傅里葉變換本質(zhì)和公式解析

傅里葉變換的本質(zhì)傅里葉變換的公式為F(o)=丁f(t)e-j^dt-s可以把傅里葉變換也成另外一種形式：F(o)=—兀f(t),ejot。2兀可以看出，傅里葉變換的本質(zhì)是內(nèi)積，三角函數(shù)是完備的正交函數(shù)集，不同頻率的三角函數(shù)的之間的內(nèi)積為0，只有頻率相等的三角函數(shù)做內(nèi)積時(shí)，才不為0。兀e叫,ejQ2t8=jej（。廣口2）tdt=2兀8（?！?。）下面從公式解釋下傅里葉變換的意義因?yàn)楦道锶~變換的本質(zhì)是內(nèi)積，所以f(t)和emt求內(nèi)積的時(shí)候，只有f(t)中頻率為o的分量才會(huì)有內(nèi)積的結(jié)果，其余分量的內(nèi)積為0。可以理解為f(t)在emt上的投影，積分值是時(shí)間從負(fù)無窮到正無窮的積分，就是把信號(hào)每個(gè)時(shí)間在o的分量疊加起來，可以理解為f(t)在ejot上的投影的疊加，疊加的結(jié)果就是頻率為o的分量，也就形成了頻譜。傅里葉逆變換的公式為f(t)=土?F(o)ejodo—s下面從公式分析下傅里葉逆變換的意義傅里葉逆變換就是傅里葉變換的逆過程，在F(o)和e-jot求內(nèi)積的時(shí)候，F(xiàn)(o)只有t時(shí)刻的分量?jī)?nèi)積才會(huì)有結(jié)果，其余時(shí)間分量?jī)?nèi)積結(jié)果為0，同樣積分值是頻率從負(fù)無窮到正無窮的積分，就是把信號(hào)在每個(gè)頻率在七時(shí)刻上的分量疊加起來，疊加的結(jié)果就是f(t)在t時(shí)刻的值，這就回到了我們觀察信號(hào)最初的時(shí)域。對(duì)一個(gè)信號(hào)做傅里葉變換，然后直接做逆變換，這樣做是沒有意義的，在傅里葉變換和傅里葉逆變換之間有一個(gè)濾波的過程。將不要的頻率分量給濾除掉，然后再做逆變換，就得到了想要的信號(hào)。比如信號(hào)中摻雜著噪聲信號(hào)，可以通過濾波器將噪聲信號(hào)的頻率給去除，再做傅里葉逆變換，就得到了沒有噪聲的信號(hào)。優(yōu)點(diǎn)：頻率的定位很好，通過對(duì)信號(hào)的頻率分辨率很好，可以清晰的得到信號(hào)所包含的頻率成分，也就是頻譜。缺點(diǎn)：因?yàn)轭l譜是時(shí)間從負(fù)無窮到正無窮的疊加，所以，知道某一頻率，不能判斷，該頻率的時(shí)間定位。不能判斷某一時(shí)間段的頻率成分。例子：平穩(wěn)信號(hào)：x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t)傅里葉變換的結(jié)果:由于信號(hào)是平穩(wěn)信號(hào)，每處的頻率都相等，所以看不到傅里葉變換的缺點(diǎn)。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)：信號(hào)是余弦信號(hào)，仍然有四個(gè)頻率分量eilaiiToreniumss傅里葉變換的結(jié)果:由上圖看出知道某一頻率，不能判斷，該頻率的時(shí)間定位。不能判斷某一時(shí)間段的頻率成分。短時(shí)傅里葉變換傅里葉變換存在著嚴(yán)重的缺點(diǎn)，就是不能實(shí)現(xiàn)時(shí)頻聯(lián)合分析。傅里葉變換要從負(fù)無窮計(jì)算到正無窮，這在實(shí)際使用當(dāng)中，跟即時(shí)性分析會(huì)有很大的矛盾。根據(jù)這一缺點(diǎn)，提出了短時(shí)傅里葉變換。后來的時(shí)間一頻率分析也是以短時(shí)傅里葉變換為基礎(chǔ)提出的。為了彌補(bǔ)傅里葉變換的缺陷，給信號(hào)加上一個(gè)窗函數(shù)，對(duì)信號(hào)加窗后計(jì)算加窗后函數(shù)的傅里葉變換，加窗后得到時(shí)間附近的很小時(shí)間上的局部譜，窗函數(shù)可以根據(jù)時(shí)間的位置變化在整個(gè)時(shí)間軸上平移，利用窗函數(shù)可以得到任意位置附近的時(shí)間段頻譜，實(shí)現(xiàn)了時(shí)間局域化。短時(shí)傅里葉變換的公式為：STFT(t,。)=jx(t)g(t-1)e-j%dx=兀x(t),g(t—t)幻以。在時(shí)域用窗函數(shù)去截信號(hào)，對(duì)截下來的局部信號(hào)作傅立葉變換，即在t時(shí)刻得該段信號(hào)得傅立葉變換，不斷地移動(dòng)t，也即不斷地移動(dòng)窗函數(shù)的中心位置，即可得到不同時(shí)刻的傅立葉變換，這樣就得到了時(shí)間一頻率分析。短時(shí)傅里葉變換的本質(zhì)和傅里葉變換一樣都是內(nèi)積，只不過用g(t-t)e舟代替了ej%，實(shí)現(xiàn)了局部信號(hào)的頻譜分析。短時(shí)傅里葉變換的另一種形式：STFT(t,。)=—了X(v)G(v—O)ej(v-%)tdv=—兀X(v),G(v—O)e-j(5。x2兀2兀-s該式子表明在時(shí)域里x(t)加窗函數(shù)g(t-t)，得出在頻域里對(duì)X(v)加窗G(v-%)。優(yōu)點(diǎn)：在傅里葉變換的基礎(chǔ)上，增加了窗函數(shù)，就實(shí)現(xiàn)了時(shí)間一頻率分析。缺點(diǎn)：短時(shí)傅里葉變換使用一個(gè)固定的窗函數(shù)，窗函數(shù)一旦確定了以后，其形狀就不再發(fā)生改變，短時(shí)傅里葉變換的分辨率也就確定了。如果要改變分辨率，則需要重新選擇窗函數(shù)。短時(shí)傅里葉變換用來分析分段平穩(wěn)信號(hào)或者近似平穩(wěn)信號(hào)猶可，但是對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，當(dāng)信號(hào)變化劇烈時(shí)，要求窗函數(shù)有較高的時(shí)間分辨率；而波形變化比較平緩的時(shí)刻，主要是低頻信號(hào)，則要求窗函數(shù)有較高的頻率分辨率。短時(shí)傅里葉變換不能兼顧頻率與時(shí)間分辨率的需求。測(cè)不準(zhǔn)原理告訴我們，不可能在時(shí)間和頻率兩個(gè)空間同時(shí)以任意精度逼近被測(cè)信號(hào)，因此就必須在信號(hào)的分析上對(duì)時(shí)間或者頻率的精度做取舍。短時(shí)傅里葉變換受到測(cè)不準(zhǔn)原理的限制，所以短時(shí)傅里葉變換窗函數(shù)的時(shí)間與頻率分辨率不能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。在實(shí)際使用時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況選用合適的窗函數(shù)。例子：原始信號(hào)：信號(hào)是余弦信號(hào)，有四個(gè)頻率分量.aina200aoo4na50asontooeaa900mo當(dāng)窗函數(shù)選為：時(shí)，短時(shí)傅里葉變換為:由上圖可以看出，時(shí)域的分辨率比較好，但是頻率出現(xiàn)一定寬度的