割圓術教案(人教A版必修)

（一）教學內(nèi)容解析本節(jié)課雖非普通高中課程標準實驗教科書的內(nèi)容，但人教A版必修3中的第一章《算法結構》的“閱讀與思考”內(nèi)容以劉徽的“割圓術”為載體，讓學生通過了解“割圓術”的基本特點及其中蘊含的遞推思想與迭代算法，體會“割圓術”是幾何算法階段計算圓周率的既有效又科學的方法，又讓學生感受到計算工具的不斷發(fā)展，為圓周率的計算乃至整個數(shù)學學科的發(fā)展帶來前所未有的突破。在數(shù)學史上，簡潔而精確的圓周率求法，曾經(jīng)是數(shù)學家們不懈追求的目標，在不同歷史階段，經(jīng)驗實測方法，蒙特卡洛每一次方法的改進，都在嚴密性與精確性的角度上體現(xiàn)了重要的數(shù)學和學習各種不同的圓周率近似值的求法，并對這些方法各個國家的數(shù)學家們提出了形形色色的圓周率近似值割圓術，級數(shù)逼近等等。思想，因此求法，如方法，劉徽割圓術，阿基米德在高中階段，讓學生了解進行比較與分析，是十分必要的。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途（二）學生學情分析在深化課改的背景下，現(xiàn)階段的學生并沒有學過如何求圓周率，只有人教A版必修3中的第一章《算法結構》的“閱讀與思考”內(nèi)容是以劉徽的“割圓術”為載體，通過算法知識來介紹求圓周率，但是，必修3中算法的相關知識，也沒有學過，在算法的建構方面存在一定的困難，同時對圓周率的認知基本上停留在能背出小數(shù)點后多少位，卻不知圓周率是如何得到的。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途學生通過課前資料收集和閱讀思考，對歷史上幾種不的同圓周率求法進行了初步的了解，同時以教材中的“閱讀與思考”內(nèi)容，同時也是歷史上完備性最好，且具有算法思想的劉徽的“割圓術”作為重點介紹內(nèi)容，讓學生領悟劉徽的割圓術中所蘊含的遞推思想及迭代算法。對于劉徽割圓術的掌握，對學生來說是一個挑戰(zhàn)，圓內(nèi)接正多邊形的面積公式的遞推關系的推導對學生來說是十分困難的．根據(jù)教學內(nèi)容解析和學情分析，我確定本節(jié)課的教學重點和難點如下：重點：在學生通過課前閱讀與課外查閱與研究所了解的有關求圓周率的方法的基礎上，對各種不同的方法進行簡要的介紹與對比，同時深入探究劉徽割圓術的思想方法，獲得面積遞推公式，同時體會其中蘊含的遞推思想與迭代算法．難點：割圓術中“內(nèi)外夾逼”的極限思想與算法實現(xiàn)過程中遞推關系的建立．二、教學目標設置依據(jù)課程標準，基于上述分析，我確定本節(jié)課的教學目標如下：（一）讓學生經(jīng)歷從直觀感受到隨機模擬，最后到嚴格推理，然后以計算機實現(xiàn)近似值求解的過程，既對相關數(shù)學史有所了解，同時又讓學生體會了求解圓周率的歷史實質(zhì)是運算工具的發(fā)展史．（二）理解割圓術對于圓周率估計的完備性與精確性，以及求解過程中所蘊含的遞推思想，體會計算機程序迭代算法和割圓術的應用價值．（三）了解求解圓周率的歷史，感受數(shù)學的文化價值．三、教學策略分析本節(jié)課在教學材料的組織上選擇了讓學生課前探究求解圓周率的方法，習劉徽的割圓術，并以形式匯報閱讀成果.應用問題探究式教學方便地自主學小組交流的方式，對課本介紹的劉徽的割圓術進行再思考，讓學生自主探究如何計算功能實現(xiàn)算法，完成對圓周率圓內(nèi)接正多邊形的面積．借助Ｅxcel軟件的迭代的近似值的初步估計.因此本節(jié)課采用學生課前閱讀與課內(nèi)思考相結合的方式，讓學生體會以閱讀學習所獲得的知識為基礎，在經(jīng)過再思考后，獲得對問題的深刻理解的過程；同時采用公式的理論推導和信息技術相結合的手段，讓學生體會

呈現(xiàn)背景探索方法完善方法實現(xiàn)算法歸納小結分別從數(shù)學史的發(fā)展角度，與方法的完備性角度來逐步遞進探索并對比不同方法的優(yōu)劣。下面我將對每一階段教學中計劃解決的主要問題和教學步驟作出說明.（一）呈現(xiàn)背景【學生活動】學生課前查閱圓周率的相關知識，自主學習劉徽的割圓術，并相互交流對圓周率的認識。（請看視頻）資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途【教師總結】那圓周率的值到底是多少呢？又是如何得到的呢？在綿延的歷史長河中，人們又是怎樣“計算”圓周率的呢？資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途【設計意圖】從數(shù)學史與數(shù)學文化的角度，來引起學生對于圓周率求解方法的興趣，為后面各種方法的介紹做好鋪墊。（二）探索方法【第一組：實測法】第一小組學生代表介紹：“用實測的方法求圓周率”（請看視頻）【學生活動】學生討論實測法的不準確之處：1.圓周是曲線，用細繩去擬合時，存在誤差。2.測量長度時，存在誤差。【教師總結】尺子的精度越高，得到的測量值可能會越準確。精度再高的刻度尺也無法量得線段長的真實值。其實，早在明代就有一位名叫邢云路的數(shù)學家，他就用實測的方法求圓周率，后來茅以升這樣評價他：“云路欲以度量所得，抹煞古人諸率，所見甚淺。”可見，實測的辦法是比較粗糙的。【設計意圖】通過實測與經(jīng)驗來估計圓周率的近似值，是人類歷史上最早采用的方法，但這種方法在數(shù)學上既不嚴密，同時所求得的近似值的精確度也無法保證，在課前讓學生通過實驗，切身體會到用實測的方法求圓周率是比較粗糙的。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途【第二組：布豐投針】布豐投針實驗求圓周率”第二小組學生代表介紹：“用【學生活動】求解任意給出3個正數(shù)，以這3個正數(shù)為邊長可以圍成一個鈍角三角形的概率。解：設這三個正數(shù)為，不妨設，abc，，，abc由以a，b，c為邊長可以圍成一個鈍角三角形得：c2，abc，ab22變形，得：ab2b2，a1，1cccc令xa,yb，則01，x0y1ccxy1xy212由線性規(guī)劃可知：滿足題意的可行域為直線yx1與圓xy1圍成的22弓形，總的區(qū)域是一個邊長為1的正方形。-2。4241-S弓形P則可以圍成一個鈍角三角形的概率S1正方形【教師總結】早在1904年，R查特發(fā)現(xiàn)，兩個隨意寫出的整數(shù)中，互素的概率62為。然后，我們可以通過“像投針一樣的操作實驗”或者“讓計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，進行計算機模擬實驗”，從而得到實驗頻率，求出圓周率的近似值?！驹O計意圖】布豐投針實驗至少給了我們兩大啟示：1.可以利用概率原理來解釋圓周率的計算，雖然實驗結果具有隨機性；2.投針實驗拓寬了人們運用數(shù)學知識解決復雜問題的渠道，它已發(fā)展為一種新的數(shù)學方法——統(tǒng)計實驗法，也就是著蒙特卡羅法。利用概率論的大數(shù)定律，可以保證用該方法求得的近似值在概率意義上是收斂于真實值的，但所得結果的精確度無法準確估計，測的方法，有所進步，但仍不夠完善?！镜谌M：割圓術】第三小組學生代表介紹：“劉徽的割圓術”名的因此相對于實資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途通過課前學習，讓學生對劉徽的割圓術有了基本的認識，圓內(nèi)接正多邊形的面積遞推公式SSn1x(1h).并得到了課本上的22nnnn【學生小組交流1：劉徽為什么不——好算，且精確度相對較高。小組交流2：如果以正四邊形面積為起始可以嗎？任意正n邊形面積為起始都可以，因為x與x及S與x之間的遞活動】從圓內(nèi)接正三角形的面積開始，而是從六邊形開始？——以2nn2nn推關系并不會因為初始值的不同而發(fā)生改變.隨著正多邊形邊數(shù)的增加，最終的效果是一致的.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途【教師總結】回味劉徽的割圓術，他是以圓內(nèi)接正六邊形的面積為起始，借助x6來求S，然后在x，S的基礎上，求x，S，依次類推，……，要求S，只66612122n需借助于x，S，得到了圓內(nèi)接正多邊形的面積的遞推公式。資料個人收集整理，勿做nn商業(yè)用途【設計意圖】讓學生通過課外閱讀與課前學習，以小組交流的形式匯報閱讀成果.【師生互動】在算完正六邊形的面積后，為什么不算正七邊形的面積，而是選擇計算正十二邊形的面積？（請看視頻）【學生活動】分析與討論在算完正六邊形的面積后，不算正七邊形面積的理由.【教師總結】正十二邊形的面積容易計算，關鍵在于在正六邊形的基礎上，增加的頂點是CD的中點，根據(jù)垂徑定理，正十二邊形的“特征三角形”的底就是B半徑1，高其實是正六邊形的邊長的一半．．．．．．．．．．．．．．．資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途【學生活動】學生介紹不同于課本教材的圓內(nèi)接正十二邊形的面積的求法:把正十二邊形分割成十二個特征三角形，容易算得它的面積為：11xS12S12（OBCA）12（6）22212COB1【學生活動】那么正2n邊形的面積S就等于：S2nS2n（）nxxn2222n2COBnn【教師總結】從此式看出：只需借助正n邊形的邊長x來求正2n邊形的面積nS．相比于之前介紹的遞推公式SSn(1x（1-1()2）)，表達式xn222n2nnn上更加簡潔.同時，也要注意到：這兩個面積遞推公式，都是借助于x與x之2nn間的遞推關系，其本質(zhì)是一樣的.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途【師生互動】這兩種遞推公式，哪一種在計算機里運行速度更快？效率更高？【學生活動】后者在表達式上更加簡潔，減少了開方運算的次數(shù)，效率更高?！窘處熆偨Y】在1800年前，劉徽只計算到了圓內(nèi)接正192邊形的面積，相當于只邁開了六步。現(xiàn)在，我們已擁有具有強大計算能力的計算機。這個遞推公式，恰好符合計算機的迭代算法。我們可以借助計算機來實現(xiàn)算法。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途【設計意圖】割圓術作為歷史上第一個出現(xiàn)的完備性最好的求圓周率的方法，也并非在各個方面盡善盡美，因此引導學生在知識的獲得之后，但作為課內(nèi)針對學生課前閱讀的“第一次思考”，引導學生成功建立正n邊形的邊長與正2n邊形的面積之間的遞歸關系，而且此面積遞推公式比課本介紹的遞推公式更加簡潔，為后續(xù)計算邊數(shù)更多的正多邊形面積提供了一個可行、高效的方法，也為后續(xù)的程序的實現(xiàn)提供了算法依據(jù)，讓學生體會到“閱讀”之后“思考”的重要性與必．．要性．資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途（四）實現(xiàn)算法回味此遞推公式：x24x2，已知x，求得x后，再由x，代2n61212n入此式，求得24x，……，依此類推，這是一種迭代的算法，而Excel軟件剛好有迭代的功能，我們就借助Excel來實現(xiàn)算法.（請看視頻）資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途xnS2nn61.00000003.0000000120.51763813.1058285240.26105243.1326286480.13080633.1393502n的增大，S的面積越來越大，越來越趨近于通過表格，我們看到：隨著2n的真實值.運用Excel軟件實現(xiàn)的算法，可以用程序框圖來表示，再翻譯成程序語言，利用計算機實現(xiàn)算法.【數(shù)學史介紹】數(shù)學家祖沖之在此基礎上，把圓周率精確到小數(shù)點后第七位.在西方，這個成績由法國數(shù)學家韋達于1593年取得,比祖沖之晚了一千多年.【設計意圖】揭示遞推公式與迭代算法之間的關系，借助計算機來實現(xiàn)圓周率的近似值的估計，既是對劉徽割圓術的方法的有效驗證，又體現(xiàn)了中國古代數(shù)學的算法特征．同時讓學生體會用程序框圖來表示算法，能使算法的邏輯結構更清楚、步驟更直觀．同時了解求解圓周率的歷史，感受數(shù)學的文化價值．問題2：已知圓內(nèi)接正四邊形的面積S2，在此基礎上往下算，會選擇計算圓4內(nèi)接正幾邊形的面積？理由是什么？（請看視頻）【學生活動】計算圓內(nèi)接正八邊形的面積S，再計算圓內(nèi)接正十六邊形的面積8

S，依此類推.可以借助正【教師總結】x與x及S與x之間的遞推關系并沒有因為初始值的不同而發(fā)生nn改變.即使初始值的誤差比較大，隨著正多邊形邊數(shù)的增加，最終的效果會是一致的.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途S來近似代替圓的面積，這樣得到的的近似值肯定要比的真實值小.也就是說，我們得到的是（圓面積）的下限.出于考慮問題的嚴謹性，還要對圓面積的上限加以估計.資料個人收集整理，勿做商問題3：選擇哪個幾何圖形的面積作為圓面積的上限？（請看視頻）【學生活動】設圓外切正n邊形的邊長為y,外切正n邊形的面積為T.nnx21n利用相似比：xny2得：yn2xn4x21nnnxn4x2所以Tn1y12nnn問題4：是否有更合適的幾何圖形的面積可以做為圓面積的上限？（請看視頻）【學生活動】思考是否有更佳的上限估計方式，并提出自己的看法：這些圓內(nèi)接正多邊形每邊外有一余徑，用邊長乘以余徑，加到正多邊形的面積上，則大于圓的面積，即數(shù)學家劉徽的想法.此時，此幾何圖形的面積為：資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途S2SSSSS.n2nn2n2nn【設計意圖】通過圓面積的上限的討論，進一步完善割圓術的思想，作為課內(nèi)針對學生課前閱讀的“第三次思考”，通過計算、對比，讓學生深刻體會劉徽的割圓術的精明之處：１、利用已有的成果S,S來表示圓的面積的上限，n2n成功的將計算量減半；2、劉徽的割圓術的完備性與數(shù)學研究過程中所要求的嚴密性相符．讓學生感受在“閱讀”的基礎上“思考”所帶來的成果．我們也借助Excel軟件來實現(xiàn)算法:ΔS+S2nnxnS2n41.41421362.828427180.76536693.06146753.2945078160.39018063.12144523.1814228320.19603433.13654853.1516518640.09813533.1403312304908253.1412773302454313.1415138301227183.14157293.141632110240.00613593.14158773.141602520480.00306803.14159143.141595140960.00153403.14159233.141593381920.00076703.14159263.1415928【設計意圖】再次通過Excel軟件實現(xiàn)上限的估計，驗證了運用割圓術求解的近似值的可行性與有效性，實現(xiàn)了學生課前的“閱讀成果”．問題5：同學們還有什么感觸嗎？【學生活動】學生介紹利用三角函數(shù)來求圓內(nèi)接正多邊形的的面積把正十二邊：形分割成十二個特征三角形，利用三角函數(shù)算得它的面積為：S12S1212112sin3002COB【學生活動】那么正2邊形的面積S就等于S2nSn：2n2n特征三角形nsin2n【教師總結】利用三角函數(shù)求解圓內(nèi)接正多邊形的面積，在歷史上，直到文藝復興時期，哥白尼（1473--1543）和開普勒（1571-1630）研制了相當精確地三角函數(shù)表，這個問題才得以解決?？磥硗瑢W們都能學以致用！【數(shù)學史介紹】事實上，歷史上還出現(xiàn)了很多求圓周率的方法，比如：韋達的無窮乘積法，歐拉的無窮級數(shù)法，1844年，達賽利用的反正切函數(shù)表達式把π值計算到了小數(shù)點后200位?！驹O計意圖】在詳介細紹了“實測方法”、“蒙特卡洛方法”與“割圓術”之后，又對如何用高數(shù)學求解的歷史，等方法求解圓周率進行了簡要的介紹，讓學生增加了對近代使得數(shù)學史上對于的求解歷程有了更加完整的認識，再次感受數(shù)學的文化價值．（五）歸納小結從實測的直再到三角函數(shù)加入割圓術，π的計算精度越來越高，但方法上到1665年牛頓等人發(fā)明微積分，才使π的計算走到了歷史轉(zhuǎn)折點，立微積分的當數(shù)阿基米德和劉徽，他們提出的割圓術中已相當自覺地覺與粗糙，到割圓術的以直代曲、無限逼近、內(nèi)外夾逼的嚴謹，沒有本質(zhì)改變。直然而追溯建先驅(qū)人物又運用了“無窮”和“愈來愈接近”等屬于微積分的基本概念。同時，1777年，布豐的投針實驗則另辟蹊