全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題及答案-2023修改整理

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一.填空題（本題共小題，每小題分，滿分分.把答案填在題中橫線上.）

（）設(shè)2(1)()lim

1

nnx

fxnx→∞-=+,則()fx的間斷點(diǎn)為x=.【分析】本題屬于確定由極限定義的函數(shù)的延續(xù)性與間斷點(diǎn).對(duì)不同的x,先用求極限的辦法得出

()fx的表達(dá)式,再研究()fx的間斷點(diǎn).

【詳解】明顯當(dāng)0x=時(shí),()0fx=;

當(dāng)0x≠時(shí),222

1

(1)(1)1()limlim11nnx

nxxnfxnxxxxn→∞→∞--====++

,所以()fx0,01,0xxx=??

=?≠??,

由于0

01

lim()lim

(0)xxfxfx

→→==∞≠故0x=為()fx的間斷點(diǎn).

（）設(shè)函數(shù)()yx由參數(shù)方程33

31

31

xttytt?=++??=-+??確定,則曲線()yyx=向上凸的x取值范圍為1-∞∞（，）（或（-，1]）

.【分析】判別由參數(shù)方程定義的曲線的高低性，先用由()

()xxtyyt=??=?

定義的223

()()()()(())dyytxtxtytdxxt''''''-='求出二階導(dǎo)數(shù),再由220dy

dx

>時(shí),()fx凸,于是(0,0)為拐點(diǎn).又(0)0f=,01x≠、時(shí),()0fx>,從而0x=為微小值點(diǎn).所以,0x=是極值點(diǎn),(0,0)是曲線()yfx=的拐點(diǎn),故選（）.

（）lim(1)nn

→∞+等于

（）221

lnxdx?.（）21

2lnxdx?.

（）2

1

2ln(1)xdx+?.（）2

21

ln(1)xdx+?

[

]B

【分析】將原極限變型，使其對(duì)應(yīng)一函數(shù)在一區(qū)間上的積分和式。作變換后,從四個(gè)選項(xiàng)中選出正確的.

【詳解】limln(1)nn

→∞+212limln(1)(1)

(1)n

nn

nnn→∞?

?=+++????

212limln(1)ln(1)(1)

nnnnnn→∞??

=++++

++????

1

1

lim2

ln(1)n

niinn

→∞

==+∑1

2ln(1)xdx

=+?2

1

12lnxttdt

+=?

21

2lnxdx=?故選（）.

（）設(shè)函數(shù)()fx延續(xù),且(0)0f'>,則存在0δ>,使得

（）()fx在(0,)δ內(nèi)單調(diào)增強(qiáng).（）()fx在(,0)δ-內(nèi)單調(diào)減小.（）對(duì)隨意的(0,)xδ∈有()(0)fxf>.

（）對(duì)隨意的(,0)xδ∈-有()(0)fxf>.

[

]C

【分析】可借助于導(dǎo)數(shù)的定義及極限的性質(zhì)研究函數(shù)()fx在0x=附近的局部性質(zhì).【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知0

()(0)

(0)lim

00

xfxffx→-'=>-,

由極限的性質(zhì),0δ?>,使xδ即0xδ>>時(shí),()(0)fxf>，0xδ-及0y=圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一

旋轉(zhuǎn)體,其體積為()Vt,側(cè)面積為()St,在xt=處的底面積為()Ft.

(Ⅰ)求

()

()

StVt的值;(Ⅱ)計(jì)算極限()

lim

()

tStFt→+∞.

【分析】用定積分表示旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積，二者及截面積都是t的函數(shù),然后計(jì)算它們之間的關(guān)系.

【詳解】(Ⅰ

)0()2t

Stπ=?

022xxt

eeπ-?+=??2

022xxt

eedxπ-??

+=???

?,2

2

00()2xxt

t

eeVtydxdxππ-??+==???

??,

()

2()

StVt∴

=.(Ⅱ)2

2

()2ttxt

eeFtyππ-=??+==???

,

2

02

22()limlim

()2xxt

tttteedxStFteeππ-→+∞→+∞-??+???=??+???

?2

22lim222

ttt

ttt

teeeeee→+∞??+?

??=????+-??

?????

lim1

tt

ttteeee

--→+∞+==-（）（本題滿分分）

設(shè)2eabe

-.【分析】文字不等式可以借助于函數(shù)不等式的證實(shí)辦法來(lái)證實(shí),常用函數(shù)不等式的證實(shí)辦法主要有單調(diào)性、極值和最值法等.

【詳證】設(shè)224

()lnxxxe?=-

,則2ln4

()2xxxe?'=-

2

1ln()2x

xx?-''=,

所以當(dāng)xe>時(shí),()0x?''=-=,即當(dāng)2exe,即222244lnlnbbaaee

-

>-故2224

lnln()babae->-.

【詳證】設(shè)2224

()lnln()xxaxae

?=,則

2ln4

()2

xxxe?'=-21ln()2x

xx

?-''=,

∴xe>時(shí),()0x?''=

-=,2exe?=。令xb=有()0b?>

即222

4

lnln()babae->

-.【詳證】證對(duì)函數(shù)2lnx在[,]ab上應(yīng)用拉格朗日定理,得222lnlnln()babaξ

ξ

->-,abξ時(shí),()0t?',即

222lnln2

eee

ξ

ξ>=,故2224

lnln()babae

->

-（）（本題滿分分）

某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降臨時(shí),為了減小滑行距離,在觸地的眨眼,飛機(jī)尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機(jī)快速減速并停下來(lái).

現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī),著陸時(shí)的水平速度為700/kmh.經(jīng)測(cè)試,減速傘打開后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為66.010k=?).問(wèn)從著陸點(diǎn)算起,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少?

注kg表示千克,/kmh表示千米小時(shí).

【分析】本題屬物理應(yīng)用.已知加速度或力求運(yùn)動(dòng)方程是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中一類重要的計(jì)算,可利用牛頓其次定律,建立微分方程,再求解.

【詳解】由題設(shè),飛機(jī)的質(zhì)量9000mkg=,著陸時(shí)的水平速度0700/vkmh=.從飛機(jī)接觸跑道開頭記時(shí),設(shè)t時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為()xt,速度為()vt.

按照牛頓其次定律,得

dv

mkvdt

=-.

又dvdvdxdv

vdtdxdtdx

=?=,

m

dxdvk∴=-,

積分得()m

xtvCk

=-+,

因?yàn)?(0)vv=,(0)0x=,故得0m

Cvk

=,從而

0()(())m

xtvvtk=-.

當(dāng)()0vt→時(shí),069000700

()1.05()6.010

mvxtkmk?→

==?.所以,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1.05km.【詳解】按照牛頓其次定律,得dv

mkvdt=-.

所以dvk

dtvm=-,

兩邊積分得k

tm

vCe

-=,

代入初始條件00tvv==,得0Cv=,

0()ktm

vtve

-∴=,

故飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為0

()1.05()ktm

mvmvxvtdtekmk

k

+∞-

+∞==-

=

=?

.【詳解】按照牛頓其次定律,得

22dxdx

mkdtdt

=-,

220dxkdxdtmdt

+=,其特征方程為20k

rrm

+=,解得10r=,2krm

=-

，故12ktm

xCCe

-=+，

由(0)0x=,200

(0)ktm

ttkCdx

ve

vdt

m

-===

=-=，得0

12mvCCk

=-=

，0

()(1)ktmmvxtek

-∴=-.

當(dāng)t→+∞時(shí),

069000700

()1.05()6.010

mvxtkmk?→

==?.所以,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1.05km.

（）（本題滿分分）

設(shè)2

2

(,)xy

zfxye=-,其中f具有延續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求2,,zzz

xyxy

???????.

【分析】利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)和混合偏導(dǎo)的辦法直接計(jì)算.【詳解】

122xyz

xfyefx

?''=+?,

122xyz

yfxefy

?''=-+?,21112

222[(2)]xy

xy

xyzxfyfxeefxyefxy

?''''''=?-+?++??2122[(2)]xyxy

yefyfxe

''''+?-+?22211

1222242()(1)xyxyxyxyfxyefxyefexyf'''''''=-+-++++.（）（本題滿分分）設(shè)有齊次線性方程組

12341234

12341234(1)0,

2(2)220,33(3)30,444(4)0,

axxxxxaxxxxxaxxxxxax++++=??++++=??

++++=??++++=?試問(wèn)a取何值時(shí),該方程組有非零解,并求出其通解.

【分析】此題為求含參數(shù)齊次線性方程組的解.由系數(shù)行列式為確定參數(shù)的取值,進(jìn)而求方程組的非零解.

【詳解】對(duì)方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換,有

111111112222202233330044

4

4400a

a

aaaBaaaaaa++??????+-??→=??+-????+-?

???

當(dāng)0a=時(shí),()14rA=<,故方程組有非零解,其同解方程組為

12340xxxx+++=.

由此得基礎(chǔ)解系為

1(1,1,0,0)Tη=-,2(1,0,1,0)Tη=-,3(1,0,0,1)T

η=-,

于是所求方程組的通解為

112233xkkkηηη=++,其中123,,kkk為隨意常數(shù).

當(dāng)0a≠時(shí),

111110

00021002

1003010301040014001aaB++????

?

?

--??

→→??

--??

??--?

??

?

當(dāng)10a=-時(shí),()34rA=<,故方程組也有非零解,其同解方程組為

121314

20,

30,40,xxxxxx-+=??

-+=??-+=?

由此得基礎(chǔ)解系為

(1,2,3,4Tη=,所以所求方程組的通解為

xkη=,其中k為隨意常數(shù).

【詳解】方程組的系數(shù)行列式

311112222(10)33334444aaAaaaa+???+?==+?+??+??

.當(dāng)0A=,即0a=或10a=-時(shí),方程組有非零解.當(dāng)0a=時(shí),對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換,有

11111

111222200003333000044440000A????

?

?

??

=→

??

??

???

??

?

故方程組的同解方程組為

12340xxxx+++=.

其基礎(chǔ)解系為

1(1,1,0,0)Tη=-,2(1,0,1,0)Tη

=-,3(1,0,0,1)Tη=-,

于是所求方程組的通解為

112233xkkkηηη=++,其中123,,kkk為隨意常數(shù).

當(dāng)10a=-時(shí),對(duì)A作初等行變換,有

911191

11282220220033733001004446400010A--??????--

??=→??--????--????

9

1110

00021002

1003010301040014001-????

?

?

--??

→→??

--??

??--?

??

?

故方程組的同解方程組為

213141

2,

3,4,xxxxxx=??

=??=?

其基礎(chǔ)解系為(1,2,3,4)Tη=,

所以