伽馬先驗(yàn)分布的草案

1先驗(yàn)分布服從伽馬-逆伽馬分布1:取形狀參數(shù)先驗(yàn)分布為伽馬分布:bama-1exp(一bm)，其中a為形狀參數(shù)，b為尺度參數(shù)。2:尺度參數(shù)的先驗(yàn)分布為逆伽馬分布:yur(yur(u)3)expr"I其中u為形狀參數(shù)，v為尺度參數(shù)。則兩參數(shù)的聯(lián)合驗(yàn)前分布為：兀(mm)兀(mm)=Ga(a,b)-IGa(u,v)=r(a)bama-1exp(一bm)-vuexpr”、一；V'Ir(.)為伽馬函數(shù):r(a)=j+"xa-1e-xdxa>002超參數(shù)確定方法上面給出的先驗(yàn)分布中，除了兩參數(shù)數(shù)都取無信息先驗(yàn)分布，其它先驗(yàn)分布都含有未知的超參數(shù)。超參數(shù)可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)專家給出，但是更多的時(shí)候要利用先驗(yàn)數(shù)據(jù)確定。通常利用先驗(yàn)矩可以確定超參數(shù)。這時(shí)，首先要獲得參數(shù)9(對(duì)于Weibull而言，就是m和')的樣本，然后才能去估計(jì)參數(shù)的樣本矩。然而，已知的先驗(yàn)數(shù)據(jù)與參數(shù)的樣本并沒有明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在工程應(yīng)用中，常用自助法(Bootstrap)獲得參數(shù)的樣本。自助法的核心是利用自助樣本(或稱為再生樣本)來估計(jì)未知概率測(cè)度的某種統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)特性。設(shè)T=(t,t,???t)12n是得到的一組數(shù)控系統(tǒng)無故障工作時(shí)間樣本。通過其運(yùn)用自助法便可獲得m和'的樣本。具體步驟如下：對(duì)T=(t,t,...t)進(jìn)行有放回抽樣，可得到自助樣本；12n利用自助樣本t*=(t*,t*,-艾*)進(jìn)行最大似然估計(jì)，得到m，彳；12n重復(fù)上述兩個(gè)步驟n次，得到估計(jì)參數(shù)樣本｛(m,'),(m,'),???,(m,')｝；1122NN利用得到的估計(jì)參數(shù)樣本即可求未知參數(shù)',m的期望和方差。通過得到的N組參數(shù)樣本，分別計(jì)算其期望與方差，可以得到驗(yàn)前分布的超參數(shù)。當(dāng)假設(shè)先驗(yàn)分布為二元正態(tài)時(shí)：b2=e(m-口)2，當(dāng)假設(shè)先驗(yàn)分布為伽馬-逆伽馬分布時(shí)，解下面兩個(gè)方程組便可得。i=1(u-當(dāng)假設(shè)先驗(yàn)分布為伽馬-逆伽馬分布時(shí)，解下面兩個(gè)方程組便可得。i=1(u-1)2(u-2)兀(9It)p(119)兀(9)（2.5）（2.6）M(t)=jp(119)兀(9)d（2.6）由于M（t）不依賴于9，在計(jì)算9的后驗(yàn)分布中僅起到一個(gè)正規(guī)化因子的作用。假如把m（t）省略，把Bayes公式改寫為如下等價(jià)的形式:兀(911)xp(119)兀(9)其中符號(hào)x代表兩邊僅差一個(gè)常數(shù)因子，一個(gè)不依賴于9的常數(shù)因子。則聯(lián)合后驗(yàn)分布為:L(11門，m)丸⑴，m)M(t)abvuxr(b)T(u)nmabvuxr(b)T(u)nm7mb-1(nt)°i-1-exp一am一ieDieC+D、（2.7）（2.8）在這里r（b）rG）是不依賴于口，°abvu的常量因子，在以后的積分當(dāng)中可以消掉，因此可以省略(t)=jmu"兀G,（2.8）在這里r（b）rG）是不依賴于口，°abvu的常量因子，在以后的積分當(dāng)中可以消掉，因此可以省略它寫成如下形式:H(n,mH(n,m)=mb-1(nt)m-1.expieDvVt

-am-—-乙(i)nieC+D（2.9）對(duì)上式進(jìn)行積分可以得到:J(a,P)=JmjnuH(n,m》ndm4參數(shù)門,m和MTBF值的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)E(mKIZ)=—J"'uJnumKHG,m)dndmJmLnLm的雙側(cè)區(qū)間估計(jì)E(mIZ)=JJJ=Jn'uJnumH&,mdndmmLnL，由以下公式求得:—JnuJmH(n,m)dmdnJnmLLy_2JnuJmH(n,m)dmd]=1一"Jnm2nm

LL同樣的方法可以得到a的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)E(nKIZ)=—J"'uJnunKHG,m)dndm

JmLnLn的雙側(cè)區(qū)間估計(jì)e(nIz)=Jj=JmJnunh(n,mdndm2mLnL，由以下公式求得:—JmuJ11HG,m)dmdn=~2JmLMTBF的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)MTBF=t=門r1+—E(tK|Z)=JnJ=J駐JnutH(n,m》ndm3mLnLMTBF的雙側(cè)區(qū)間估計(jì)，由以下公式求得:_JmJ/'-「f1-1]HG,m)dndm"Jml]lkm7（2.10）（2.11）（2.12）（2.13）（2.14）（2.15）（2.16）（2.17）（2.18）（2.19）（2.20）（2.21）（2.22）（2.23）■—jmuj/l]1_+:HG,m)d門dm=（2.23）5算例通過新產(chǎn)品現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)，我們得到一組現(xiàn)場(chǎng)樣本T:完全失效數(shù)據(jù)2033239341583194719613206截尾數(shù)據(jù)7831353101630973300通過由自助法得到的m和門樣本，我們便可得到樣本均值、樣本方差:H=1.44，七=2251，b2H=1.44，七=2251，b2=0.025,"T98X105ba="4b——=0.025a2v——=2962u_1=1.98x105(u_1)2(u_2)可得：a=57.6,b=82.95，u=46.3,v=134209m的點(diǎn)估計(jì)（后驗(yàn)期望估計(jì)）m=E(m)=1.35n的點(diǎn)估計(jì)（后驗(yàn)期望估計(jì)）冗=E(n