高數(shù)課件第十一章

1第一節(jié)對弧長的曲線積分一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)（4）若則表示弧段L的長度.2二、對弧長曲線積分的計算法若曲線L由方程給出,則定理設(shè)曲線L的方程為：若曲線L由方程給出,則3若空間曲線由參數(shù)方程給出,注：以上各個積分一定是下限小于上限.推廣：4三、則L的重心和對x軸及y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為：設(shè)xoy面上的曲線弧L在點(diǎn)(x,y)處的線密度為靜距為：曲線弧的的質(zhì)量為：L對x軸及y軸轉(zhuǎn)動慣量分別為：類似于二、三重積分中求薄片及物體的重心和轉(zhuǎn)動慣量，5設(shè)空間上曲線弧在點(diǎn)(x,y,z)處的線密度為的重心和對x軸、y軸及z軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為：則推廣：靜距為：L對x軸、y軸及z軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為：曲線弧的的質(zhì)量為：6一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)引例變力沿曲線所作的功.常力沿直線作功：ABF設(shè)L為xoy面內(nèi)的光滑曲線弧，質(zhì)點(diǎn)從A向B移動時受到力的作用，求質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)沿曲線弧L移動到點(diǎn)B時，變力所做的功.第二節(jié)對坐標(biāo)的曲線積分xyoABL由于此時F是變力，上式不能直接應(yīng)用。7xyoAB令為最大弧長，則將曲線

L任意分割成n

小段，8定義設(shè)L為xoy

面的從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條有向光滑曲線弧，記：任取

令為最大弧段長度.若極限存在，在有向曲線L上對坐標(biāo)

x的曲線積分.在L上有界.函數(shù)把L任意分割成n個有向小弧段:用則稱此極限值為函數(shù)記作:即9類似地,稱為函數(shù)在有向曲線L上對坐標(biāo)

y

的曲線積分.被積函數(shù)

L

積分弧段簡記作：注可以證明:當(dāng)在有向曲線弧L上連續(xù)時,曲線積分存在.對坐標(biāo)的①②應(yīng)用中，形式：或其中，第二類曲線積分10如：變力沿L所做的功為或簡記作:推廣三元函數(shù)沿空間有向曲線弧對坐標(biāo)的曲線積分:③或其中，11性質(zhì)（1）線性性質(zhì)（2）設(shè)L是有向曲線弧，L－是與L反向的有向曲線弧，則即：對坐標(biāo)的曲線積分具有方向性.?

對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!12（3）設(shè)有向曲線弧L是由有向曲線弧合并而成，即：對坐標(biāo)的曲線積分關(guān)于積分弧段具有可加性.則即13定理設(shè)P(x,y)、Q(x,y)在有向曲線弧L上有定義且連續(xù)，且滿足下列條件：L的參數(shù)方程為（1）當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由α變到β時,點(diǎn)M(x,y)從

L的起點(diǎn)A（2）

函數(shù)在以α,β為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且沿L運(yùn)動到終點(diǎn)B；則二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法下限起點(diǎn)；上限終點(diǎn)14若L由方程給出，可視為參數(shù)式若曲線L由方程給出，可視為參數(shù)式特別地：下限a

起點(diǎn)，上限b

終點(diǎn)。下限c

起點(diǎn)，上限d

終點(diǎn)。15推廣空間有向曲線由參數(shù)方程給出，則下限起點(diǎn)，上限終點(diǎn)注意

計算對坐標(biāo)的曲線積分，一定將積分曲線化為參數(shù)方程，且積分下限對應(yīng)著起點(diǎn)，上限對應(yīng)著終點(diǎn)。16例1

計算其中L為拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧.解法1

取x

為參數(shù),則解法2

取y

為參數(shù),則17AByx解例2

計算

L為橢圓上從點(diǎn)在x軸上方的曲線弧.18例3

計算其中L為：(1)半徑為a

，圓心為原點(diǎn)的上半圓周(逆時針方向)；(2)從點(diǎn)A(a,0)沿

x軸到點(diǎn)B(-a,0)的直線段.解

(1)19例4

計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解

(1)原式(2)原式(3)原式該積分只與路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，

與路徑無關(guān).

20解直線段AB的方程為:化為參數(shù)式:例5

計算21例6

在橢圓上每一點(diǎn)M處有作用力中心O，大小為點(diǎn)M到橢圓中心的距離;方向指向沿橢圓逆時針到時力作的功;求質(zhì)點(diǎn)從AByxM(x,y)解由題意，力：起點(diǎn)A、終點(diǎn)B分別對應(yīng)參數(shù)22其中從

z

軸正向看為順時針方向.解

取的參數(shù)方程：例7

求23三、兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè)有向曲線弧由參數(shù)方程給出，則有L上對應(yīng)于t的點(diǎn)上的切線向量為:它的方向余弦為:24由對弧長的曲線積分的計算公式，有所以，有稱為有向曲線弧L上點(diǎn)處切線向量的方向角.25類似，空間兩類曲線積分之間的關(guān)系:其中為上點(diǎn)處切向量的方向角.的參數(shù)方程為