高考數(shù)學大題專練之圓錐曲線

圓錐曲線專練

v-2

1、如圖，在平面直角坐標系xOy中。橢圓C:]+y2=i的右焦點為/，右準線為/。

(1)求到點尸和直線/的距離相等的點G的軌跡方程。

(2)過點F作直線交橢圓C于點A,3,又直線。4交/于點T,若麗=2宓，求線段A8的長；

(3)已知點M的坐標為(入。,%),飛。0,直線0M交直線當+y0y=l于點N,且和橢圓C的一個交點為

點、P,是否存在實數(shù)4,使得0P一=4。/ON?,若存在，求出實數(shù)4；若不存在，請說明理山。

22

2、如圖，已知橢圓5+4=l(a>b>0)的長軸為AB,過點B的直線/與％軸垂直.直線

a~h

(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0(keR)所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率e=掾

(1)求橢圓的標準方程;

(2)設P是橢圓上異于4、8的任意一點，軸，”為垂足，延長到點。使得“尸=尸。，連結AQ

延長交直線/于點M,N為MB的中點.試判斷直線QN與以A8為直徑的圓。的位置關系.

3、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸匕離心率為券，且經(jīng)過點M(4,1),直線/:y=x+加交橢圓于

不同的兩點A,B.(I)求橢圓的方程；(II)求機的取值范圍；

(III)若直線/不過點M,試問々MA+AMB是否為定值？并說明理由。

4、已知橢圓的焦點6(1,0),工(一1,0),過。作垂直于y軸的直線被橢圓所截線段長為灰，過耳作直

線/與橢圓交于4、8兩點.

(I)求橢圓的標準方程；

(H)是否存在實數(shù)f使兩+而=/麗，若存在，求f的值和直線/的方程；若不存在，說明理由.

5、設拋物線Cl：x2=4y的焦點為F,曲線C2與C1關于原點對稱.

(I)求曲線C2的方程；

(II)曲線C2上是否存在一點P(異于原點)，過點P作C1的兩條切線PA,PB,切點A,B,滿足|AB|是

IFA|與|FB|的等差中項？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

3

6、已知，橢圓C過點A。,］）,兩個焦點為（-1,0）,（1,0）。

（1）求橢圓C的方程；

（2）E、F是橢圓C上的兩個動點，如.果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為

定值，.并求出這個定值。

7、已知雙曲線E：土-匯=1的左焦點為尸，左準線/與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標原點

2412

O,設G是圓C上任意一點.

（I）求圓C的方程；

（H）若直線FG與直線/交于點T,且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；

在平面上是否存在定點P，使得對圓。上任意的點G有翳;？

(III)若存在，求出點尸的坐標；若不存

在，請說明理由.

8、橢圓C：=1（。＞。＞0）的左、右焦點分別為￡、工，右頂點為A,尸為橢圓C上任意一點.已

知PF}?PF2的最大值為3,最小值為2.

（1）求橢圓。的方程；

（2）若直線/：y=+m與橢圓C相交于M、N兩點、（M、N不是左右頂點），且以MN為直徑的

圓過點A.求證：直線/過定點，并求出該定點的坐標.

9、設拋物線M方程為/=2px(p>0),其焦點為F,P(a,b)(aA0)為直線y=x與拋物線M的

一個交點，IPFI=5

(1)求拋物線的方程;

(2)過焦點F的直線/與拋物線交于A,B兩點，試問在拋物線M的準線上是否存在一點Q,使得AQAB為等

邊三角形，,若存在求出Q點的坐標，若不存在請說明理由.

10、已知拋物線。的頂點是橢圓工+工=1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合.

43

(1)求拋物線。的方程；

(2)已知動直線I過點P(4,0),交拋物線D于A、B兩點.

(i)若直線/的斜率為1,求AB的長；

(外是否存在垂直于x軸的直線機被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出團的方

程；如果不存在，說明理由.

11、如圖所示，F(xiàn)是拋物線y2=2px(p>0)的焦點，點A(4,2)為拋物線內(nèi)…定點，點P為拋物線上一動點，

|PA|+|PF|的最小值為8.

(1)求拋物線方程；

(2)若。為坐標原點，問是否存在定點M,使過點M的動直線與拋物線交于8,C兩點，且以BC為直徑的

圓恰過坐標原點，若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由.

12、在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C:22的離心率2，且橢圓C上的點到點QO2)

—7+F=1(6F>Z?>0)e

ab3

的距離的最大值為3.

(1)求橢圓C的方程

(2)在橢圓C上，是否存在點使得直線/:〃吠+〃丫=1與圓。:/+)/=1相交于不同的兩點4、8,

且A0A5的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的AO43的面積；若不存在，請說明理由.

13、已知橢圓G：，+y2=i,橢圓G以G的長軸為短軸，且與G有相同的離心率?

(I)求橢圓G的方程;

(II)設0為坐標原點，點A,B分別在橢圓G和G上，OB=20A,求直線A3的方程.

14、在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線G：2x2-y2=l.

（1）過G的左頂點引G的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及x軸圍成的三角形的面積；

（2）設斜率為1的直線/交G于2、。兩點，若/與圓》2+丁=1相切，求證：。尸，。。；

（3）設橢圓。2：4/+丁=1,若出、N分別是G、G上的動點，且。加上ON，求證：。到直線MN

的距離是定值。

15、如圖，橢圓■+方=1（。>%>0）的左焦點為居，右焦點為工，離心率e=；。過6的直線交橢圓

于A,3兩點，且的周長為8。

（I）求橢圓E的方程。

（II）設動直線/:y=H+m與橢圓E有且只有一個公共點尸，且與直線x=4相較于點Q。試探究：在坐

標平面內(nèi)是否存在定點M,使得以P。為直徑的圓恒過點M?若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明

理由。

16、已知點R(-3,0),點P在y軸上，點。在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足

2~PM+3MQ=0,RPPM=0.

(I)當點P在)?軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；

(II)設A(X|,y)、8(/,為)為軌跡。上兩點，且玉＞1,”＞0,N(l,0),求實數(shù)4,使而=%而，且

通=3.

22&

17、已知橢圓二+==13＞匕＞0)經(jīng)過點M(士,后)，它的焦距為2,它的左、右頂點分別為A，A,,P\

a~b2

是該橢圓上的?個動點(非頂點)，點22是點片關于X軸的對稱點，直線4片與&尸2相交于點E.

(I)求該橢圓的標準方程.(II)求點E的軌跡方程.

18、已知圓C的方程為/+(y—2/=1,定直線/的方程為y=—l.動圓C與圓G外切，且與直線/相切.

.(I)求動圓圓心C的軌跡M的方程；

(II)斜率為k的直線1與軌跡M相切于第一象限的點P,過點P作直線1的垂線恰好經(jīng)過點A(0,6),

并交軌跡M于異于點P的點Q,記S為AP0Q(0為坐標原點)的面積，求S的值.

22/y

19、已知橢圓E：與+4=1(a>6>o)的離心率片叱，且經(jīng)過點(幾，1),。為坐標原點。

a2b-2

(I)求橢圓￡的標準方程；

(n)圓〃是以橢圓E的長軸為直徑的圓，"是直線

下-4在X軸上方的一點，過材作圓。的兩條切線，

切點分別為只Q,當/州份60°時，求直線掰的方程.

20、已知橢圓C：J+當=1的短軸長等于焦距，橢圓C上的點到右焦點E的最短距離為近-1.

ab

(I)求橢圓C的方程；

(II)過點E(2,0)且斜率為女(女>0)的直線/與C交于M、N兩點，尸是點M關于x軸的對稱點,

證明：N、F、P三點共線.

答案

v2

1、如圖，在平面直角坐標系xOy中。橢圓。：］+產(chǎn)=1的右焦點為/，右準線為/。

(1)求到點F和直線/的距離相等的點G的軌跡方程。

(2)過點F作直線交橢圓C于點A,3,又直線0A交/于點T,若的=2礪，求線段A8的長；

(3)已知點M的坐標為(x0,%),%*0,直線OM交直線當+%y=l于點N,且和橢圓C的一個交點為

,.—2，.——

點P,是否存在實數(shù)4,使得OP=/lOM-ON?,若存在，求出實數(shù)4；若不存在，請說明理由。

解：(1)由橢圓方程為；■+:/=1

可得a?=2,b2=\,c=1.

F(l,0),l:x=2.

設G(x,y),則由題意可知J(x—l)2+y2Tx—21,

化簡得點G的軌跡方程為/=-2x+3.......4分

(2)由題意可知冗｛二%尸=c=l

故將無A=1代入耳+y=1,

,,V2L

可得I為1=5，從而AB=母.8分

(3)假設存在實數(shù)力滿足題意.

由已知得。M：y=&x①

%

等+%y=i②

2

X1

橢圓G萬+》2』③

2玉),2yo

由①②解得X”

222

x0+2y0'V+2y0

2x；,

由①③解得xj=12分

年+2%2'年+2%2-

2x；2y22(vy2)

OP-x2+yJ=0+0

Pxo+2y()2k+2yJ年+2姬

,2年一2)，1_2(1+%?

OMON=xx+yy

oNoNx222

<)+2%改；+2%2x0+2%2

故可得2=1滿足題意.16分

22

rv

2、如圖,已知橢圓的長軸為.，過點B的直線/與％軸垂直.直線

(2-k)x-(\+2k)y+(1+2k)=OUGR)所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率e=1.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設P是橢圓上異于4、B的任意一點，P”_Lx軸，H為垂足，延長”尸到點。使得“尸=尸0,連結A。

延長交直線/于點M,N為MB的中點.試判斷直線QN與以4B為直徑的圓。的位置關系.

（1）將（2-左）》一（1+2左?+（1+2左）=0整理得（一8—23；+2）左+28一丁+1=0

\~x—2y+2=0

解方程組'得直線所經(jīng)過的定點（0,1）,所以8=1.

\2x-y+}=0

由離心率6=且得a=2.

2

所以橢圓的標準方程為三+/=1.

（2）設P（x。,%）,則當+城=1.???HP=PQ,.?.20=&+（2城）=2

點在以。為圓心，2為半徑的的圓上.即。點在以AB為直徑的圓。上.……6分

又A（—2,0）,...直線4。的方程為y=0"（x+2）.

%+2

令x=2,得又B（2,0）,N為M8的中點，；.N（2.&-1.……8分

IXo+2）Vx0+2）

.?.麗=(%,2%),而=

'。。欣=與（/-2）+2=第=%（%-2）+署片與優(yōu)-2）+[+；）

=%（%-2）+%（2-%）=0..?.而,而.直線QV與圓。相切.

3、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為三，且經(jīng)過點M（4,l）,直線/:y=x+加交橢圓于

不同的兩點A,B.

（I）求橢圓的方程；

（II）求加的取值范圍；

（III）若直線I不過點M,試問kMA+kMB是否為定值？并說明理由。

（I）依題意設橢圓方程為：

a2a2

2222

東+樂=1,把點（4,1）代入，得/=5.1橢圓方程為|^+q>=l.

(II)把y=x+m代入橢圓方程得：5x?+8/nx+4"/-20=0,由△>€),可得—5<〃z<5.

（HI）設4（不,）,8（%,%），A,B與M不重合,%+々=-■^■，》也=4m$

_%一1*%-1_(%一1)，(》2-4)+(%-1>(國-4)

-I——

玉一4X2-4(X1-4)-(X2-4)

+“2—1),(4-4)+(x,+加一1)?(百一4)2XJX9+—5)(X]+x,)—8(〃？-1)

=0,

(X]-4>(%-4)

(X,-4).(X2-4)

**,后MA+%MB為定值0?

4、已知橢圓的焦點6（1,0）,鳥（一1,0）,過作垂直于y軸的直線被橢圓所截線段長為灰,過片作直

線/與橢圓交于48兩點.

（I）求橢圓的標準方程；

（II）是否存在實數(shù)，使西+麗=，西，若存在，求f的值和直線/的方程；若不存在，說明理由.

（1）設橢圓方程為與+==1,由題意點（如一］在橢圓上，a2=h2+l

a2b2（22）

61Y2

所以正而加=1,解得了+/=1

（II）當直線斜率不存在時，易求A（1理@］,所以西=（1,叵。），麗=（1,一亞里），麗=（1,一工）

I2JI2J222

由西+方=，所得，=2,直線/的方程為x=l.

當直線斜率存在時，所以而=（占，必_；）,而所=（1廠3）

由西+而=/所得

%)+x=r

2即|

11t

y-------Fy---=--->1+為=1

12-222

因為,+為=人（%+々一2）,所以上=一;此時，直線/的方程為y=—g（x—l）

5、設拋物線Cl：x2=4y的焦點為F,曲線C2與C1關于原點對稱.

（I）求曲線C2的方程；

（IJ）曲線C2上是否存在一點P（異于原點），過點P作C1的兩條切線PA,PB,切點A,B,滿足|AB|是

IFA|與|FB|的等差中項？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

（I）解；因為曲線q與G關于原點對稱，又G的方程V=4y,所以G方程為K=-4y.

（H）解：設「（%,一?），A（X］，M）,B（x2,y2）,xtx2.y=；/的導數(shù)為y'=gx,

則切線PA的方程y—必=gx|（x_xj,又得,=；七了一%，

—

因點P在切線P4上，故—=5%］豌）—M.同片里，—x0~=——y,.

2

所以直線—：x02=g-y經(jīng)過A,8兩點，即直線A8方程為一合=J入胚一y,即y=；+；x0,

12

代入x=4y得x-2XQX—x；=0,則玉+x?=2%0,x,x2=r；,

所以IAB1=Jl?5（芯+馬）2—4占々=J（8+2x；）.x；,由拋物線定義得IE41=弘+1,1月S1=為+1?

110

所以IFAI+I/81=（），］+%）+2=5%（再+々）+2*+2，由題設知，

3

\FA\+\FB\=2\AB\,BP（|x^+2）2=4x^（8+2x^）,

相殂232百-52113-8百

解得/=---萬一，從而方=---^>2=一萬—?

左右占?電斯-及DS加**2/3（8」—13）13-873.?.2、3（8鳳13）13-8月、

綜上，存在點P?兩足題思，點P的坐標為（=---------------,-----------）或（——------------,---------）.

23232323

3

6、已知，橢圓C過點A。,］）,兩個焦點為（-1,0）,（1,0）?

（1）求橢圓C的方程；

（2）E、F是橢圓C上的兩個動點，如.果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為

定值，.并求出這個定值。

1QQ

解：（I）由題意，c=l,可設橢圓方程為‘■丁+心v=l,解得/=3,b2=--（舍去）

l+h24b24

所以橢圓方程為二+二=1。..........4分

43

3x1x1

（II）設直線AE方程為：y=Mx—1）+二，代入一+—=1得

243

（3+4二）*2+4乂3—2A）x+4（3—幻2-12=0

設七就小丫-）,夕3-,"）,因為點A（l,1）在橢圓上，所以

3,

4（萬一女）“一123

x,.=----------------.y=kx+--k

F3+叱加FFE2

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以一K代K,可得

4（|+62—123

X"3+4-+”

所以直線EF的斜率心="一九=-"⑸f〃=￡

xF-xExF-xE2

即直線EF的斜率為定值，其值為工。

2

T2v2

7、已知雙曲線E：±-L=l的左焦點為尸，左準線/與x軸的交點是圓C的圓心，圓。恰好經(jīng)過坐標原點

2412

0,設G是圓C上任意一點.

(I)求圓C的方程；

(Il)若直線bG與直線/交于點T,且G為線段尸T的中點，求直線bG被圓C所截得的弦長;

(III)在平面上是否存在定點P,使得對圓。上任意的點G有/J=,？若存在，求出點尸的坐標；若不存

\GP\2

在，請說明理由.

解：(I)由雙曲線區(qū)三一二=1,得/：x=-4,C(-4,0),產(chǎn)(—6,0).……2分

2412

又圓，過原點，所以圓，的方程為(x+4)2+y2=i6.................4分

(II)由題意，設G(—5,y。)，代入(X+4)2+V=16,得加=±岳，.......5分

所以EG的斜率為k=±JF,bG的方程為》=士岳(x+6)............6分

所以C(—4,0)到/G的距離為4=巫，.............................7分

2

直線FG被圓C截得的弦長為2』6-(號＞=7......................9分

(ID)設/(S,t),G(X0,y。)，則由"1j_,得J(x()+6)2+y：1

222

\GP\\l(x0-s)+(y0-t)2

整理得3(x02+yo2)+(48+2s)xo+2tyo+144-s2-t2=0.①............11分

22

又G(x0,yo)在圓C:(x+4)2+y』6上，所以xj)+yo+8xo=O②

②代入①，得(2s+24)xo+2tyo+144-s2-t2=0..............................13分

2s+24=0

又由G(xo,yo)為圓C上一任意一點可知，,2/=o....................14分

144-5-2=0

解得：s=-12,t=0.....................................................15分

所以在平面上存在一定點P,其坐標為(-12,0).

Xy2

8、橢圓C：—+=1(。＞〃＞0)的左、右焦點分別為片、三，右頂點為A，P為橢圓C上任意一點.已

ab1

知所?成的最大值為3,最小值為2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/：y=履+加與橢圓C相交于M、N兩點(M、N不是左右頂點)，且以為直徑的

圓過點A.求證：直線/過定點，并求出該定點的坐標.

解析:(1)?.?產(chǎn)是橢圓上任一點，.?.1尸耳1+1/＞每1=24且/一(:3尸耳144+。,

y=西?玩T西I\PF21cosZF,PF2

222

=-[\PF]I+1PF21-4c]

222

=|[lPF]I+(1267-1^I)-4c]

=(lPF,\-a)2+a2-lc2..............2分

當IP耳l=a時，y有最小值a2-2c\當1尸工l=a-c或a+c時，，y有最大值小一c?.

a2—c2—3[a2—4,,,,

\,b-=?2-2=3.

[a2-2c2=2[c2=1c

22

橢圓方程為二+乙=1。................4分

43

(2)設M(為，M),N(x2,y2),將y=H+m代入橢圓方程得

(4k2+3)/+Skmx+4m2-12=0.

2

—8km4m-12八

x,+x,=—,x,x,=---...............6分

1-4/+3124公+3

,/=fcr,+m,y2=kx2+m,y2=k~xxx2+(km-2)(^+x2)+m~,

???MN為直徑的圓過點A.'.AM?AN=Q,/.Im2+16km+4k2=0,

2

:.m=——上或加=-2%都滿足△>0,..............9分

7

若加=-2左直線/恒過定點(2,0)不合題意舍去，

222

若m=一,左直線/：y=k(x-])恒過定點(于0)。

9、設拋物線M方程為y2=2px(p>0),其焦點為F,P(a,b)(aH0)為直線y=x與拋物線M的

一個交點，IPF1=5

(1)求拋物線的方程；

(2)過焦點F的直線/與拋物線交于A,B兩點，試問在拋物線M的準我上是否存在?點Q,使得AQAB為等

邊三角形，,若存在求出Q點的坐標，若不存在請說明理由.

解：⑴

y=xfx=2〃_Jx=0

<,=>\'或〈(舍去)

y-2px[y=2p[x=0

P(2p,2p)vlPF1=5/.2p+-^=5.-./?=2.?.拋物線的方程為：/=4x—5分

(2)若直線/的斜率不存在，則Q只可能為(-1,0),此時AQAB不是等邊三角形，舍去，一7分

若直線/的斜率存在，設直線/的方程為y=A(x-l)(攵。0),設直線/與拋物線的交點坐標為A(x”M)、B

(x2,y2)

y-k(x-l),,,,?4

=>k"x'-(2k~+4)x+k~=0,x.+x,=2+—r-

y2=4xk2

7o

設存在。(-l,m),AB的中點為"(1+%■1),設Q到直線/的距離為d由題意可知:

2

----m.

1=①

2k

—+2K

k2—10分

d^—\AB\=>與*^等⑶+總……②

2

2

由①可存：機=彳+/^八、、^\/n24、,,■>316(A~+1)~

4/4------③將③代入②得：(2女+-7+—)2=(上+1)--------4

kkk4k

化簡得：")4=12空

14分，/.m=±8A/2

422

/.e(-l,±8V2)為所求點----15分

10、已知拋物線。的頂點是橢圓二+匚=1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合.

43

(1)求拋物線。的方程；

(2)已知動直線I過點尸(4,0),交拋物線。于A、8兩點.

(i)若直線/的斜率為1,求A3的長；

(")是否存在垂直于x軸的直線機被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出用的方

程；如果不存在，說明理由.

解：(1)由題意，可設拋物線方程為儼=2px(p>0)...............1分

由a?—/=4—3=1,得c=1...............2分

.?.拋物線的焦點為(1,0),二2二？.........3分

拋物線D的方程為y2=4x...............4分

(2)設4(修，%)，8(%2，為)-........5分

(。直線/的方程為：y=x—4,..............6分

y=x-4,

聯(lián)立《)，整理得：/-12X+16=0..............7分

廠=4x

/.AB=++/)2-4X|-2=4A/10.................9分

(ii)設存在直線m:x=。滿足題意,則圓心M|乜,過M作直線x=。的垂線,垂足為E，設直線

I22)

團與圓M的一個交點為G.可得：........10分

|EG|2=\MG\2-\ME\2,........11分

即|￡G|2=\MAf-|ME|2=(*'一?+X---a

J2(X|-4『-(X|+4)2()2

--yi+-----------------+a[x]+4)-a

=X]—4x(+a(x]+4)—a2=(a-3)X[+4a-a2........13分

當。=3時，|EG「=3,此時直線用被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值2g.

........14分

因此存在直線加：x=3滿足題意........15分

11>如圖所示，F(xiàn)是拋物線y2=2px(p〉0)的焦點，點4(4,2)為拋物線內(nèi)?定點，點P為拋物線上一動點，

|PA|+|PE|的最小值為8.

(1)求拋物線方程；

(2)若。為坐標原點，問是否存在定點M,使過點M的動直線與拋物線交于8,C兩點，且以為直徑的

圓恰過坐標原點，若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由.

解：設拋物線的準線為/，過尸作于3,過A作40_1,于。,

(1)由拋物線定義知所=陽

=>|尸?+|PF|=|尸4|+|PB|>Uclz+cz4iPn-l--r-rZj>pn.\出口EB

1111111111(折線段大于垂線段)，當且僅

C

當A，P，C三點共線取等號.由題意知|AC|=8,即

4+"=8np-82_IA

2n拋物線的方程為：)’二母“5分

(2)假設存在點“，設過點”的直線方程為丁二日+沙，

顯然攵WO,b。。,設8(的，必)，C(x2,y2))由以8C為直徑的圓恰過坐標

原點有=°=>》環(huán)2=°①6分

把y=kx+b代人=16x得女，2+2(bk-S)x+b2=0

L+r_2(尿-8)

&+x2-----——

K

<

b2

X|X2=TT

由韋達定理I%②7分

2

乂yiJ2-(^i+b)(kx2+b)=kxlx2+bk(xl+x2)+b~③

16b

月力-~r~

②代人③得k④

16b/八,1/,

----F—=0=>Z?=-\6k

②④代人①得kk

二動直線方程為y=履一164=-16)必過定點(16,0)I。分

當ABC不存在時，直線X=16交拋物線于B(l6,-l6),C(l6,l6),仍然有08OC=0,

綜上：存在點M(16,0)滿足條件12分

注：若設直線BC的方程為x=my+b可避免討論.

12、在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：72的離心率/,且橢圓C上的點到點Q(0,2)

X-,K

/+官=1(。>6>0)

的距離的最大值為3.

(3)求橢圓C的方程

(4)在橢圓C上，是否存在點M使得直線/:?“x+〃y=1與圓。:/+;/=1相交于不同的兩點A、8,

且ACMB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的A0A8的面積；若不存在，請說明理山.

(1)由6=。得1=3/,橢圓方程為

橢圓上的點到點Q的距離d=商+㈠/=j3"3/+(y_2)2

=J-2y2—4y+4+3.2(~b<y<b)

當①一bW—l即Z?21，4nax=?+3七=3得匕=1

當②/>一1即1〈［dm”=：62+劭+4=3得匕=1(舍)b=l

2

橢圓方程為土+)，=1

3

(2)SMOB=^\OA\-|(?B|sinZAOB=|sinNAOB

當408=90。，取最大值1，點。到直線/距離>=/1=立

2府772

m2+n2=2X'/^—+n2=1解得：機2=2,〃：=！

322

所以點M的坐標為

A4O8的面積為工

2

13、已知橢圓G：1+>2=1,橢圓。2以G的長軸為短軸，且與G有相同的離心率-

（I）求橢圓G的方程;

（H）設0為坐標原點，點A,B分別在橢圓G和G上，。8=2。4,求直線AB的方程.

解（I）由已知可設橢圓Q的方程為J=1U>2）,

a4

其離心率為故返三3=則。=4,

2a2

故橢圓G的方程為冬+。=L

104

（n）解法一A,8兩點的坐標分別記為（孫，）A）,GTB,”）,

由西=2醇及（I）知，o.A,B三點共線且點A,8不在y軸上，

因此可設直線AB的方程為y=丘.

將y=丘代入（=1中，得（1+4萬）8=4,所以皿2=T-rni，

q1十

將，=任代入W+4=1中，得（4+/）"=］6,所以=7^.

1b44+F

又由國02審,得工『=41/,即74rn=TZ7i??

4十左1十伏

解得A=士］，故直線AB的方程為）=工或y=一工

解法二A,B兩點的坐標分別記為GA,yA）,（xB,y?）,

由國=26及（I）知，0,A,B三點共線且點A,B不在》軸上，

因此可設直線AB的方程為3=kx.

將y=丘代入§=】中，得（1+4"）1=4,所以工/=TT&II，

41+4A

由8=2前,得工/=］；:叢,城=］黑/.

2

將NJ?yo代人改+Y=1中，得=】，即4+/=1+4/,

1041+44

解得A=士1,故直線AB的方程為y=z或）=一工

14、在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線G：2x2-y2=1.

（1）過G的左頂點引G的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及x軸圍成的三角形的面積；

（2）設斜率為1的直線/交G于P、。兩點，若/與圓，+y2=1相切，求證：。?，。。；

（3）設橢圓。2：4/+y2=i,若M、N分別是G、。2上的動點，且。MJLON，求證：0到直線MN

的距離是定值。

【分析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸近線的交點，然后求出三角形的面積.

（2）設直線PQ的方程為丫=1^+卜通過直線PQ與已知圓相切，得到b2=2,通過求解K?詬=0.

證明PO_LOQ.

（3）當直線ON垂直x軸時，直接求出0到直線MN的距離為當直線ON不垂直x軸時，設直線ON的方

3

F1（y=^x

程為：y=kx,（顯然|k|>￥）,推出直線0M的方程為y=-9,利用《0.，求出

22

2比[4x+y=l

|CW|2=LUg,|。M2=上耳_,設0到直線MN的距離為d,通過（|OM|2+|ON|2

4+k22V-1

）d2=|OM|2|ON|2,求出d=g.推出0到直線MN的距離是定值.

【解答】X22歷

解：（1）雙曲線C.丁士=1左頂點A（-半，0）,

212

漸近線方程為：y=土必.

過A與漸近線丫=必平行的直線方程為y=p（x+孝），即丫=用工+1,

所以（,y—一L產(chǎn)，解得[4.

I尸必+i尸L

2

所以所求三角形的面積為S=；QA||y|=g.

2O

（2）設直線PQ的方程為y=kx+b,

因直線PQ與已知圓相切,1,

y=kx+b

即b2=2,由<

2x2-y2=i

得J-Zbx-b2-1=0,

肛+燈=2>

設P(xi,y])，Q(又2，y2)，貝人【

町町=7一乂

Xyiy2=(xi+b)(x2+b).

所以OP*OQ=x1X2+