2020中考數(shù)學(xué)題型專項(xiàng)(九)圓的有關(guān)證明與計(jì)算

題專（）的關(guān)明計(jì)圓的證明與計(jì)算是中考的必考內(nèi)容之一有大的比重常結(jié)合三角形邊形等知識(shí)綜合考查計(jì)算、證明的形式出現(xiàn)．解答此類問題要熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，特別是切線的性質(zhì)與判定，利用圓性質(zhì)求線段長、角度或陰影部分的面積等．復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加以重視，在掌握解題方法的前提下，也要加大練習(xí)量．【】（2019·昆明聯(lián)考）如圖，⊙O的半徑＝，是弦，直線EF經(jīng)點(diǎn)B，⊥于C，∠＝∠OAB.（）證EF是⊙的線；（）AC＝，AB的；（）（）條件下，求圖中影部分的面積．【路撥（）要證明EF是⊙切線，只需要證得半徑OB⊥EF即可；（）點(diǎn)O作OD⊥于點(diǎn)D，證AOD△ABC，從而由相似的性質(zhì)求得AB的度；（）圖可得S＝＋－.【主答解）證明：∵OAOB，∴∠OAB＝∠OBA.∵∠＝OAB，∴∠＝OBA.∴OB∥∵AC⊥，∴OB⊥又∵OB是⊙O的徑，∴EF是O的線．1（）點(diǎn)O作OD⊥于點(diǎn)D，AD＝AB，2∵∠＝BAC，∠ODA＝ACB∴△∽ABC.1ABADAO24∴＝，＝.ACAB2AB∴AB＝（）AB＝＝＝，/

∴△OAB為等邊三角形．∴∠＝ABO＝60°.∵OB⊥，∴∠＝30°∴BC＝3AC＝3.∴＝＋－eq\o\ac(△,S)1160×π×＝××3＋××3－223608＝3－.3．解圓的相關(guān)問題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．．已一條直線是圓的切線，則連接過切點(diǎn)的半徑可得垂直．．證一條直線是圓的切線的常見方法有兩種：（）當(dāng)直線和圓有一公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑簡稱“作半徑，證垂直（）當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒有明確時(shí)，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半，簡稱“作垂直，證半徑．求影部分的面積經(jīng)常使用割補(bǔ)法等轉(zhuǎn)化的方法將陰影部分轉(zhuǎn)化為幾個(gè)容易求出面積的圖形（如扇形、三角形等）的和差．類1

與的本質(zhì)關(guān)證與算．如，AB是⊙的徑，弦CD交AB于E，⊥于點(diǎn)F.（）探索OF和BC的系，并說明理由；（）∠＝°，＝時(shí)求圓中陰影部分的面積果保留）1解）∥，＝BC.2理由：由垂徑定理，得AF＝∵＝，∴OF是ABC的中線．/

34134∴OF∥，＝BC.21（）接OC.由（）知OF＝.2∵AB是O的徑，∴∠ACB＝90°∵∠D＝30°∴∠＝°∴AB＝2BC＝∴＝3.13∴＝AC·＝.24∵OA＝，∴∠＝OCA＝°∴∠AOC＝120.120××π∴＝＝.3603π3∴＝－＝－.．已：如圖，ABC內(nèi)接于⊙，AB為直，∠CBA的平分線交AC點(diǎn)F，交O于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于P，連接（）證：∠DAC＝∠DBA；（）證P是線AF的中點(diǎn)（）⊙的徑為5,AD＝6求tan的值．解）證明：∵平分CBA∴∠＝DBA.∵∠＝CBD，∴∠＝DBA.（）明：∵為⊙的直徑ADB＝90.∵DE⊥，∴∠DEB＝90°∴∠＋EDB＝∠ABD＋EDB90.∴∠＝ABD＝∠DAP.∴＝∵∠＋DAC＝∠ADE＋PDF90，且∠＝ADE，∴∠＝PFD.∴PD＝∴PA＝，即是AF的點(diǎn)．/

eq\o\ac(△,S)（）題意可知＝，AD＝6.∴DB＝8.eq\o\ac(△,S)AD63在eq\o\ac(△,Rt)ABD中，tan∠ABD＝＝＝.DB84類2

與的線關(guān)證與算·紅河州瀘西縣一模）如圖AB是⊙的徑，，為弦∠ACD60P延長上的點(diǎn)，∠APD＝30°（）證DP是⊙的線；（）⊙的徑為3cm，求圖中陰影部分的面積．解）證明：連接，∵∠＝60°，∴∠＝120°∴∠＝60°∵∠＝30°，∴∠＝90°∴PD⊥又∵OD是⊙O的徑，∴PD是O的線．（）在Rt△POD中，＝cm∠APD30°，∴PD＝3.11933∴＝－＝××3－×π×＝－π.2622·昆明西山區(qū)一模）如圖，以AB為徑⊙O，過點(diǎn)A作O的線AC，連接BC交O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC邊中點(diǎn)，連接AE.（）證：∠AEB＝∠；3（）AB＝，cosB＝，求DE的長．5/

解）證明：∵是⊙的線，∴∠BAC＝°∵點(diǎn)E是BC邊中點(diǎn)，∴AE＝∴∠＝∠EAC.∵∠AEB＝∠＋∠EAC，∴∠AEB＝∠（）接AD.∵AB為O的徑，∴∠ADB＝90°318∵AB＝，＝，BD＝.553在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，＝，＝∴BC10.5∵點(diǎn)E是BC邊中點(diǎn)，BE＝7∴DE＝－＝.5．如，PAPB是⊙O切線，，是點(diǎn)AC是O的徑AC，的延線交于點(diǎn)D.（）∠＝°求APB的數(shù)；（）∠等多少度時(shí)，OP＝？說明理由．解）∵是⊙的切線，∴PAO90°∴∠＝90°－∠＝°又∵PA，是⊙的線，∴＝PB.∴∠＝ABP＝70°.∴∠＝180°702＝.（）∠＝°，OP＝OD.理由如下：當(dāng)∠＝30°時(shí)，由（1）知∠BAP＝∠ABP＝°∴∠＝180°602＝.∵PA，是⊙的切線，1∴∠＝∠＝°2/

又∵∠＝ABP－∠＝°30＝°，∴∠＝∠∴＝·云南模擬）如圖AB是O的徑，是⊙的切，CD是垂直于AB的弦，垂足為，過點(diǎn)C作DA的行線與AF相于點(diǎn)F，CD＝3，＝2.證：（）邊形FADC是形；（）是⊙的切線．證明）接OC，∵AB是O的徑CD⊥AB，11∴CE＝＝CD＝×3＝3.22設(shè)OC＝x，∵BE＝，∴OE＝－在eq\o\ac(△,Rt)OCE中，＝OE

＋

，∴

＝（－）

＋23）

.解得x＝4.∴OA＝＝，＝2.∴＝在eq\o\ac(△,Rt)AED中，＝AE＋＝，∴AD＝∵AF是O的線，∴AF⊥∵CD⊥，∴∥CD.∵CF∥，∴四邊形FADC是平行四邊形．∵AD＝，∴四邊形FADC是菱形．（）接AC，∵四邊形FADC是菱形，∴FA＝∴∠＝FCA.∵AO＝，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠＋OAC＝∠FCA＋OCA即∠＝OAF＝90°∴⊥FC.又∵OC是⊙O的徑，/

∴FC是O的·赤峰）如圖AB為O的直徑，，是圓AB的等分點(diǎn)過點(diǎn)C作延線的垂線CE，垂足為E.（）證CE是⊙的線；（）⊙的徑為2，求圖中影部分的面積．解）證明：連接OC.∵點(diǎn)C，為半O的等分點(diǎn)︵︵︵∴AD＝＝BC.∴∠＝BAD.∴OC∥∵CE⊥，∴CE⊥又∵DC是⊙O的徑，∴CE為O的線．（）接OD，︵︵︵∵AD＝＝，1∴∠＝∠＝×180°＝60°.3∵OD＝，∴△OCD為等邊三角形．∴∠＝60°＝∠AOD.∴CD∥∴＝.eq\o\ac(△,S)60××2π∴＝＝＝3603·曲靖模擬）如圖，O是ABC的接圓，AB為徑，∠BAC的分線交⊙于D過點(diǎn)D作DE⊥AC分別，的延線于點(diǎn)EF./

（）證EF是⊙的線；︵（）AC＝，＝，BD的度果保π解）證明：連接，∵OA＝，∴∠＝ODA.∵AD平∠EAF，∴∠＝OAD.∴∠＝ODA.∴OD∥∵AE⊥，∴OD⊥又∵OD是⊙O的徑，∴EF是O的線．（）點(diǎn)O作OG⊥于點(diǎn)G，1則AG＝CG＝AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90，2∴四邊形ODEG是矩形．∴OA＝＝＋＝＋＝，DOG90.在eq\o\ac(△,Rt)AOG中∵OA＝2AG，∴∠＝30°∴∠＝180°30°－90°60.︵60×π×4π∴BD的長度為＝.1803·西雙版納景洪一模）如圖eq\o\ac(△,，)ABC是⊙O的接圓，且AB是O的徑，點(diǎn)⊙上BD平分ABC交AC于E，DF⊥交BC延線于點(diǎn)F.（）證DF是⊙的線；3（）BD＝，sin∠DBF＝，DE的長5/

解）證明：連接，∵BD平∠ABC，∴∠＝DBF.∵OB＝，∴∠＝ODB.∴∠＝ODB.∴OD∥∵DF⊥，∴OD⊥又∵OD是⊙O的徑，∴DF是O的線．（）接AD，∵AB是O的徑，∴∠＝90°∵BD平∠ABC，∴∠＝ABD.在eq\o\ac(△,Rt)ABD中，＝，3∵sin∠＝∠DBF＝，5∴AD＝∵∠＝DBF，3∴sin∠＝∠DBF＝.5DE3在eq\o\ac(△,Rt)ADE中，sin∠DAE＝＝，AE5設(shè)DE＝3x，AE＝5x，則（3x）3＝（5x

，3解得x＝（負(fù)值49∴DE＝.4·陜西）如圖，AC是⊙O的一條弦，AP⊙的線．作BM＝AB并與AP交于點(diǎn)M，延長MB交AC于點(diǎn)E，交⊙于點(diǎn)D，連接AD./

（）證AB＝；（）⊙的徑R＝，＝，求AD的．解）證明：∵是⊙的線，∴∠＝90°∴∠＋MAB＝90