x處的瞬時(shí)變化率是：

0

我們稱(chēng)它為函數(shù)在出的導(dǎo)數(shù)，記作或,即

說(shuō)明:（1)導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x）在x=x處的瞬時(shí)變化率

0

(2），當(dāng)時(shí)，，所以

三．典例分析

2

例1．（1）求函數(shù)y=3x在x=1處的導(dǎo)數(shù).

2

分析：先求Δf=Δy=f（１＋Δx)-f（１)=6Δx+(Δx)再求再求

解:法一（略）

法二：

(2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．

解：

例2．(課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，

如果第時(shí),原油的溫度（單位:)為，計(jì)算第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義．

解:在第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是和

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，

所以同理可得:

在第時(shí)和第時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為和5，說(shuō)明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在

第附近,原油溫度大約以的速率上升．

注：一般地,反映了原油溫度在時(shí)刻附近的變化情況．

四．課堂練習(xí)1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求質(zhì)點(diǎn)在的瞬時(shí)速度為．

2．求曲線y=f(x)=x3在時(shí)的導(dǎo)數(shù)．

3．例2中,計(jì)算第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義．

五．回顧總結(jié)：1．瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念;2．導(dǎo)數(shù)的概念

六．布置作業(yè)

§1。1。3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

教學(xué)目標(biāo)：

1．了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系；

2．理解曲線的切線的概念;

3．通過(guò)函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題；

教學(xué)重點(diǎn)：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

教學(xué)難點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

教學(xué)過(guò)程：

一．創(chuàng)設(shè)情景

（一）平均變化率、割線的斜率

(二）瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù)

我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y=f(x)在x=x處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)y=f（x)在x=x附近的

00

變化情況，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢？

二．新課講授

（一）曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1—2，當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，割線的變化趨勢(shì)是什么？

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我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線

無(wú)限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí)，

割線趨近于確定的位置，這

個(gè)確定位置的直線PT稱(chēng)為

曲線在點(diǎn)P處的切線。

問(wèn)題：⑴割線的斜率與切線PT

的斜率有什么關(guān)系？

⑵切線PT的斜率為多少?

容易知道,割線的斜率是,當(dāng)

點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P

時(shí)，無(wú)限趨近于切線PT的斜

率，即

說(shuō)明：（1）設(shè)切線的傾斜角為

α,那圖3.1-2么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ

的斜率，稱(chēng)為曲線在點(diǎn)P處

的切線的斜率.

這個(gè)概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;

②切線斜率的本質(zhì)—函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。

（2）曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān)；2）要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求

解。如有極限，則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無(wú)切線;3)曲線的切線,并

不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無(wú)窮多個(gè).

(二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線的斜率,

0

即說(shuō)明：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:

①求出P點(diǎn)的坐標(biāo);

②求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率,得到曲線在點(diǎn)的切線的斜率；

③利用點(diǎn)斜式求切線方程。

（二）導(dǎo)函數(shù):

由函數(shù)f(x）在x=x處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到，當(dāng)時(shí),是一個(gè)確定的數(shù)，那么,當(dāng)x變化時(shí)，

0

便是x的一個(gè)函數(shù)，我們叫它為f（x)的導(dǎo)函數(shù)。記作:或，

即:

注：在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)．

（三）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系.

1)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，

不是變數(shù).

2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的，就是函數(shù)f（x)的導(dǎo)函數(shù)

3）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一.

三．典例分析

22

例1：（1）求曲線y=f(x）=x+1在點(diǎn)P（1,2)處的切線方程。（2)求函數(shù)y=3x在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

解：（1),

所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即

(2）因?yàn)?/p>

所以，所求切線的斜率為6，因此,所求的切線方程為即

（2）求函數(shù)f(x）=在附近的平均變化率,并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．

解：

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例2．(課本例2）如圖3.1—3，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)，根據(jù)圖像，請(qǐng)描述、

比較曲線在、、附近的變化情況．

解：我們用曲線在、、處的切線，刻畫(huà)曲線在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況．

（1）當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比較平坦,幾乎沒(méi)有升降．

（2）當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．

（3）當(dāng)時(shí),曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．

從圖3.1—3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度,這說(shuō)明曲線在附近比在附近下降的緩慢．

例3．(課本例3）如圖3.1—4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：）隨時(shí)間（單位:）變化的圖象．根

據(jù)圖像,估計(jì)時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率(精確到）．

解：血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，就是藥物濃度在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù),從圖像上看,它表示

曲線在此點(diǎn)處的切線的斜率．

如圖3。1—4,畫(huà)出曲線上某點(diǎn)處的切線，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率，可以得到此時(shí)刻藥物濃

度瞬時(shí)變化率的近似值．

作處的切線，并在切線上去兩點(diǎn),如，,則它的斜率為：

所以

下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值:

0。20。40.60。8

—

藥物濃度瞬時(shí)變化率0.40-0.7

1.4

四．課堂練習(xí)

1．求曲線y=f(x）=x3在點(diǎn)處的切線;2．求曲線在點(diǎn)處的切線．

五．回顧總結(jié)1．曲線的切線及切線的斜率；2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義

六．布置作業(yè)

§1。2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目標(biāo):

1．使學(xué)生應(yīng)用由定義求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟推導(dǎo)四種常見(jiàn)函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式；

2．掌握并能運(yùn)用這四個(gè)公式正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

教學(xué)重點(diǎn)：四種常見(jiàn)函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：四種常見(jiàn)函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式

教學(xué)過(guò)程:

一．創(chuàng)設(shè)情景

我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的

瞬時(shí)速度．那么，對(duì)于函數(shù)，如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？

由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法,但由于導(dǎo)數(shù)是用極限來(lái)定義的，所以求導(dǎo)數(shù)

總是歸結(jié)到求極限這在運(yùn)算上很麻煩，有時(shí)甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù),這

一單元我們將研究比較簡(jiǎn)捷的求導(dǎo)數(shù)的方法，下面我們求幾個(gè)常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

二．新課講授

1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因?yàn)樗?/p>

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

表示函數(shù)圖像（圖3.2—1)上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0．若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以

解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為0，即物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài)．

2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

文案大全

實(shí)用文檔

因?yàn)?，所?/p>

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

表示函數(shù)圖像（圖3.2-2）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為1．若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以

解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速運(yùn)動(dòng)．

3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

因?yàn)?/p>

所以

表示函數(shù)圖像（圖3.2-3）上點(diǎn)處的切線的斜率都為，說(shuō)明隨

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

著的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)

在一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率來(lái)看，表明：當(dāng)時(shí)，隨著的增加，函數(shù)減

少得越來(lái)越慢；當(dāng)時(shí),隨著的增加，函數(shù)增加得越來(lái)越快．若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物

體做變速運(yùn)動(dòng),它在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為．

4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因?yàn)?/p>

所以

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

（2）推廣：若，則

三．課堂練習(xí)：1．課本P探究12．課本P探究23．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1313

四．回顧總結(jié)

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

五．布置作業(yè)

§1.2。2基本初等函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法

則

教學(xué)目標(biāo)：

1．熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公

式；

2．掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；

3．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

教學(xué)重點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

教學(xué)難點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用

教學(xué)過(guò)程：函數(shù)導(dǎo)數(shù)

一．創(chuàng)設(shè)情景

四種常見(jiàn)函數(shù)、、、

的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用

二．新課講授

（一)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

文案大全

實(shí)用文檔

（二）

導(dǎo)數(shù)的

運(yùn)算法

則

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

1．2．

3．

（2)推論：(常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù))

三．典例分析

例1．假設(shè)某國(guó)家在20年期間的年均通貨膨脹率為,物價(jià)（單位：元）與時(shí)間（單位：年）有如下

函數(shù)關(guān)系，其中為時(shí)的物價(jià)．假定某種商品的,那么在第10個(gè)年頭,這種商品的價(jià)格上漲的速度大

約是多少（精確到0.01）？

解：根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表，有所以（元/年)

因此，在第10個(gè)年頭,這種商品的價(jià)格約為0.08元/年的速度上漲．

例2．根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

（1)（2）y＝；（3）y＝x·sinx·lnx;（4)y＝；

（5）y＝．（6）y＝（2x2－5x＋1）ex（7)y＝

【點(diǎn)評(píng)】

①求導(dǎo)數(shù)是在定義域內(nèi)實(shí)行的．②求較復(fù)雜的函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù),必須細(xì)心、耐心．

例3日常生活中的飲水通常是經(jīng)過(guò)凈化的．隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已

知將1噸水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用（單位:元）為

求凈化到下列純凈度時(shí)，所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率：(1）(2）

解:凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

（1)因?yàn)?所以，純凈度為時(shí)，費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是52.84元/噸．

（2）因?yàn)?，所以，純凈度為時(shí)，費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是1321元/噸．

函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點(diǎn)附近變化的快慢．由上述計(jì)算可知，．它表示純凈度為左右時(shí)凈化

費(fèi)用的瞬時(shí)變化率，大約是純凈度為左右時(shí)凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的25倍．這說(shuō)明，水的純凈度越高，需要的

凈化費(fèi)用就越多，而且凈化費(fèi)用增加的速度也越快．

四．課堂練習(xí)

1．課本P練習(xí)

92

2．已知曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4,求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線方程；（y＝－12x＋8）

五．回顧總結(jié)（1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

六．布置作業(yè)

§1.2。2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

教學(xué)目標(biāo)理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．

教學(xué)重點(diǎn)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以

中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)之積．

教學(xué)難點(diǎn)正確分解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，做到不漏,不重，熟練，正確．

一．創(chuàng)設(shè)情景

文案大全

實(shí)用文檔

（一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

（二）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

則

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

1．

2．

3．

(2)推論：(常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）

二．新課講授

復(fù)合函數(shù)的概念一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和，如果通過(guò)變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)函

數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，記作。

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于對(duì)的導(dǎo)數(shù)與對(duì)的導(dǎo)

數(shù)的乘積．

若，則

三．典例分析

例1求y＝sin（tanx2）的導(dǎo)數(shù)．

【點(diǎn)評(píng)】

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu),明確復(fù)合次數(shù)，由外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，

直到關(guān)于自變量求導(dǎo),同時(shí)應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時(shí)化簡(jiǎn)計(jì)算結(jié)果．

例2求y＝的導(dǎo)數(shù)．

【點(diǎn)評(píng)】本題練習(xí)商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．求導(dǎo)數(shù)后要予以化簡(jiǎn)整理．

例3求y＝sin4x＋cos4x的導(dǎo)數(shù)．

【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22x

＝1－（1－cos4x）＝＋cos4x．y′＝－sin4x．

【解法二】y′＝(sin4x)′＋（cos4x)′＝4sin3x（sinx)′＋4cos3x（cosx）′＝4sin3xcos

x＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx（sin2x－cos2x）＝－2sin2xcos2x＝－sin4x

【點(diǎn)評(píng)】

解法一是先化簡(jiǎn)變形，簡(jiǎn)化求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，要注意變形準(zhǔn)確．解法二是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù),應(yīng)

注意不漏步．

例4曲線y＝x(x＋1)（2－x)有兩條平行于直線y＝x的切線，求此二切線之間的距離．

【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2

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實(shí)用文檔

令y′＝1即3x2－2x－1＝0,解得x＝－或x＝1．

于是切點(diǎn)為P(1，2）,Q（－，－)，

過(guò)點(diǎn)P的切線方程為,y－2＝x－1即x－y＋1＝0．

顯然兩切線間的距離等于點(diǎn)Q到此切線的距離，故所求距離為＝．

四．課堂練習(xí)

1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=sinx3+sin33x；(2）;（3)

2.求的導(dǎo)數(shù)

五．回顧總結(jié)

六．布置作業(yè)

§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（2課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：

1．了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；

2．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次；

教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

教學(xué)過(guò)程:

一．創(chuàng)設(shè)情景

函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型,研究函數(shù)時(shí),了解函數(shù)的贈(zèng)與減、增減的快與慢以及

函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過(guò)研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對(duì)數(shù)量的變化規(guī)

律有一個(gè)基本的了解．下面，我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),從中體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用．

二．新課講授

1．問(wèn)題:圖3。3-1（1），它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像,圖3。3-1（2）表示高臺(tái)跳

水運(yùn)動(dòng)員的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像．

運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？

通過(guò)觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：

（1）運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度隨時(shí)間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，．

（2）從最高點(diǎn)到入水,運(yùn)動(dòng)員離水面的高度隨時(shí)間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，．

2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系．

如圖3。3-3,導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．

在處，，切線是“左下右上”式的，時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；

在處,,切線是“左上右下”式的，這時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞減．

結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果,

那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．

說(shuō)明：（1）特別的，如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)．

3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:

(1）確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)；

（3)解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；

（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．

三．典例分析

例1．已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：

當(dāng)時(shí),；當(dāng),或時(shí)，;當(dāng)，或時(shí)，

試畫(huà)出函數(shù)圖像的大致形狀．

解：當(dāng)時(shí)，,可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)，或時(shí)，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

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實(shí)用文檔

當(dāng)，或時(shí),，這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱(chēng)為“臨界點(diǎn)”．

綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3—4所示．

例2．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．

（1）;（2）

（3）；（4)

解：（1)因?yàn)?，所以?/p>

因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3。3-5（1）所示．

（2）因?yàn)?，所以，，?dāng),即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng),即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減;

函數(shù)的圖像如圖3。3-5（2）所示．

（3）因?yàn)椋?

因此,函數(shù)在單調(diào)遞減,如圖3。3-5(3)所示．

（4）因?yàn)?所以．

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù);

當(dāng),即時(shí)，函數(shù);

函數(shù)的圖像如圖3。3—5（4)所示．

注：（3）、（4）生練

例3如圖3.3—6，水以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器

中，請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像．

分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時(shí),開(kāi)始階段高度增加得慢,以后

高度增加得越來(lái)越快．反映在圖像上,(A)符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．

解：

思考:例3表明，通過(guò)函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，

你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？

一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快,這時(shí),

函數(shù)的圖像就比較“陡峭";反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．

如圖3.3—7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”,

在或內(nèi)的圖像“平緩”．

例4求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．

證明:因?yàn)?/p>

當(dāng)即時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．

說(shuō)明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：

（1)求導(dǎo)函數(shù)；（2）判斷在內(nèi)的符號(hào);

（3)做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)．

例5已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

解：，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù),所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，解之得：

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

說(shuō)明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見(jiàn)的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即

“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減,則"來(lái)求解，注意此時(shí)公式中的等號(hào)不能省略,否則漏解．

四．課堂練習(xí)

1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.f(x）=2x3－6x2+72.f（x)=+2x3。f(x)=sinx，x4。y=xlnx

2．課本練習(xí)

五．回顧總結(jié)

（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

文案大全

實(shí)用文檔

（2)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間

(3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性

六．布置作業(yè)

§1。3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(2課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：1。理解極大值、極小值的概念;

2。能夠運(yùn)用判別極大值、極小值的方法來(lái)求函數(shù)的極值；

3。掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟；

教學(xué)重點(diǎn)：極大、極小值的概念和判別方法,以及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟.

教學(xué)難點(diǎn):對(duì)極大、極小值概念的理解及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟.

教學(xué)過(guò)程：

一．創(chuàng)設(shè)情景

觀察圖3。3—8，我們發(fā)現(xiàn)，時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面高度最大．那么,函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)

是多少呢？此點(diǎn)附近的圖像有什么特點(diǎn)?相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化規(guī)律？

放大附近函數(shù)的圖像,如圖3.3—9．可以看出；在，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)

遞減，；這就說(shuō)明,在附近,函數(shù)值先增（，）后減(，)．這樣，當(dāng)在的附近從小到大經(jīng)過(guò)時(shí)，先正后

負(fù)，且連續(xù)變化,于是有．

對(duì)于一般的函數(shù),是否也有這樣的性質(zhì)呢?

附:對(duì)極大、極小值概念的理解，可以結(jié)合圖象進(jìn)行說(shuō)明。并且要說(shuō)明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)

附近的小區(qū)間而言的.從圖象觀察得出，判別極大、極小值的方法。判斷極值點(diǎn)的關(guān)鍵是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)

數(shù)異號(hào)

二．新課講授

1．問(wèn)題:圖3。3-1（1），它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像，圖3。3-1(2)表示高臺(tái)跳水

運(yùn)動(dòng)員的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像．

運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？

通過(guò)觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：

（1）運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn),離水面的高度隨時(shí)間的增加而增加,即是增函數(shù)．相應(yīng)地,．

（2）從最高點(diǎn)到入水,運(yùn)動(dòng)員離水面的高度隨時(shí)間的增加而減少,即是減函數(shù)．相應(yīng)地,．

2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系．

如圖3。3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．在處，,切線是“左下右上”式的，這時(shí)，函數(shù)

在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下”式的，這時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞減．

結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．

說(shuō)明：(1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)．

3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：

（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù);

（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；

（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．

三．典例分析

例1．已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息:

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)，或時(shí),；

當(dāng)，或時(shí)，

試畫(huà)出函數(shù)圖像的大致形狀．

解：當(dāng)時(shí)，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

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當(dāng),或時(shí),;可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)，或時(shí)，,這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱(chēng)為“臨界點(diǎn)"．

綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3—4所示．

例2．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．

（1）；（2）

（3）；(4）

解：（1）因?yàn)椋裕?/p>

因此,在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示．

(2）因?yàn)椋裕?/p>

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;

函數(shù)的圖像如圖3。3-5（2）所示．

（3）因?yàn)?，所以?/p>

因此,函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3—5（3）所示．

（4）因?yàn)?，所以?/p>

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)；

函數(shù)的圖像如圖3.3-5（4）所示．

注：（3)、(4）生練

例6如圖3.3-6，水以常速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器

中，請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像．

分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗,所以水以常速注入時(shí)，開(kāi)始階段高度增加得慢，以后

高度增加得越來(lái)越快．反映在圖像上,(A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．

解：

思考:例3表明，通過(guò)函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，

你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎?

一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí),

函數(shù)的圖像就比較“陡峭”;反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．如圖3。3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的

圖像“陡峭”，在或內(nèi)的圖像“平緩"．

例7求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．

證明：因?yàn)?/p>

當(dāng)即時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．

說(shuō)明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：

(1）求導(dǎo)函數(shù)；

（2)判斷在內(nèi)的符號(hào)；

（3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)．

例8已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

解：，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，解之得：

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

說(shuō)明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見(jiàn)的題型,常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即

“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來(lái)求解，注意此時(shí)公式中的等號(hào)不能省略,否則漏

解．

四．課堂練習(xí)

1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=+2x3。f(x)=sinx,x4。y=xlnx

2．課本P101練習(xí)

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五．回顧總結(jié)

(1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

（2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間

（3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性

六．布置作業(yè)

§1.3。3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（2課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo):

⒈使學(xué)生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上所有點(diǎn)（包括端

點(diǎn)）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲当赜械某浞謼l件；

⒉使學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟

教學(xué)重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法．

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系．

教學(xué)過(guò)程：

一．創(chuàng)設(shè)情景

我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)．也就是

說(shuō)，如果是函數(shù)的極大（?。┲迭c(diǎn)，那么在點(diǎn)附近找不到比更大（?。┑闹担?在解決實(shí)際問(wèn)題或研究

函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們更關(guān)心函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上，哪個(gè)至最大，哪個(gè)值最?。绻呛瘮?shù)的最大（?。┲?，

那么不小(大）于函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的所有函數(shù)值．

二．新課講授

觀察圖中一個(gè)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象．圖中與是極小值，是極大值．函數(shù)在上的最大

值是，最小值是．

1．結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小

值．

說(shuō)明：⑴如果在某一區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱(chēng)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上連續(xù)．（可

以不給學(xué)生講)

⑵給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在

內(nèi)連續(xù)，但沒(méi)有最大值與最小值；

⑶在閉區(qū)間上的每一點(diǎn)必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒(méi)有間斷,

⑷函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．(可以不給

學(xué)生講)

2．“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系

⑴最值”是整體概念，是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對(duì)性；而“極值”是個(gè)局部概

念，是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的，具有相對(duì)性．

⑵從個(gè)數(shù)上看,一個(gè)函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；

⑶函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè),而函數(shù)的極值可能不止一個(gè),也可能沒(méi)有一個(gè)

⑷極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，有極值的未必有最值，有最值的

未必有極值;極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值．

3．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：

由上面函數(shù)的圖象可以看出,只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就

可以得出函數(shù)的最值了．一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：

⑴求在內(nèi)的極值;

⑵將的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值，

得出函數(shù)在上的最值

三．典例分析

例1．（課本例5）求在的最大值與最小值

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解：由例4可知，在上，當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為，又由于，,因此，函數(shù)在的最大值是4,

最小值是．

上述結(jié)論可以從函數(shù)在上的圖象得到直觀驗(yàn)證．

四．課堂練習(xí)

1．下列說(shuō)法正確的是()

A。函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值B。函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值

C.函數(shù)的最值一定是極值D。在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值

2．函數(shù)y=f（x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M，最小值是m，若M=m，則f′（x）()

A。等于0B.大于0C.小于0D。以上都有可能

3．函數(shù)y=，在[－1，1］上的最小值為（)

A.0B。－2C。－1D.

4．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．

5．課本練習(xí)

五．回顧總結(jié)

1．函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點(diǎn)必在下列各種點(diǎn)之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn),導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),區(qū)間端點(diǎn)；

2．函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；

3．閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開(kāi)區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的

極值,則此極值必是函數(shù)的最值

4．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值方法．

六．布置作業(yè)

§1。4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例（2課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：

1．使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，提高將

實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力

教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題．

教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題．

教學(xué)過(guò)程：

一．創(chuàng)設(shè)情景:生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題．通

過(guò)前面的學(xué)習(xí),我們知道,導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小)值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生

活中的優(yōu)化問(wèn)題．

二．新課講授：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題,主要有

以下幾個(gè)方面：1、與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問(wèn)題；3、與利潤(rùn)及其成本有

關(guān)的最值問(wèn)題；4、效率最值問(wèn)題.

解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：首先是需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并

確定函數(shù)的定義域，通過(guò)創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問(wèn)題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系.

再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的

工具．

利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：

建立數(shù)學(xué)模型

優(yōu)化問(wèn)題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題

解決數(shù)學(xué)模型

作答

優(yōu)化問(wèn)題的答案用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

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三．典例分析

例1．汽油的使用效率何時(shí)最高

我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車(chē)的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽

油的消耗量是汽車(chē)速度的函數(shù)．根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)，思考下面兩個(gè)問(wèn)題:

（1）是不是汽車(chē)的速度越快，汽車(chē)的消耗量越大？

（2）“汽油的使用率最高"的含義是什么?

分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車(chē)行駛路程的比值．如果用表

示每千米平均的汽油消耗量,那么，其中,表示汽油消耗量（單位:L)，表示汽油行駛的路程(單位：

km)．這樣,求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問(wèn)題．

通過(guò)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究,

人們發(fā)現(xiàn)，汽車(chē)在行駛過(guò)程中,汽油平均消耗率

（即每小時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車(chē)行駛的

平均速度(單位：km/h)之間有

如圖所示的函數(shù)關(guān)系．

從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問(wèn)題．因此,我們首先需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為汽油平均消

耗率（即每小時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車(chē)行駛的平均速度（單位:km/h)之間關(guān)系的問(wèn)題，

然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問(wèn)題．

解：因?yàn)?/p>

這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求的最小值．從圖象上看,表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的直線的斜率．進(jìn)一步發(fā)

現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，其斜率最?。诖饲悬c(diǎn)處速度約為90．

因此，當(dāng)汽車(chē)行駛距離一定時(shí)，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時(shí)的車(chē)

速約為90．從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率,即，約為L(zhǎng)．

例2．磁盤(pán)的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題

計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤(pán)上。磁盤(pán)是帶有磁性介質(zhì)的圓盤(pán)，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和

扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定

長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱(chēng)為比

特（bit)。

為了保障磁盤(pán)的分辨率，磁道之間的寬度必需大于,每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于。為了

數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤(pán)格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù).

問(wèn)題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤(pán)，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域．

（1）是不是越小,磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大？

（2）為多少時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量(最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？

解：由題意知：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)。

設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于與R之間,由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信

息，故磁道數(shù)最多可達(dá).由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝

滿,即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá).所以，磁盤(pán)總存儲(chǔ)量

×

（1）它是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小,磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大．

（2）為求的最大值，計(jì)算．

令，解得

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．

因此時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為

例3．飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響

（1）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？

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（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？

【背景知識(shí)】:某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中

是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的

瓶子的最大半徑為6cm

問(wèn)題：(１)瓶子的半徑多大時(shí),能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？

(２）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最??？

解:由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是

令解得（舍去)

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),．

當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；

當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞減,即半徑越大，利潤(rùn)越低．

（1）半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)

是負(fù)值．

（2）半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大．

換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

有圖像知:當(dāng)時(shí),,即瓶子的半徑為3cm時(shí)，飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等;當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)才為正

值．

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，其實(shí)際意義為:瓶子的半徑小于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越小，半徑

為cm時(shí)，利潤(rùn)最?。?/p>

說(shuō)明：

四．課堂練習(xí)

1．用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊

長(zhǎng)0.5m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積．（高為1.2m,最大容積)

5．課本練習(xí)

五．回顧總結(jié)

1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：

建立數(shù)學(xué)模型

優(yōu)化問(wèn)題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題

解決數(shù)學(xué)模型

作答

優(yōu)化問(wèn)題的答案用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

2．解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：通過(guò)搜集大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)研究相應(yīng)

函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得到解決．在這個(gè)過(guò)程中,導(dǎo)數(shù)往往是一個(gè)有利的工具。

六．布置作業(yè)

§1.5。3定積分的概念

教學(xué)目標(biāo)：

1。通過(guò)求曲邊梯形的面積和汽車(chē)行駛的路程，了解定積分的背景；

2.借助于幾何直觀定積分的基本思想，了解定積分的概念,能用定積分定義求簡(jiǎn)單的定

積分；

3.理解掌握定積分的幾何意義．

教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念、用定義求簡(jiǎn)單的定積分、定積分的幾何意義．

教學(xué)難點(diǎn):定積分的概念、定積分的幾何意義．

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實(shí)用文檔

教學(xué)過(guò)程：

一．創(chuàng)設(shè)情景

復(fù)習(xí):

1．回憶前面曲邊梯形的面積，汽車(chē)行駛的路程等問(wèn)題的解決方法,解決步驟：

分割→近似代替(以直代曲)→求和→取極限（逼近）

2．對(duì)這四個(gè)步驟再以分析、理解、歸納,找出共同點(diǎn)．

二．新課講授

1．定積分的概念

一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)

將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式：

如果無(wú)限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無(wú)限趨近于常數(shù)，那么稱(chēng)該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。

記為：，

其中積分號(hào),－積分上限，－積分下限,－被積函數(shù)，－積分變量,－積分區(qū)間，－被積式。

說(shuō)明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù),即無(wú)限趨近的常數(shù)（時(shí)）記為，而不是．

（2)用定義求定積分的一般方法是：①分割:等分區(qū)間;②近似代替：取點(diǎn);③求和：；④取極

限:

（3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程；變力做功

2．定積分的幾何意義

從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形（如

圖中的陰影部分)的面積，這就是定積分的幾何意義。

說(shuō)明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，

在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積去負(fù)號(hào).

分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值。

考察和式

不妨設(shè)

于是和式即為

陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）

思考:根據(jù)定積分的幾何意義，你能用定積分表示圖中陰影部分的面積S嗎？

3．定積分的性質(zhì)

根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：

性質(zhì)1；

性質(zhì)2(定積分的線性性質(zhì)）；

性質(zhì)3（定積分的線性性質(zhì)）;

性質(zhì)4（定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性）

（1）；(2）；

說(shuō)明：①推廣：

②推廣：

③性質(zhì)解釋?zhuān)?/p>

性質(zhì)4

三．典例分析

性質(zhì)1

例1．利用定積分的定義，計(jì)算的值。

分析:令；

（１）分割

把區(qū)間n等分，則第i個(gè)區(qū)間為:，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為：;

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（２）近似代替、求和

取,則(３）取極限

.

例2．計(jì)算定積分

分析：所求定積分是所圍成的梯形面積，即為如圖陰影部分面積,面積為。即：

思考:若改為計(jì)算定積分呢?改變了積分上、下限，

被積函數(shù)在上

出現(xiàn)了負(fù)值如何解決呢？（后面解決的問(wèn)題)y

例３．計(jì)算定積分

分析：利用定積分性質(zhì)有，

利用定積分的定義分別求出，，就能得到的值.

四．課堂練習(xí)

Ox

計(jì)算下列定積分12

1．

2．

3．課本練習(xí)：計(jì)算的值,并從幾何上解釋這個(gè)值表示什么？

五．回顧總結(jié)

1．定積分的概念、用定義法求簡(jiǎn)單的定積分、定積分的幾何意義．

六．布置作業(yè):P503、5

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第二章推理與證明

合情推理

掌握歸納推理的技巧，并能運(yùn)用解決實(shí)際問(wèn)題。

通過(guò)“自主、合作與探究”實(shí)現(xiàn)“一切以學(xué)生為中心”的理念。

感受數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美感。

●教學(xué)重點(diǎn)：歸納推理及方法的總結(jié)。

●教學(xué)難點(diǎn)：歸納推理的含義及其具體應(yīng)用。

●教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

●課時(shí)安排:1課時(shí)

●教學(xué)過(guò)程:

一。問(wèn)題情境

(1)原理初探

①引入：“阿基米德曾對(duì)國(guó)王說(shuō)，給我一個(gè)支點(diǎn)，我將撬起整個(gè)地球!”

②提問(wèn)：大家認(rèn)為可能嗎？他為何敢夸下如此?？冢坷碛珊卧?？

③探究：他是怎么發(fā)現(xiàn)“杠桿原理”的？

從而引入兩則小典故：(圖片展示—阿基米德的靈感)

A：一個(gè)小孩，為何輕輕松松就能提起一大桶水？

B：修筑河堤時(shí)，奴隸們是怎樣搬運(yùn)巨石的？

正是基于這兩個(gè)發(fā)現(xiàn)，阿基米德大膽地猜想,然后小心求證，終于發(fā)現(xiàn)了偉大的

“杠桿原理”。

④思考：整個(gè)過(guò)程對(duì)你有什么啟發(fā)?

⑤啟發(fā)：在教師的引導(dǎo)下歸納出：“科學(xué)離不開(kāi)生活，離不開(kāi)觀察,也離不開(kāi)猜

想和證明”。

觀察猜想證明

歸納推理的發(fā)展過(guò)程

（2）皇冠明珠

追逐先輩的足跡，接觸數(shù)學(xué)皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。

鏈接:

世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。哥德巴赫是德國(guó)一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690

5+13,....等等。有人對(duì)33×108以?xún)?nèi)且大過(guò)6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但驗(yàn)格的

年，1725年當(dāng)選為俄國(guó)彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的

數(shù)學(xué)證明尚待數(shù)學(xué)家的努力。從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬(wàn)數(shù)學(xué)家的注意。思考：其他偶數(shù)是否也有類(lèi)似的規(guī)律？200年過(guò)去

偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742

了，沒(méi)有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的③討論:組織學(xué)生進(jìn)行交流、探討?！懊髦椤?。到了20世紀(jì)20年代，才

年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫(xiě)信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何

有人開(kāi)始向它靠近。④檢驗(yàn):2和4可以嗎？為什么不行1920年、挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個(gè)結(jié)論：每一個(gè)比大的?

一個(gè)≥6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。(b)任何一個(gè)≥9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)

偶數(shù)都可以表示為（⑤歸納：通過(guò)剛才的探究，由學(xué)生歸納“歸納推理”的定義及特點(diǎn)。99）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從（9十9）開(kāi)始，逐步減少每個(gè)數(shù)

奇質(zhì)數(shù)之和。

里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù)，直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了3