人工舉升理論 有桿泵診斷技術(shù)

人工舉升理論

第9講故障診斷技術(shù)

吳曉東抽油機(jī)井故障診斷技術(shù)

人們認(rèn)識到地面示功圖診斷的缺陷后，就試圖直接或間接繪出抽油泵示功圖

美國吉而伯特和薩金特于1936年發(fā)明井下動力儀，可以直接獲得泵示功圖

1966年美國S.G.吉布思和A.B.內(nèi)利研究出診斷分析技術(shù)，建立了抽油桿系的一維帶阻尼波動方程，并用分離變量法求得其截?cái)嗟母读⑷~級數(shù)近似解。邊界條件就應(yīng)用地面示功圖的載荷——時間曲線和位移——時間曲線。用該方法可以給出井下任意截面和泵的示功圖

吉布思建立了帶阻尼一維波動方程：診斷模型及付氏級數(shù)解

邊界條件用截?cái)嗟母读⑷~級數(shù)作為這些以曲線方式給出的邊界條件的近似表達(dá)式

ω—角速度；D(ωt)—光桿動載荷函數(shù)；L(ωt)—光桿總載荷函數(shù)；Wr—抽油桿柱在液體中重力U(ωt)——光桿位移函數(shù)。

傅立葉系數(shù)將曲線離散化

令θ=ωt,設(shè)θ為離散變量

光桿動載荷與θ關(guān)系曲線

光桿位移與θ關(guān)系曲線

傅氏級數(shù)解

Z（x）和T（t）分別僅為x和t的函數(shù)，微分，并代入(a)中令Z（x，t）為一維波動方程的復(fù)數(shù)形式解，則一維波動方程變?yōu)閼?yīng)用分離變量法，解的乘積形式為(a)

(b)

(c)

(d)

(f)

(e)

偏微分方程（a）分離為兩個常微分方程

首先尋找方程（e）的周期解：將其微分，并代入方程（e）得出傅氏級數(shù)解

(g)

因?yàn)?i)

(h)

代入（h）式，并注意取αn,與βn為實(shí)數(shù)，解得傅氏級數(shù)解

λn為為方程（d）的本征值。當(dāng)n=0時，λ0==0，方程(e),(f)成為

(j)

(k)

（j）與（k）的解為

方程（f）的解為諧波方程式中φn和Θn是復(fù)常數(shù)

(l)

(n)

(m)

則方程(a)的解應(yīng)為(o)

由于(p)

所以，邊界條件是：(q)

(r)

傅氏級數(shù)解

(t)

(u)

(v)

(s)

將（o）代入（q）得

對比得由（u）（和(v)有

(3-2-`6)

傅氏級數(shù)解

將（o）式代入(r)得

應(yīng)用(o)和一下復(fù)數(shù)恒等式，可以確定位移U（x，t）的公式對比得

(z)

(y)

(x)

(w)

傅氏級數(shù)解

使用這些恒等式，分離Z（x，t）的實(shí)部，得到

式中

利用以上方程和虎克定律可以計(jì)算任意截面的動載荷F（x，t）得到傅氏級數(shù)解

式中

等步長有限差分解

傅氏級數(shù)解存在的問題是，由于傅氏系數(shù)數(shù)目太低就不能保證精度，因此計(jì)算時間較長。此外，傅氏級數(shù)法將使地面示功圖平滑化。有限差分解可以克服這個問題。

可以用臺勞級數(shù)推導(dǎo)出波動方程的有限差分解。設(shè)驢頭下死點(diǎn)為x坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正。u(x,t)也以向下為正，Δx為x的步長，Δt為時間步長。足標(biāo)i表示位置，j表示時間，則(a)

(b)

(c)

等步長有限差分解

將（a）、(b)、(c)式代入一維波動方程，并經(jīng)整理就得

上式為診斷模型的有限差分解

已知地面光桿位移為u1,u2,……uk，光桿動載荷為Fl，F(xiàn)2……Fk,則邊界條件為

(d)

……等步長有限差分解

……(d)和（e）即有限差分方程的邊界條件

(e）差分格式，見左圖。這種十字形差分格式結(jié)果會形成三角形，見右圖。其中x為無法得出元點(diǎn)，但我們知道示功圖是一個周期函數(shù)，根據(jù)這個概念得出等步長有限差分解

等步長有限差分解

上式實(shí)際是阻尼波動方程的兩個初始條件。這樣我們可以采取補(bǔ)格的辦法求出全部未知點(diǎn)，見圖等步長有限差分解

收斂條件：我們使用無阻尼波動方程推導(dǎo)收斂條件。無阻尼波動方程可寫成將(b)(c)代入（f）得出

(f）上式是無阻尼波動方程的有限差分解

阻尼系數(shù)的確定

抽油機(jī)井筒內(nèi)的阻尼力主要有抽油桿柱、接箍與液體之間的粘滯性阻尼力；桿柱及接箍與油管之間的非粘滯性摩擦力；光桿與盤根之間的摩擦力；泵柱塞與泵筒之間的摩擦損失；泵閥和閥座內(nèi)孔的流體壓力損失以及桿柱材料的遲滯損失等

阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

等效粘滯阻尼系數(shù)

首先恢復(fù)帶阻尼的波動方程的原始形狀式中v‘為等效粘滯阻尼因子，它是單位長度抽油桿的等效粘滯阻尼因子，量綱是[ML-1T-1]。以ρA除以上式就得出一維波動方程，其中等效粘滯性阻尼系數(shù)為，它的量綱是[T-1]。

阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

等效粘滯阻尼系數(shù)

另外，抽油桿柱可視為一端固定一端自由的桿，其縱向振動的第一階固有頻率為，則臨界阻尼系數(shù)為，它的量綱和v‘一樣。將除v‘，得無量綱阻尼因子阻尼系數(shù)的確定

等效粘滯阻尼系數(shù)v可以在現(xiàn)場進(jìn)行測試，等效的標(biāo)準(zhǔn)是等效力每.一個周期從抽油桿系統(tǒng)中吸收的能量同實(shí)際阻尼力所耗散的能量相等。根據(jù)測試可以得出各油田的無量綱阻尼因子曲線。右圖無量綱阻尼因子與光桿速度的關(guān)系曲線S.G.吉布思阻尼系數(shù)

等效粘滯阻尼系數(shù)

阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

根據(jù)光桿功率與水力功率計(jì)算阻尼系數(shù)

原始波動公式右邊第二項(xiàng)可以寫成，即阻尼力等于阻尼系數(shù)乘單元質(zhì)量再乘以瞬時速度。故總阻尼力應(yīng)為平均速度可用抽油桿運(yùn)動一周的均方根速度計(jì)算。假設(shè)抽油桿是作簡諧運(yùn)動(a）(b）(c）阻尼系數(shù)的確定

瞬時速度為S.G.吉布思阻尼系數(shù)

根據(jù)光桿功率與水力功率計(jì)算阻尼系數(shù)

(d）則速度的均方根值為

(e）將(b)與(e)代入(a)得(f）阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

根據(jù)光桿功率與水力功率計(jì)算阻尼系數(shù)

將FD乘2S除以T就得到阻尼力單位時間所作功，它等于抽油桿的功率損耗，所以(g）解(g)式得無量綱阻尼因子水力功率Ph可由下式計(jì)算阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

用迭代法計(jì)算阻尼系數(shù)

計(jì)算水力功率，但是事先需要知道動液面Ln及產(chǎn)液量Qp。Qp的計(jì)算需要預(yù)先知道泵的有效沖程。泵的有效沖程可以根據(jù)泵示功圖來確定，但這又需要事先知道阻尼系數(shù)v。于是就需要使用迭代法，其計(jì)算步驟如下：

首先假設(shè)泵有效沖程是光桿沖程的百分?jǐn)?shù)，計(jì)算阻尼系數(shù)；

根據(jù)假設(shè)的阻尼系數(shù)計(jì)算泵示功圖，從而確定泵約有效沖程；

根根據(jù)泵的有效沖程，重新計(jì)算阻尼系數(shù)，再計(jì)算新的泵示功圖，從而重新確定泵的有效沖程；

根據(jù)不再變化的泵有效沖程重新計(jì)算阻尼系數(shù)；

應(yīng)用新的阻尼系數(shù)計(jì)算泵示功圖；

阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

用迭代法計(jì)算阻尼系數(shù)

根據(jù)泵示功圖計(jì)算泵功率Ppump；

如果泵功率與水力功率之差的絕對值在允差范圍內(nèi)即認(rèn)為阻尼系數(shù)收斂，即

式中ε為允許誤差(例如0.0lkW)。如果上式不滿足，則令

式中v*為前一次迭代的v值。繼續(xù)迭代直至滿足要求為止。事實(shí)證明，最多4~5次迭代即可滿足斂要求

阻尼系數(shù)的確定

i=1計(jì)算ph計(jì)算v計(jì)算泵示功圖確定泵凈沖程計(jì)算泵示功圖及泵功率計(jì)算vi=2？i＝i＋1阻尼系數(shù)的計(jì)算框圖停S.G.吉布思阻尼系數(shù)

用迭代法計(jì)算阻尼系數(shù)

阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

假設(shè)液體是在層流狀態(tài)推導(dǎo)出的阻尼公式抽油桿在運(yùn)動過程中，假設(shè)液體是處于層流狀態(tài)(Re<2300)，粘滯性摩阻是由剪應(yīng)力τrz造成的，參見右圖。假設(shè)液體是不可壓縮的，故在層流狀態(tài)下，力矩為常量。在半徑r處（a）阻尼系數(shù)的確定

（c）（b）（d）S.G.吉布思阻尼系數(shù)

假設(shè)液體是在層流狀態(tài)推導(dǎo)出的阻尼公式所以流體流速為則根據(jù)牛頓定理得將(b)代入(c)得阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

假設(shè)液體是在層流狀態(tài)推導(dǎo)出的阻尼公式邊界條件是當(dāng)r＝Rt（油管半徑）時，當(dāng)R＝Rr（抽油桿半徑）時，（抽油桿速度）（e）所以，當(dāng)r＝Rr時

（f）阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

假設(shè)液體是在層流狀態(tài)推導(dǎo)出的阻尼公式（g）（h）將（h）代入（c）得

當(dāng)r＝Rr時（i）（j）阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

假設(shè)液體是在層流狀態(tài)推導(dǎo)出的阻尼公式該式乘以液體與dx段抽油桿的接觸表面積2πRrdx并令，則阻尼力為

（k）等效粘滯阻尼因子等效粘滯阻尼系數(shù)

阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

根據(jù)A..M.皮爾維爾江的阻尼力公式推導(dǎo)出的阻尼系數(shù)單元長度dx的阻尼力為

（a）單元功為（b）則長度為L抽油桿柱在一個循環(huán)中總的粘滯摩擦功為（c）阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

根據(jù)A..M.皮爾維爾江的阻尼力公式推導(dǎo)出的阻尼系數(shù)（d）A..M.皮爾維爾江的單位長度上摩擦力公式為阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

根據(jù)A..M.皮爾維爾江的阻尼力公式推導(dǎo)出的阻尼系數(shù)根據(jù)(b),單元功為

（f）（e）如果考慮壓力梯度損失，則單元功為整個抽油桿一個循環(huán)總粘滯摩擦功為（g）阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

根據(jù)A..M.皮爾維爾江的阻尼力公式推導(dǎo)出的阻尼系數(shù)將(f)代入（g）經(jīng)過積分就得到

（h）將（h）代入（d）就得（i）阻尼系數(shù)的確定

S.G.吉布思阻尼系數(shù)

根據(jù)A..M.皮爾維爾江的阻尼力公式推導(dǎo)出的阻尼系數(shù)在計(jì)算時，使用無阻尼波動方程。假設(shè)抽油桿柱上端作簡諧運(yùn)動，下端自由，這樣（