九年級數(shù)學下冊圓內接正多邊形教案

課題：3.8圓內接正多邊形

教學目標：

1．了解圓內接正多邊形的有關概念．

2．理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系．

3．會用尺規(guī)作圓的內接正方形和正六邊形．

教學重點與難點：

重點：理解正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等概念.

難點：能運用正多邊形的知識解決圓的有關計算問題.

課前準備：教師準備多媒體課件.

教學過程:

一、創(chuàng)設情境，導入新課

活動內容：各小組派代表展示自己課前所調查得到的正多邊形形狀的物體.回答下列問

題：

問題1：什么叫正多邊形？

問題2：正多邊形是軸對稱圖形、?中心對稱圖形嗎？其對稱軸有幾條，對稱中心是哪

一點？

問題3：以對稱中心為圓心，以對稱中心到正多邊形的一個頂點的長為半徑畫圓，你有

何發(fā)現(xiàn)？

處理方式：學生自己找到正多邊形的對稱軸和對稱中心，畫出符合條件的圓.

設計意圖：通過作圖的過程，學生很容易發(fā)現(xiàn)圓和正多邊形的關系：（1）正多邊形的頂

點都在圓上；（2）圓經過正多邊形的所有頂點.（自然引出課題）.

二、探究學習，獲取新知

活動內容一：圓內接正多邊形的概念

定義：頂點都在同一個圓上的正多邊形叫做圓內接正多邊形.這個圓叫做該正多邊形

的外接圓.

把一個圓n等分（n3），依次連接各分點，我們就可

以作出一個圓內接正多邊形.

如圖，五邊形ABCDE是圓O的內接正五邊形，圓心O

叫做這個正五邊形的中心；OA是這個正五邊形的半徑；

AOB是這個正五邊形的中心角；OMBC，垂足為M，

OM是這個正五邊形的的邊心距.

處理方式：學生自學課本97頁例題以上內容，對照多媒體上的圖形，說出各部分的名

稱。

教師強調：正多邊形的中心指的是其外接圓的圓心，半徑指的是其外接圓的半徑，中

心角指的是其每一邊所對的外接圓的圓心角.

設計意圖：讓學生了解有關正多邊形的概念，引導學生逐步深入的學習.

活動內容二：求正多邊形的中心角、邊長和邊心距

例如圖，在圓內接正六邊形ABCDEF中，半徑

OC4，OGBC，垂足為G，求這個正六邊形的中

心角、邊長和邊心距.

處理方式：引導學生發(fā)現(xiàn)正六邊形的中心角的一半、

邊長和邊心距構成一個直角三角形，利用解直角三角形的知識解決問題.

教師多媒體展示解答過程：

解：連接OD.

∵六邊形ABCDEF為正六邊形.

360

∴COD60.

6

∴COD為等邊三角形.

∴CDOC4.

在RtCOG中，OC4，CG2.

∴OG23.

∴正六邊形ABCDEF中心角為60，邊長為4，邊心距為23.

設計意圖：通過例題的學習，鞏固有關正多邊形的概念，能運用解直角三角形的知識解

決正多邊形的有關計算問題.

教師強調：

正多邊形的有關計算可轉化為解直角三角形，這個直角三角

形的構成是：斜邊為半徑，一直角邊為邊心距，另一直角邊為邊

長的一半，頂點在中心的銳角為中心角的一半.

活動內容三：1、用尺規(guī)作一個已知圓的內接正六邊形.

2、用尺規(guī)作一個已知圓的內接正四邊形.

3、思考：作正多邊形有哪些方法？

處理方式：由例題引導學生發(fā)現(xiàn)正六邊形的邊長等于其半徑，從而找到六等分圓的方法.

設計意圖：使學生理解并掌握可用等分圓心角的方法等分圓周，從而用直尺和圓規(guī)可以

作出一些特殊的正多邊形.

三、訓練反饋，應用提升

活動內容：1.把邊長為6的正三角形剪去三個三角形得到一個

正六邊形DFKKGE，求這個正六邊形的面積.

2、分別求出半徑為6cm的圓內接正三角形的邊長和邊心距.

處理方式：學生口述思考過程，并說明理由.兩位同學黑板板書

做題過程.

設計意圖：本組試題主要是鞏固正多邊形的有關計算，讓學生熟練轉化為解直角三角形

的知識解決問題.

四、回顧反思，提煉升華

通過這節(jié)課的學習，你有哪些收獲？有何感想？學會了哪些方法？先想一想，再分享給

大家．

處理方式：學生暢談自己的收獲！

設計意圖：課堂小結是培養(yǎng)好學生反思、總結習慣的最好環(huán)節(jié)，只有學生養(yǎng)成良好的

反思總結習慣，才能不斷的取得進步，讓學生在每堂課中體會小結的意義．

五、達標檢測，反饋提高

活動內容：完成達標小卷．（多媒體出示）

1.正三角形的邊心距、半徑和高的比是()

A.1:2:3B.1::C.1::3D.1:2:

2.求出半徑為6cm的圓內接正四邊形的邊長、邊心距和面積.

處理方式：學生在8分鐘內獨立完成后，兩生分別說明思考過程，同位互換批改，不明

白的問題利用1分鐘時間交流、改正.

設計意圖：讓學生利用當堂達標檢測自己的學習效果，題目既考查基礎，給學生學習的

信心和成功的體驗，又具有一些挑戰(zhàn)性，考查學生綜合應用知識的能力.

六、布置作業(yè)，課堂延伸

基礎作業(yè)：課本P99習題3.10，第4題．

拓展作業(yè)：課本P99問題解決

板書設計：

3.8圓內接正多邊形

有關概念想一想

學生展示區(qū)

課題：3.8圓內接正多邊形

教學目標：

1、了解正多邊形的概念、正多邊形和圓的關系；

2、會通過等分圓心角的方法等分圓周，畫出所需的正多邊形；

3、能夠用直尺和圓規(guī)作圖，作出一些特殊的正多邊形；

4、理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念.

學習重點：正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系.

學習難點：利用直尺與圓規(guī)作特殊的正多邊形.

教法與學學指導：

本節(jié)課主要采用“學研一體的教學模式”.堅持“教與學、知識與能力的辯證統(tǒng)一”和

“使每個學生都得到充分發(fā)展”的原則，采用講練結合法、引導學生自主學習、合作學習和

探究學習．鼓勵學生多思、多說、多練．

課前準備：

教師：多媒體課件、三角板.

學生：圓規(guī)，鉛筆、直尺、練習本.

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，導入新課

觀察下列圖形，你能說出這些圖形的特征嗎？

提問：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質？

2．正方形的邊、角各有什么性質？

【處理方式】學生根據教師提出的問題進行思考，回憶學過的有關知識，進而回答教師提出

的問題．

【設計意圖】培養(yǎng)學生的思維品質，將正多邊形與圓聯(lián)系起來．并由此引出今天的課題．

二、探究新知，嘗試發(fā)現(xiàn)

活動一：觀察生活中的一些圖形，歸納它們的共同特征，引入正多邊形的概念

概念：叫做正多邊形.

（注：各邊相等與各角相等必須同時成立）

提問：矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，

正方形有四條邊叫正四邊形．

活動二：分析、發(fā)現(xiàn)：

問題：正多邊形與圓有什么關系呢?

發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內切圓和外接圓，并且為同心圓．

分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分．要將

圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形．要將圓六等分呢?

師生共同歸納：

頂點都在同一個圓上的正多邊形叫做圓內接正多邊形，這個圓叫做該正

多邊形的外接圓.

把圓分成n(n≥3)等份：依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接

正n邊形.

活動三：探究等分圓周

A

問題：為什么等分圓周就能得到正多邊形呢？

E

教師在學生思考、交流的基礎上板書證明正五邊形的過程：B

O

如圖，

∵ABBCCDDEEACD

∴ABBCCDDEEA

BADCAE3AB

∴CD

同理可證：ABCDE

∴五邊形ABCDE是正五邊形．

∵A、B、C、D、E在⊙O上，

∴五邊形ABCDE是圓內接正五邊形．

教師提出問題后，學生思考、交流自己的見解，教師組織學生進行證明，方法不限.

說明：

(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據定義來判定外，還可以根據這個定理來判定，

即：依次連結圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多邊形；

(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．

(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據它判斷一多邊形為正多邊形或根據它

作正多邊形．

在師生共同作圖的基礎上，歸納出：正多邊形與圓有著密切的聯(lián)系．

圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，且它的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸

具有旋轉不變性．

正多邊形也是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸，當n為偶數(shù)時，它也是中心對稱圖

360

形，且繞中心旋轉n，都能和原來的圖形重合．

結合圖4，給出正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等概念．

同樣說明正多邊形與圓有著很多內在的聯(lián)系．

A

B中心角半徑RE

O

邊心距r

CFD

【處理方式】學生先試著獨立完成，如有疑難可在學習小組內交流，師進行點撥圖4.

【設計意圖】學生經過思考、討論、交流，進一步熟悉正多邊形的本質特征，掌握運用正

多邊形的性質、相關概念.

活動四：例題探究

例．如圖：在圓內接正六邊形ABCDEF中，半徑是OA=4，OM⊥AB垂于M，求這個正六邊形的

中心角，邊長和邊心距．

分析：要求正六邊形的邊長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，

邊長應與半徑掛上鉤，很自然應連接OA，過O點作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得

AM，又應用垂徑定理可求得AB的長．

360

解：連接OA，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于6=60°，△OBC是等邊三

角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑．

ED

因此，所求的正六邊形的邊長為4．

1O

FC

在Rt△OAM中，OA=4，AM=2AB=2

利用勾股定理，可得邊心距AMB

OM=OA2AM2=4222=23

【處理方式】學生先試著獨立完成，如有疑難可在學習小組內交流，師進行點撥.

【設計意圖】學生經過思考、討論、交流，進一步熟悉正多邊形的本質特征，掌握運用正

多邊形德性質、解決問題，進一步體會圖形的特點及在生活中的應用.

活動五：做一做

利用尺規(guī)作一個已知圓的內接正六邊形．

分析：要畫正六邊形，首先要畫一個圓，然后對圓六等分．

在學生作圖的基礎上，教師組織學生，分析作圖．

師生歸納出等分圓周的方法：

1.用量角器等分圓：

依據：同圓或等圓中相等的圓心角所對應的弧相等．

操作：兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；

其二是先用量角器畫一個圓心角，然后在圓上依次截取等于該圓心角所對弧的等弧，于是得

到圓的等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最后一個等分點，使畫出的正多邊

形的邊長誤差較大．

2.用尺規(guī)等分圓.

思考：如何作正八邊形正三角形、正十二邊形？

【處理方式】提供充分的時間，鼓勵學生用自己的語言表述，教師巡回引導，并集思廣益.

從而提高學生觀察歸納、語言表達、合作交流等能力.

【設計意圖】鼓勵學生用自己的語言表述，在學習成果分享中發(fā)揮學生的主體意識訓練學

生概括歸納知識的能力，從而使所學的知識系統(tǒng)化、條理化，提高他們的表達能力和歸納

總結能力.

活動六：方案設計

某學校在教學樓前的圓形廣場中，準備建造一個花園，并在花園內分別種植牡丹、月

季和杜鵑三種花卉.為了美觀，種植要求如下：（1）種植4塊面積相等的牡丹、4塊面積相

等的月季和一塊杜鵑.（注意：面積相等必須由數(shù)學知識作保證）（2）花卉總面積等于廣場

面積（3）花園邊界只能種植牡丹花，杜鵑花種植在花園中間且與牡丹花沒有公共邊.

請你設計種植方案：（設計的方案越多越好；不同的方案類型不同．）

要求①尺規(guī)作圖；②說明畫法；③指出作圖依據；④學生獨立完成．教師巡視，對畫的好的

學生給予表揚，對有問題的學生給予指導．

教師要關注學生對問題的理解，對等分圓周方法的掌握程度．

教師提出問題后，讓學生認真思考后，設計出最美的圖案，并用實物投影展示自己的作品．

【處理方式】學生以小組為單位,進行組內交流、討論、設計自己的作品.教師指導小組討論，

適時進行點撥.

【設計意圖】解決操作層面問題．可提議用不同方法，以體現(xiàn)學生的創(chuàng)造性．此階段通過

“觀察-聯(lián)想-質疑-歸納-表達”展現(xiàn)知識的形成過程和學生的思考過程，發(fā)展學生的智力

品質，讓學生在獲取知識的同時領會一定的數(shù)學思想和思維方法，實現(xiàn)學法指導的目的.

四、課堂小結：談一談,通過本節(jié)課的學習,你有哪些收獲?

【處理方式】學生小組內暢所欲言，互講本節(jié)課的內容，總結本節(jié)課所學習的知識和應注意

的問題，教師對小組總結情況進行評價.

【設計意圖】在學習成果分享中發(fā)揮學生的主體意識訓練學生概括歸納知識的能力，從而

使所學的知識系統(tǒng)化、條理化，提高他們的表達能力和歸納總結能力.

五、達標檢測，反饋提高

1．如圖1所示，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，則∠ADB的度數(shù)是（）．

A．60°B．45°C．30°D．22．5°

2、半徑相等的圓內接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為（）

A,1:2:3B,3:2:1C,3:2:1D,1:2:3

3．圓內接正五邊形ABCDE中，對角線AC和BD相交于點P，則∠APB的度數(shù)是（）．

A．36°B．60°C．72°D．108°

4．若半徑為5cm的一段弧長等于半徑為2cm的圓的周長，?則這段弧所對的圓心角為（）

A．18°B．36°C．72°D．144°

(1)(2)

5．若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是

______，它的每一個內角是______．

6．有一個邊長為3cm的正六邊形，若要剪一張圓形紙片完全蓋住這個正六邊形，則這個圓

形紙片的最小半徑為.

7．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C為圓心，CA長為半徑的圓交AB于D，如圖2

所示，若AC=6，則AD的長為________．

8．如圖所示，已知⊙O的周長等于6cm，求以它的半徑為邊長的正六邊形ABCDEF的面積．

【設計意圖】設計此組題旨在從正反兩方面靈活掌握圓內接正多邊形的相關知識，同時鍛

煉了學生逆向思維能力，也為后續(xù)的學習做了鋪墊．目的是加強學生對圓內接正多邊形的

理解，同時也鍛煉學生的發(fā)散思維．

六.分層作業(yè)，自由拓展

（1）必做題：課本99頁習題3.10第1題、2題、3題..

（2）選做題：試一試

如圖⑴⑵⑶⑷，M，N分別為⊙O的內接正三角

形ABC，正四邊形ABCD，正五邊形ABCDE，…正n邊形ABCDE…的邊

AB，BC上的點，且BM=CN，連結OM，ON，

⑴求圖⑴中∠MON的度數(shù)

⑵圖⑵中∠MON的度數(shù)是.

⑶請?zhí)骄俊螹ON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關系為.

E

AD

D

AODO

OOC

MA

C

M

N

MN

B

NCBA

NCM

BB

⑴⑵⑶⑷

【設計意圖】作業(yè)分層處理有較大的彈性，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，尊重學生的

個體差異，滿足多樣化的學習需要，讓不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展．

板書設計：

§3.8圓內接正多邊形

一.概念：三.例題探究

圓內接正多邊形

外接圓

中心角

邊心距

二.新課探究四.達標檢測

3.8圓內接正多邊形

一、教學目標

1.了解正多邊形和圓的有關概念.

2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會應用多邊形和圓的

有關知識畫多邊形．

二、課時安排

1課時

三、教學重點

理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系

四、教學難點

會應用多邊形和圓的有關知識畫多邊形．

五、教學過程

（一）導入新課

你還能舉出更多正多邊形的例子嗎？

（二）講授新課

活動內容1：

探究1：正多邊形

正多邊形：___________，_____________的多邊形叫做正多邊形.

正n邊形：如果一個正多邊形有n條邊，那么這個正多邊形叫做正n邊形.

【想一想】

菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？為什么？

求證：正五邊形的對角線相等

怎樣找圓的內接正三角形？怎樣找圓的外切正三角形？

怎樣找圓的內接正方形？怎樣找圓的外切正方形？

怎樣找圓的內接正n邊形？怎樣找圓的外切正n邊形？

【定理】把圓分成n（n≥3）等份：

依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；經過各分點作圓的切線，以相

鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.

一個正多邊形是否一定有外接圓和內切圓？

【類比聯(lián)想】正三角形：有沒有外接圓和內切圓？怎樣作出這兩個圓？這兩個圓有什么

位置關系？

正方形：有沒有外接圓和內切圓？怎樣作出這兩個圓？這兩個圓有什么位置關系？

那么，正n邊形呢？

探究2：正多邊形是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸.若n為偶數(shù)，則其為中心對

稱圖形.

活動2：探究歸納

【定理】任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，并且這兩個圓是同心圓.

正多邊形的中心:一個正多邊形的外接圓的圓心.

正多邊形的半徑:外接圓的半徑

正多邊形的中心角:正多邊形的每一邊所對的圓心角.

正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離.

以中心為圓心,邊心距為半徑的圓與各邊有何位置關系?

以中心為圓心,邊心距為半徑的圓為正多邊形的內切圓。

（三）重難點精講

【例1】把圓分成5等份，求證：

⑴依次連接各分點所得的五邊形是這個圓的內接正五邊形；

⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的五邊形是這個圓的外切正五邊

形.

證明:(1）∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，

∴AB=BC=CD=DE=EA，

∵BCE=CDA=3AB，

∴∠1=∠2，

同理∠2=∠3=∠4=∠5，

又∵頂點A，B，C，D，E都在⊙O上，

∴五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形.

（2）連接OA，OB，OC，則

∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.

∵TP，PQ，QR分別是以A，B，C為切點的⊙O的切線，

∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.

∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.

又∵AB=BC，

∴AB=BC，

∴△PAB與△QBC是全等的等腰三角形.

∴∠P=∠Q,PQ=2PA.

同理∠Q=∠R=∠S=∠T，

QR=RS=ST=TP=2PA，

∵五邊形PQRST的各邊都與⊙O相切，

∴五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形.

【例2】有一個亭子,它的地基是半徑為4m的正六邊形,求地基的周長和面積(精確到

0.1m2).

【解析】如圖，正六邊形ABCDEF的中心角為60°，△OBC是等邊三角形，從而正六邊

形的邊長等于它的半徑.

因此,亭子地基的周長