高考數(shù)學總復習：選修4-1《幾何證明選講》1

第一節(jié)相似三角形的判定及有關性質

[主干知識梳理]一、平行線等分線段定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等．二、平行線分線段成比例定理定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段

． 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段

．成比例成比例三、相似三角形的判定及性質1．判定定理內容判定定理1

對應相等，兩三角形相似判定定理2

對應成比例，兩個三角形相似判定定理3

對應成比例且

相等，兩三角形相似兩角三邊兩邊夾角2.性質定理內容性質定理1相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于性質定理2相似三角形周長的比等于相似比性質定理3相似三角形的面積比等于推論相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比相似比的平方相似比的平方四、直角三角形的射影定理

直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的

；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的

．比例中項比例中項

[基礎自測自評]1.(教材習題改編)如圖，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm.則BC的長為________．2．(教材習題改編)如圖所示，BD、CE

是△ABC的高，BD、CE交于F.寫出圖中 所有與△ACE相似的三角形____________ ____． 解析由Rt△ACE與Rt△FCD和Rt△ ABD各有一個公共銳角，因而它們相似． 又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE.

答案△FCD，△FBE，△ABD3如圖，在△ABC中，M、N分別是AB、BC的中點，AN、CM交于點O，那么△MON與△AOC面積的比是________．答案1∶45．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D.若BC＝m，∠B＝α，則AD長為________． 解析由射影定理，得

AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC， 即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m， 即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.

又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α， ∴AD＝mcos

αsin

α.

答案mcos

αsin

α[關鍵要點點撥]1．使用平行線截割定理時要注意對應線段、對應邊對應成比例，對應順序不能亂．2．相似三角形判定定理的作用：

(1)可以判定兩個三角形相似．

(2)間接證明角相等、線段長成比例．

(3)為計算線段的長度及角的大小創(chuàng)造條件．平行線分線段成比例定理的應用

[規(guī)律方法]比例線段常由平行線產生，利用平行線轉移比例是常用的證題技巧，當題中沒有平行線條件而又必須轉移比例時，常通過添加輔助平行線達到轉移比例的目的．

[跟蹤訓練]1．(1)(2014·泉州模擬)如圖，要測量的A、C兩點被池塘隔開，李師傅在AC外任選一點B，連接BA和BC，分別取BA和BC的中點E、F，量得E、F兩點間的距離等于23米，則A、C兩點間的距離為________米．[典題導入] (2013·新課標全國Ⅱ高考)如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點共圓．相似三角形的判定及性質

(1)證明：CA是△ABC外接圓的直徑；(2)若DB＝BE＝EA，求過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．[規(guī)律方法]1．相似三角形的判定主要是依據(jù)三個判定定理，結合定理創(chuàng)造條件建立對應邊或對應角的關系．2．注意輔助線的添加，多數(shù)作平行線．3．相似三角形的性質可用來考查與相似三角形相關的元素，如三角形的高、周長、角平分線、中線、面積、外接圓的直徑、內切圓的直徑等．

[跟蹤訓練]2.如圖，弦AB與CD相交于⊙O內一點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P，已知PD＝2DA＝2，則PE＝________.射影定理的應用[規(guī)律方法]1．在使用直角三角形射影定理時，要學會將“乘積式”轉化為相似三角形中的“比例式”．2．證題時，作垂線構造直角三角形是解該問題的常用方法．

[跟蹤訓練]3．(1)如圖所示，圓O上一點C在直徑AB上的 射影為D，CD＝4，BD＝8，則圓

O的半徑等于________． 解析在Rt△ACB中， 由射影定理得CD2＝AD·DB,42＝8·AD，

AD＝2，AB＝AD＋DB＝10， 所以圓的半徑等于5.

答案5【創(chuàng)新探究】巧構相似三角形求面積之比

(2014·廣東揭陽一模)如圖所示，AB是⊙O的直徑，過圓上一點E作切線ED⊥AF，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C.若CB＝2，CE＝4，則AD的長為________．【高手支招】

借助圖形判斷三角形相似的方法：(1)有平行線的可圍繞平行線找相似；(2)有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或對應邊成比例；(3)有公共邊的可將圖形旋轉，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對應邊．

[體驗高考]