2023年中考數(shù)學(xué)思維方法講義【第14講】專題復(fù)習(xí)-代數(shù)專題(含答案)

數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料年級：九年級第14講專題復(fù)習(xí)—代數(shù)專題反比例函數(shù)與二次函數(shù)的相關(guān)知識是期末考試重點(diǎn)，二次函數(shù)的考察也是一難點(diǎn)，所以本次專題以這二者的講解與訓(xùn)練為主。【典例精析】●專題一一元二次方程考點(diǎn)1：一元二次方程的根的判別式、韋達(dá)定理、根的定義以及整體思想【例1】1、方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．2、已知是方程的根,則代數(shù)式的值為．考點(diǎn)2：一元二次方程的應(yīng)用【例2】“低碳生活，綠色出行”，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具。某運(yùn)動商城的自行車銷售量自2023年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，該商城1月份銷售自行車64輛，3月份銷售了100輛。（1）若該商城前4個(gè)月的自行車銷量的月平均增長率相同，問該商城4月份賣出多少輛自行車？（2）考慮到自行車需求不斷增加，該商城準(zhǔn)備投入3萬元再購進(jìn)一批兩種規(guī)格的自行車，已知A型車的進(jìn)價(jià)為500元/輛，售價(jià)為700元/輛，B型車進(jìn)價(jià)為1000元/輛，售價(jià)為1300元/輛。根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，A型車不少于B型車的2倍，但不超過B型車的2.8倍。假設(shè)所進(jìn)車輛全部售完，為使利潤最大，該商城應(yīng)如何進(jìn)貨？●專題二反比例函數(shù)和二次函數(shù)考點(diǎn)1：反比例函數(shù)圖像及性質(zhì)應(yīng)用【例3】1、如圖，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，－2），則k的值為()A．1 B．－3 C．4 D．1或－32、如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn)，交x軸的正半軸于C點(diǎn)，若AB:BC=(m－1):1（m>1），則△OAB的面積（用m表示）為.圖1圖2圖33、如圖，M為雙曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸、y軸的垂線，分別交直線于D、C兩點(diǎn)，若直線與y軸交與點(diǎn)A，與x軸交與點(diǎn)B，則AD·BC的值為?？键c(diǎn)2：規(guī)律探索【例4】1、如圖12，一段拋物線：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），記為C1，它與x軸交于點(diǎn)O，A1；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x軸于點(diǎn)A3；……如此進(jìn)行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段拋物線C13上，則m=_________．2、如圖，點(diǎn)P1（x1，y1），點(diǎn)P2（x2，y2），…，點(diǎn)Pn（xn，yn）在函數(shù)（x＞0）的圖象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，斜邊OA1、A1A2、A2A3，…，An﹣1An都在x軸上（n是大于或等于2的正整數(shù)），則點(diǎn)P3的坐標(biāo)是；點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是（用含n的式子表示）．考點(diǎn)3：反比列函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用【例5】如圖，矩形的頂點(diǎn)分別在軸和軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為。雙曲線的圖像經(jīng)過的中點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，連接。（1）求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，求直線的解析式。【例6】如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線（k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F。（1）若E是AB的中點(diǎn)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn)，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值。.考點(diǎn)4：求二次例函數(shù)解析式【例7】§1、（已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、或極值求二次函數(shù)的解析式）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（－1，2），對稱軸為且最小值為－2，求這個(gè)函數(shù)的解析式。§2、（已知圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離求解析式）已知二次函數(shù)的圖象x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，對稱軸為且經(jīng)過點(diǎn)（３，－4），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式?！?、（由二次函數(shù)的圖象變換求解析式）把函數(shù)的圖象繞其圖象與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800，求所得拋物線的解析式?？键c(diǎn)2：二次函數(shù)圖像及性質(zhì)運(yùn)用【例8】1、對于二次函數(shù)，有下列說法：①它的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；②如果當(dāng)≤1時(shí)隨的增大而減小，則；③如果將它的圖象向左平移3個(gè)單位后過原點(diǎn)，則；④如果當(dāng)時(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相等，則當(dāng)時(shí)的函數(shù)值為．其中正確的說法是．（把你認(rèn)為正確說法的序號都填上）2、小軒從如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你認(rèn)為其中正確信息的有（填番號）?？键c(diǎn)5：二次例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例9】某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子廠品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=﹣2x+100．（利潤=售價(jià)﹣制造成本）（1）寫出每月的利潤z（萬元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得350萬元的利潤？當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（3）根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬元？考點(diǎn)6：二次函數(shù)的壓軸題【例10】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此拋物線的解析式．（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．①動點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PDE的周長最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接PA，以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線對稱軸上時(shí)，求出對應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．（結(jié)果保留根號）【課后測控】1、如圖1，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點(diǎn)A在直線y=x上，其中A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸。若雙曲線y=(k≠0)與△ABC的邊有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．1＜k＜2B．1≤k≤3C．1≤k≤4D．1≤k＜42、如圖，直線交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，P是反比例函數(shù)圖象上位于直線下方的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)F。則。3、某汽車銷售公司6月份銷售某廠家汽車，在一定范圍內(nèi)，每輛汽車的進(jìn)價(jià)與銷售量有如下關(guān)系，若當(dāng)月僅售出1輛汽車，則該汽車的近價(jià)為27萬元；每多售出1輛，所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬元/輛，月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10輛以內(nèi)（含10輛），每輛返利0.5萬元，銷售量在10輛以上，每輛返利1萬.（1）若該公司當(dāng)月售出3輛汽車，則每輛汽車的進(jìn)價(jià)為多少萬元？（2）如果汽車的售價(jià)為28萬元/輛，該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬元，那么需要售出多少輛汽車？（盈利=銷售利潤+返利）4、如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，軸的正半軸于點(diǎn)，是的中點(diǎn)；一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)，并將軸于點(diǎn)若（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，請指出在軸的右側(cè)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，邊OC、OA分別在x、y軸上，頂點(diǎn)B在第四象限，，，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)落在處，交于．（1）求的長；（2）求過三點(diǎn)拋物線的解析式；（3）若為過三點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)，一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間（秒）為何值時(shí)，直線把分成面積之比為的兩部分？部分答案:【例2】（1）27－（3－1）×0.1=26.8.（2）設(shè)銷售汽車x輛，則汽車的進(jìn)價(jià)為27－（x－1）×0.1=27.1－0.1x萬元，若x≤10,則（28－27.1+0.1x）x+0.5x=12解得x1=6,x2=－20(不合題意，舍去)若x>10,則（28－27.1+0.1x）x+x=12解得x3=5(與x>10舍去，舍去),x4=－24(不合題意，舍去)公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬元，需要售出6輛汽車.【例6】解：（1）OABC為矩形,AB=OC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AE=2，OA=2，，點(diǎn)E（2，2）在雙曲線y=eq\f(k,x)上，k=2×2=4,點(diǎn)F在直線BC及雙曲線y=eq\f(4,x)，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，f）,f=eq\f(4,4)=1,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）.(2)①證明：△DEF是由△BEF沿EF對折得到的，∠EDF=∠EBF=90o，點(diǎn)D在直線OC上，∠GDE+∠CDF=180o-∠EDF=180o-90o=90o，∠DGE=∠FCD=90o，∠GDE+∠GED=90o，∠CDF=∠GED，△EGD∽△DCF；設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a,2）,點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4,b）,點(diǎn)E、F在雙曲線y=eq\f(k,x)上，k=2a=4b,a=2b,所以有點(diǎn)E（2b,2）,AE=2b,AB=4,ED=EB=4-2b,EG=OA=CB=2,CF=b,DF=BF=CB-CF=2-b,DC=eq\r(,DF2-CF2)=eq\r(,(2-b)2-b2)=2eq\r(,1-b),△EGD∽△DCF,eq\f(DC,DF)=eq\f(EG,ED),eq\f(2\r(,1-b),2-b)=eq\f(2,4-2b),b=eq\f(3,4),有點(diǎn)F（4，eq\f(3,4)），k=4×eq\f(3,4)=3.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：代數(shù)幾何綜合題．分析：（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；（2）①根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA=OB，從而得到△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，PD越大，△PDE的周長最大，再判斷出當(dāng)與直線AB平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，PD最大，再求出直線AB的解析式為y=x+3，設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯(lián)立消掉y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②先確定出拋物線的對稱軸，然后（i）分點(diǎn)M在對稱軸上時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥對稱軸于Q，根據(jù)同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角邊”證明△APF和△MPQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PF=PQ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，表示出PQ的長，即PF，然后代入拋物線解析式計(jì)算即可得解；（ii）點(diǎn)N在對稱軸上時(shí)，同理求出△APF和△ANQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PF=AQ，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），∴，解得，所以，拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF⊥x軸，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD越大，△PDE的周長越大，易得直線AB的解析式為y=x+3，設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，聯(lián)立，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，當(dāng)△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，PD最長，此時(shí)x=﹣，y=﹣+=，∴點(diǎn)P（﹣，）時(shí)，△PDE的周長最大；②拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為直線x=﹣=﹣1，（i）如圖1，點(diǎn)M在對稱軸上時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥對稱軸于Q，在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，∴∠APF=∠QPM，∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS），∴PF=PQ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n（n＜0），則PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣1﹣n），∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4=0，解得n1=（舍去），n2=，﹣1﹣n=﹣1﹣=，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（ii）如圖2，點(diǎn)N在對稱軸上時(shí)，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN，又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ，∴PF=AQ，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（x，﹣x2﹣2x+3），則有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，解得x=﹣1（不合題意，舍去）或x=﹣﹣1，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣﹣1，2）．綜上所述，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在拋物線對稱軸上時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），當(dāng)頂點(diǎn)N恰好落在拋物線對稱軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣﹣1，2）．解：（1）三，k＞0；（2）∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，而點(diǎn)C的坐標(biāo)標(biāo)為（2，2），∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），把y=2代入得x=；把x=2代入得y=，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，），∴=，當(dāng)k－2=0，即k=2時(shí)，S陰影部分最小，最小值為；∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S最??；（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），∵，∴OD=DC，即D點(diǎn)為OC的中點(diǎn)，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，），把y=代入得x=，確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∵，∴×=1，解得k=.例8（2）【例9】解：（1）∵z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800，∴z與x之間的函數(shù)解析式為z=﹣2x2+136x﹣1800。（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，解這個(gè)方程得x1=25，x2=43。∴銷售單價(jià)定為25元或43元時(shí)，廠商每月能獲得3502萬元的利潤?！遺═﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，∴當(dāng)銷售單價(jià)為34元時(shí)，每月能獲得最大利潤，最大利潤是512萬元。（3）結(jié)合（2）及函數(shù)z=﹣2x2+136x﹣1800的圖象（如圖所示）可知，當(dāng)25≤x≤43時(shí)，z≥350。又由限價(jià)32元，得25≤x≤32。根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得y=﹣2x+100中y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=32時(shí)，每月制造成本最低。最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（萬元）?！嗨竺吭伦畹椭圃斐杀緸?48萬元?！纠?0】解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式∵拋物線與軸交于點(diǎn)，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得．∴所求函數(shù)表達(dá)式，即．（2）∵點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是．將點(diǎn)C的坐標(biāo)是代入，得．∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為．設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)為，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為，