1.4定積分和微積分基本定理練習(xí)題集與答案解析

1.4定積分與微積分基本定理練習(xí)題及答案1.(2011·寧夏銀川一中月考)求曲線y＝x2與y＝x所圍成圖形的面積，其中正確的是( )A．S＝1(x2－x)dx0C．S＝1(y2－y)dy0[答] B

B．S＝1(x－x2)dx0D．S＝1(y－ y)dy0[分] 根據(jù)定積分的幾何意義，確定積分上、下限和被積函數(shù)．[解] 兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)，(1,1)，故積分上限是下限是由于[0,1]上，x≥x2，故函數(shù)y＝x2與y＝x所圍成圖形的面積S＝1(x－x2)dx.02．(2010·山東日照?？?a＝2xdx，b＝2exdx，c＝2sinxdx，則a、b、c的大小關(guān)系0 0 0是()a<c<bC．c<b<a[答案]D2 1

a<b<c2 2[解] a＝sinxdx＝－cosx|020 0 0＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·山東理由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積( )A.1A.12[答]

1B.4y＝x2

1 7D.C.3 12D.[解] 得交點(diǎn)(0,0)，(1,1)．y＝x31 1

1 1∴S＝(x2－x3)dx＝ 3x3－4x401＝12.0 [點(diǎn)評]圖形是由兩條曲線圍成的時(shí)，其面積是上方曲線對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式減去下方曲線對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式的積分，請?jiān)僮鱿骂}：(2010·湖南師大附中)設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝x2上從原點(diǎn)到A(2,4)移動，如果把由直線OP，直線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記作S1，S2.如圖所示，當(dāng)S1＝S2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是()4 16A.3，9

4 16B.5，9 4 15C.3，7

4 13D.5，7 [答] A[解] 設(shè)P(t，t2)(0≤t≤2)，則直線

t3(tx－x2)dx＝6

2(x28 t3 4 4 16－tx)dx＝3－2t＋6，若S1＝S2，則t＝3，∴P3，9.

0 t 4．由三條直線x＝0、、y＝0和曲線y＝x3所圍成的圖形的面積( )A．4[答] A[解]

4B.32x3dx＝

x4

185 D．6402＝4.40 ．(2010·湖南省考試院調(diào)－1(sin＋1)dx的值( )A．0 B．2C．2＋2cos1[答] B

D．2－2cos1A．2πB．3π3πC.2D．πA如右圖，[解] －1(sin＋1)d＝－cos＋x)－1(cos＋1)(cos－1－1A．2πB．3π3πC.2D．πA如右圖，S＝∫02π(1－cosx)dx＝(x－sinx)|02π＝2π.[點(diǎn)評] 此題可利用余弦函數(shù)的對稱性①②③④面積相等解決，但若把積分區(qū)間改為π 6，π，則對稱性就無能為力了．6 7．函數(shù)F(x)＝xt(t－4)dt在[－1,5]上( )03203323，無最大值既無最大值也無最小[答] B[解] F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4，7 32 25∵F(－1)＝－3，F(xiàn)(0)＝0，F(xiàn)(4)＝－3，F(xiàn)(5)＝－3.32∴最大值為0，最小值為－3.[點(diǎn)] 一般地，F(xiàn)(x)＝xφ(t)dt的導(dǎo)數(shù)F′(x)＝φ(x)．08．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋n，函數(shù)f(x)＝x1dt，若f(x)<a3，則x的取1t值范圍( ) 3 6A. ，＋∞6 [答] D

B．(0，e21)D．(0，e11)[解] f(x)＝x1dt＝lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.1t9．(2010·福建廈門一中)如圖所示，在一個(gè)長為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是()1π[答]

2π

3π

πD.4[解析] 由圖可知陰影部分是曲邊圖形，考慮用定積分求出其面積．由題意得 S＝π0sinxdx＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根據(jù)幾何概型的算法易知所求概率 PS 2 1S矩形OABC＝2π＝π.x＋1(201·f(xS為( 3A.2 B．1 C．4[答] C

－π21D.2

的圖象與x軸所圍成的圖形面積π π[解] 面積＝∫－2f(x)d＝－2(＋2)d＋202cosxd＝＋＝4.[x]表示不超過x－1.2]x＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函數(shù)g(x)＝－3，f(x(0,2)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為m，f(x)與g(x)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為n，ng(x)dx的值( )m5A．－25C．－4[答] A

4B．－37D．－6[解] 由題意可得，當(dāng)0<x<1時(shí)當(dāng)1≤x<2時(shí)所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí)函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)由函數(shù)f(x)與g(x)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，n

x2 5所以m＝1，n＝4， g(x)dx＝4－3dx＝ －614＝－2.m 1 [0,1]上隨機(jī)等可能地抽取一個(gè)實(shí)數(shù)記為b[0,1]上隨機(jī)等可能地抽取一個(gè)實(shí)數(shù)記為c(bc可以相等)，若關(guān)于x的方程x2＋2bx＋c＝0有實(shí)根，則甲獲勝，否則乙獲勝，則在一場比1A.3[答]

2B.3

1C.2

3D.4[解] 方程x2＋2bx＋c＝0有實(shí)根的充要條件為Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c，1b2db0 1由題意知，每場比賽中甲獲勝的概率為p＝

1×1 ＝3.12．(2010·吉林省調(diào)研)已知正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲線y＝x2(x≥0)與x軸，直線x＝1構(gòu)成區(qū)域M落在區(qū)域M1A.21C.3[答] C

1B.42D.5[解] 如圖正方形面積區(qū)域M的面積為x2dx01 1 1＝3x3|01＝3，故所求概率p＝3.2．如圖，陰影部分面積等( )3A．2332C.3[答] C[解] 圖中陰影部分面積為1

B．2－3353D.3323＝ .-33.2 4－x2dx＝( )04πC．π[答] C

3 32ππD.2[解] 令y＝ 4－x2，則x2＋y2＝4(y≥0)，由定積分的幾何意義知所求積分為圖中影部分的面積，1∴S＝4×π×22＝π.4.速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示)．那么對于圖中給定的t0和在t1在t1時(shí)刻，甲車在乙車后面在t0時(shí)刻，兩車的位置相同t0時(shí)刻后，乙車在甲車前[答] A[解析]判斷甲、乙兩車誰在前，誰在后的問題，實(shí)際上是判斷在t0，t1時(shí)刻，甲、乙間段內(nèi)速度函數(shù)的定積分，即速度函數(shù)v(t)的圖象與t軸以及時(shí)間段圍成區(qū)域的面積．從圖象知：在t0時(shí)刻，甲的圖象與t軸和圍成區(qū)域的面積大于v乙的圖象與t軸和t＝0，t＝t0圍成區(qū)域的面積，因此，在t0剛剛趕上甲車的速度，所以選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤；同樣，在t1時(shí)刻，v甲的圖象與t軸和t＝t1圍成區(qū)域的面積，仍然大于v乙的圖象與t軸和t＝t1圍成區(qū)域的面積，所以，可以斷定：在t1時(shí)刻，甲車還是在乙車的前面．所以選A.π π5．(2012·山東日照模擬)向平面區(qū)域Ω＝{(x，y)|－4≤x≤4，0≤y≤1}內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在曲線y＝cos2x下方的概率( )πA.4πC.2－1[答] D

1B.22π2[解析] 平面區(qū)域 Ω 是矩形區(qū)域，其面積是π，在這個(gè)區(qū)26． (sinx－cosx)dx的值( )A．0[答]

πB.4

C．2 D．－2[解] (sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx) ＝－2.7．(2010·惠州模)2(2－|1－x|)dx＝ .0[答] 31＋x 0≤x≤1[解] ∵y＝ ，3－x 1<x≤2∴2(2－|1－x|)dx＝1(1＋x)dx＋2(3－x)dx0 0 11 1 3 3＝(xx2)＋(3x2)＝＝3.8．(2010·蕪湖十二中)已知函數(shù)f(x＝3x＋2＋，若1－1f(x)d＝2f(aa＝ .1[答] －13[解析] ∵1－1f(x)dx＝1－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|－1＝4，1－1f(x)dx＝2f(a)，∴6a2＋4a＋2＝4，1∴a＝－1或3.π 1已知a＝∫20(sinx＋cosx)dx，則二項(xiàng)式(a x－ ．[答] －192

x)6的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是π π π π[解析] 由已知得a＝∫20(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|20＝(sin2－cos2)－(sin0－cos0)＝2，(2 x－1)6的展開式中第r＋1項(xiàng)是，令3－r＝2得，x－1)1××25＝192.有一條直線與拋物線y＝x2相交于AB兩點(diǎn)，線段AB與拋物線所圍成圖形的面4積恒等于3，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程．[解] 設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(a，a2)，B(b，b2)，不妨設(shè)a<b，b2－a2則直線AB的方程為y－a2＝即y＝(a＋b)x－ab.

b－a

(x－a)，b a＋b x3則直線AB與拋物線圍成圖形的面積為a1

[(a＋b)x－ab－x2]dx＝(

x－ab－3)|a＝6(b－a)3，1 4∴6(b－a)3＝3，解得b－a＝2.設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為P(x，y)，2 a＋b2x＝ 其中

x＝a＋1，將b－a＝2代入得 a2＋b2

y＝a2＋2a＋2.y＝ 2 .消去a得y＝x2＋1.∴線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為y＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·鄭州二測)等比數(shù)列{an}中，a3＝6，前三項(xiàng)和S3＝34xdx，則公比q的值為0( )A．11

1B．－21C．1或－2[答] C00

D．－1或－26 6[解] 因?yàn)镾4xd＝2x2＝1，所qq＋＝1，化簡得2q－－＝，解1得q＝1或q＝－2，故選C.12．(2012·太原模)已知(xlnx)′＝lnx＋1，elnxdx＝( )1A．1 B．e C．e－1 [答] A[解析] 由(xlnx)′＝lnx＋1，聯(lián)想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx，于是elnxdx＝(xlnx1x)e＝(eln－e－(1×ln11)＝1.13．拋物線y2＝2x與直線y＝4－x圍成的平面圖形的面積．[答] 18y2＝2x， y22[解] 由方程 解得兩交點(diǎn)A(2,2)選y作為積分變量x＝ 、2y＝4－x，x＝4－y，∴2 y

4＝18.14.

-4

2 2 6已知函數(shù)f(x)＝ex－1，直線l1：x＝1，l2：y＝et－1(t為常數(shù)，且0≤t≤1)．直線l1，l2與函數(shù)f(x)的圖象圍成的封閉圖形如圖中區(qū)域Ⅱ所示，其面積用S2表示．直線軸與函數(shù)f(x)的圖象圍成的封閉圖形如圖中區(qū)域Ⅰ所示，其面積用S1表示．當(dāng)t變化時(shí)，陰影部的面積的最小值．[答] ( e－1)2[解析] 由題意得S1＋S2＝t(et－1－ex＋1)dx＋1(ex－1－et＋1)dx＝t(et－ex)dx＋0 t 01(exet)d(xeex)t＋(exet)＝(23)e＋＋，令g(t(2－3)ee＋1(0≤t≤1)，t1 1則g′(t)＝2et＋(2t－3)et＝(2t－1)et，令g′(t)＝0，得t＝2，∴當(dāng)t∈[0，2)時(shí)，g′(t)<0，g(t)1 1 1是減函數(shù)，當(dāng)t∈(2，1]時(shí)，g′(t)>0，g(t)是增函數(shù)，因此g(t)的最小值為g(2)＝e＋1－2e2＝( e－1)2.故陰影部分的面積的最小值( e－1)2.求下列定積分．π x(1－1|x|dx; (2cosd；0(3)e＋1 1 dx.x－11 1[解] (1－1|x|d＝xd＝2x2＝1.0π x 1＋cosx 1 1 π(2cos2d＝π 2 dx0sinx＝.0 0(3)e＋1 1 d＝ln(－1)＝1.x－1已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖所示，它與x軸在原點(diǎn)處相切，1且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為12，求a的值．[解] f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．∴S陰影＝0[0－(－x3＋ax2)]dxa1 1 1 1＝x－ax3)1a1，∵a<0，∴a＝－1.1．(2011·龍巖質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin5x＋1，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、積分的性質(zhì)和積分的幾何意義，探求 f(x)dx的值，結(jié)果( )1 πA.6＋2 B．πC．1 [答] B[解] f(x)dx＝ sin5xdx＋ 1