2023高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題訓(xùn)練五：立體幾何

2023高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題訓(xùn)練（5）

立體幾何

★熱身訓(xùn)練

1.（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)（集團(tuán)）2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題）

如圖，棱長為4的正方體A8CO-ABCR，點(diǎn)A在平面a內(nèi)，平面ABCD與平面a所成的

二面角為30。，則頂點(diǎn)到平面a的距離的最大值是（）

2.（江蘇省常州高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）

（多選題）如圖，點(diǎn)。是正四面體P4BC底面ABC的中心，過點(diǎn)。且平行于平面A48的直

線分別交AC,BC于點(diǎn)、M,N,S是棱PC上的點(diǎn)，平面SMN與棱心的延長線相交于點(diǎn)

Q,與棱尸8的延長線相交于點(diǎn)R,則（）

A.若〃平面則4B〃RQ

B.存在點(diǎn)S與直線MN,使萬?（aC+QRjnO

C.存在點(diǎn)S與直線MN,使PC_L平面SR0

1113

D-網(wǎng)+網(wǎng)+網(wǎng)-網(wǎng)

3.（江蘇省蘇北四市（徐州、淮安、宿遷、連云港）2022-2023學(xué)年度高三年級(jí)第一次調(diào)研

測(cè)試數(shù)學(xué)試題）

如圖，在四棱錐S-A8CD中，側(cè)面S4O_L底面ABC。，SA±AD,且四邊形ABC。為

平行四邊形，AB=\,BC=2,NABC=?SA=3.

（1）求二面角S-CD-A的大?。?/p>

（2）點(diǎn)P在線段SO上且滿足寸=力而，試確定4的值，使得直線與面PCZ）所成角最大.

4.（江蘇省常州高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）

如圖，空間幾何體4萬-BCF中,四邊形ABCD是梯形，AB//CD,四邊形CDEF是矩形,

且平面ABCD1平面CDEF,ADJ.OC,A3=AE>==2,EE=4,M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn).

（1）試確定點(diǎn)M的位置，使AC〃平面并說明理由；（7分）

（2）在（1）的條件下，平面M3F將幾何體ADE-8CF分成兩部分，求空間幾何體防

與空間幾何體ADM-8b的體積的比值.（7分）

★高考引領(lǐng)

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷文科第19題

【試題】

小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)

封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底面48co

是邊長為8(單位：cm)的正方形，4EAB,

△FBC,AGCO,LHDA均為正三角形，且它

們所在的平面都與平面ABCD垂直?

(1)證明：EF〃平面4BCD；

(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的

厚度).

【試題分析】

考查目標(biāo)試題的情境源于生活中的求喜糖包裝盒容積的問題，依

據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，將其設(shè)計(jì)為求“不規(guī)則”幾何體的體積計(jì)算問題.試

題考查棱錐、直四棱柱等空間幾何體的基本概念，考查不規(guī)則幾何體的

割補(bǔ)方法，考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法.試題重點(diǎn)考查考生的空間想象能力、邏輯推理

能力和運(yùn)算求解能力，以及應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

解題思路求解不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，如果幾何體是組合體,一

般將其分解為若干個(gè)“球、柱、錐、臺(tái)”的體積的和或差,從而將不規(guī)

則幾何體轉(zhuǎn)化為常見的簡單幾何體的形式，再運(yùn)用常見幾何體的體積公

式就能求出結(jié)果.

(1)設(shè)48,8c的中點(diǎn)分別為￡7,F',可得￡￡'1平面48C0,FFU

平面ABC。且從而尸為矩形，所以EF〃E'F,因此

￡F〃平面48s

(2)思路1點(diǎn)、E,F,G,，到平面ABC。的距離都為44，且平面

EFC//〃平面4BCD故該包裝盒可由底面邊長為8,高為4&的正四棱柱

4BCD-4.B.C.D,截去四個(gè)體積相等的三棱錐4B-B.EF,

C-C.FG,O-QCH得到，且E,F,G,〃分別為正四棱柱上底面各棱的

中點(diǎn).

思路2設(shè)48,BC,CD,%的中點(diǎn)分別為尸，G',H二效

E,F,G,，到平面48co的距離都為4&,且平面￡尸6,〃平面48GX

故該包裝盒可由底面邊長為4&,高為4廳的正四棱柱

和四個(gè)體積相等的四棱錐4-B-EFF'E',C-FGG'F',D-

GH/TC組合得到.

試題亮點(diǎn)試題落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，從引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全

面發(fā)展的角度，以勞動(dòng)實(shí)踐中的實(shí)際問題出發(fā)，以考生熟悉的正四棱柱

和棱錐的組合體為載體，設(shè)計(jì)了空間直線與平面的位置關(guān)系和平面與平

面的位置關(guān)系的證明問題及計(jì)算問題.考生對(duì)試題中的空間圖形會(huì)有似

曾相識(shí)的感覺，貼近廣大考生的學(xué)習(xí)實(shí)際.試題給出的信息量是多樣的，

給不同基礎(chǔ)的考生提供了想象的空間和多維度的思維平臺(tái)，同時(shí)為考生

分析問題和解決問題提供了發(fā)揮能力水平的空間.試題在全面考杳考生

對(duì)立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)理解與掌握的同時(shí)，著重考查了考生的化歸與轉(zhuǎn)化

思想.試題重基礎(chǔ)、重應(yīng)用、重能力，體現(xiàn)出較好的區(qū)分度和選拔功能，

對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的引導(dǎo)作用和很好的指導(dǎo)意義.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科第18題

【試題】

在四棱錐中。F8C。，H〃底面48C。，CD//AB,AD=l）（：=CB=\

48=2,DP=6

（1）證明：BD1PA；

（2）求PD與平面P48所成的角的正弦值?

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以底面為等腰梯形的四棱錐為載體，通過確定兩直

線的位置關(guān)系和計(jì)算立線與平面所成角的正弦值，號(hào)代號(hào)生的空間想象

能力、邏輯推理能力,運(yùn)算求解能力，以及綜合應(yīng)用知識(shí)分析問題解決

問題的能力.試題第（I）問難度不大，考生具備一定的空間想象能力和

邏輯推理能力即可得證.證明的關(guān)悔是發(fā)現(xiàn)△48〃是在向三角形試題

第（2）問設(shè)計(jì)為求直線與平面所成角的正弦值該問題的求解方法基礎(chǔ)

且多樣，既可以通過向量法求解，也可以通過綜合法求解，為不同思維

水平的考生提供了充分展示的空間?

解題思路（1）根據(jù)已知條件可得BD'PD注意到四邊形48co是

等腰梯形，容易得到乙。AB=60。.利用余弦定理和勾股定理，發(fā)現(xiàn)

△是直角三角形，從而得到由此可得80_L平面以0,于

是BOJ.PA.

（2）思路］用向量法求解.由題設(shè)及第（1）問得直線以，0兄0尸

兩兩垂直，因此自然以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以涼的方向?yàn)?軸正方向，建

立空間直角坐標(biāo)系。-8/，于是。P=（o,o,8）,運(yùn)用向量法求PO與

平面PAB所成角的正弦值，只需要求出平面PAB的一個(gè)法向量即可?

思路2用綜合法求解.求與平面P4B所成角的正弦值，關(guān)鍵是

求出O到平面PAB的距離.由題設(shè)及第（1）問可得三棱錐48°的體

積為g,利用等體積法，問題轉(zhuǎn)化為求APAB的面積?

思路3用綜合法求解.求PD與平面P48所成的角的正弦值，只需

找出過。點(diǎn)且與平面P4B垂直的直線即可?作0E_L48,垂足為E,連

接PE,f^DFlAE,垂足為凡得到。尸_L平面尸4從貝吐0尸產(chǎn)即為尸。

與平面PAB所成的角.

試題亮點(diǎn)試題以底面為等腰梯形的四棱錐為載體，通過四棱錐的

各頂點(diǎn)設(shè)計(jì)空間兩條直線之間位置關(guān)系的證明問題和直線與平面所成角

的計(jì)算問題.試題簡潔清晰，解題思路多樣，給不同基礎(chǔ)的考生提供了

廣闊的想象空間和分析問題解決問題的多維度平臺(tái).試題在全面考查立

體幾何基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，著重考查了考生對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的理解

與掌握?試題準(zhǔn)確把握教材要求，將向量運(yùn)算以及直線與平面所成角的

構(gòu)建等知識(shí)進(jìn)行了很好的融合，使考生的空間想象能力、邏輯推理能力

得到了有效考查.試題重基礎(chǔ)、重能力，符合廣大考生的學(xué)習(xí)實(shí)際.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷文科第12題

【試題】

已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。

的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為

【試題分析】

考查目標(biāo)球與四棱錐是學(xué)生比較熟悉的幾何體，試題巧妙地將兩

者結(jié)合在一起，考查球和四棱錐的基本概念、四棱錐體積的計(jì)算等基礎(chǔ)

知識(shí).試題的解決，首先要求考生具有較強(qiáng)的空間想象能力，在此基礎(chǔ)

上,將四棱錐的體積表示為高的函數(shù).解題的關(guān)鍵在于，考生能想到四

棱錐的體積最大時(shí)的棱錐一定是正四棱錐，這就對(duì)考生的化歸與轉(zhuǎn)化、

邏輯推理等方面的能力提出了較高的要求.試題有效地考查考生的理性

思維、數(shù)學(xué)探索等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，考查考生的空間想象、運(yùn)算求解、邏

輯思維等方面的關(guān)鍵能力.考生在得到了正四棱錐體積的表達(dá)式后，可

利用導(dǎo)數(shù)得到結(jié)果.

解題思路

思路1四棱錐底面與球面所截得的小圓的圓心記為其半徑記

為r,球心0到四棱錐底面的距離記為歸則

由于四棱錐底面是圓01內(nèi)接四邊形，因此若給定。1的半徑為r,則

底面為正方形時(shí)其面積最大，最大值為2尸，此時(shí)四棱錐的體積為

1.2

V(4)=§?2/?h=1(l-h2)h.

由于當(dāng)時(shí)，r(/i)>o；當(dāng)時(shí)，

r(/<)<o,所以當(dāng)力=與時(shí).義&)取得最大值，故當(dāng)該四棱錐的體積達(dá)

到最大時(shí),其高為*即正確選項(xiàng)為C.

也可以利用均值不等式得到結(jié)論：

2(1-盾%2=(>盾(1-1),2叼If士2]=仔)，

當(dāng)且僅當(dāng)好=；時(shí)，等號(hào)成立，故人=勺時(shí)，V5)取得最大值.

思路2在給定小圓。I的半徑r時(shí)，當(dāng)四棱錐的底面為正方形時(shí),

其面積達(dá)到最大，最大值為2」,此時(shí)四棱錐的體積為

V(/i)=-y-2r2?h=-j-r2J\-r2=-j\/r4-r6.

令則/'(r)=2/(2-3J),易得"當(dāng)時(shí)，/(r)取得最大

值，此時(shí)&=g,故當(dāng)此四棱錐的體積達(dá)到最大時(shí)，其高為g,即正確

JJ

選項(xiàng)為C.

試題靈點(diǎn)試題考杳的是球和四棱錐方面的基礎(chǔ)知識(shí)，題目設(shè)計(jì)簡

潔,可以有效考查考生諸多方面的學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，具有一定的創(chuàng)

新性.

(1)試題設(shè)計(jì)的情境是考生熟悉的，問題設(shè)計(jì)自然、合理，是在實(shí)

際應(yīng)用中考生常遇到的問題.這一方面體現(xiàn)「數(shù)學(xué)之美:具有較好的關(guān)

育價(jià)值；另一方向體現(xiàn)r數(shù)學(xué)之用，有效地號(hào)看了考生的數(shù)學(xué)學(xué)科素.養(yǎng)

和關(guān)鍵能力.試題對(duì)高號(hào)在加強(qiáng)教號(hào)銜接、體現(xiàn)德智體美勞全面發(fā)雇W

方面進(jìn)行了有益的之試.T

(2)試題探究的問題是四棱錐的體枳何時(shí)達(dá)到最大求幾何體的體

積及討論體積的最大值是數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的問題.但試題要求考生先要

將求四棱錐體積的最大值問題轉(zhuǎn)化為求正四棱錐體積的最大值問題，這

就要求考生能分析、提煉及轉(zhuǎn)化問題，并善于尋找合理的解題思路,上

述解題過程對(duì)考生的邏輯推理能力提出了較高要求.試題具有一定的創(chuàng)

新性和開放性，達(dá)到了通過增加思維強(qiáng)度來選拔拔尖創(chuàng)新人才的目的?

(3)試題的解決需要用到導(dǎo)數(shù)或不等式等多方面的知識(shí)，但問題解

決過程中所用知識(shí)和方法又很基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用

性、創(chuàng)新性的考查要求.試題是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模鉀Q方法是靈活的，既體現(xiàn)了

高考的選拔功能，又能夠很好地引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)改革，真正實(shí)現(xiàn)了

高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能?

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷文科第18題

【試題】如圖，四面體48co中，401

CD.AD=CD,LADB=乙BDC,E為AC的

中點(diǎn).

(1)證明：平面平面

(2)設(shè).48=80=2,44c8=60。，點(diǎn)/在

BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求三棱錐尸-46C的體積.

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以考生熟悉的四面體為載體，考查空間平面與平面

的位置關(guān)系、三棱錐的體積等立體幾何的基本知識(shí)和基本思想方法.試

題重點(diǎn)考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力以及綜

合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力.

解題思路（1）證明兩個(gè)平面垂直的關(guān)鍵是證明一個(gè)平面中的一條

直線垂直于另一個(gè)平面.觀察試題所給的圖形發(fā)現(xiàn)，可以嘗試證明4CJ.

平面BED或證明8EJ.平面4CD由AD=CD和E為AC的中點(diǎn)可得OEJ.

.4C,從而可以嘗試證明4cl平面由此發(fā)現(xiàn)，僅需繼續(xù)證明8￡_L

AC,其等價(jià)于8c=助.此時(shí)利用已知條件容易得到結(jié)論.

（2）第（2）問的解題難點(diǎn)在于確定動(dòng)點(diǎn)尸的位置，使得△4FC的面

積最小.在△4/C中，只有邊4。是固定的，所以可以考慮AC邊上高的

最小值.由兩個(gè)途徑可以得到4。邊上的高為廣￡一是由乙408=

乙BDC,AD=CD,DF=DF,得△尸因此夕4=FC,于是尸￡

?MC；二是由（1）知4C_L平面用；。，故尸￡_14c,即為△,泣尸C的高.

當(dāng)E廣，BD時(shí),的面積最小.此時(shí)產(chǎn)的位置確定,接下來只需在

靜態(tài)的圖形中計(jì)算△4/C的面積.要求三棱錐48C的體積，需要找

到一個(gè)底面以及相應(yīng)的高，有以下兩種思路.

思路I由（1）知〃:_L平面所以4C1R。，乂EFLBD,故

801平面AFC,從而出」平面外。故可以把求三棱鑲尸-48C的體積

轉(zhuǎn)化為求的面積和BF.

由題設(shè)及（1）得心8c=45=2,DE=jAC=l,DE2+BE2=DB2,所

以?！阓LBE,從而可得E/=日?又BF=jBE?-E戶=彳,故二棱錐尸一

ABC的體積

1173373

Xy=-?

思路2由題設(shè)及（1）得4C=8C=48=2,DE=^AC=\,DE2+BE2=

DB2,所以。E_L8E,從而發(fā)現(xiàn)。El平面48c.于是，平面0仍1平面

ABC.過點(diǎn)/作8E的垂線，垂足為K,則必是三棱錐的高?

故可以把求三棱錐F-ABC的體積轉(zhuǎn)化為求的面積和高FK.由

￡F=—,BF=^BE2-EF2=p可得FK="nZ_30￡=?.故三棱錐尸一

ABC的體積

11c/V3萬

^-4?r=jxyx2x/3x-=—.

試題亮點(diǎn)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，直線與平面所成

的角、平面與平面所成的二面角等內(nèi)容是立體幾何的重要內(nèi)容，也是高

中數(shù)學(xué)的必備知識(shí).試題以四面體為載體，利用棱的中點(diǎn)構(gòu)造新的平面，

這些都是考生熟悉的情境，很容易上手，也有利于考生正常發(fā)揮?試題

的第（1）問“平易近人”，沒有設(shè)置過多的思維障礙，基本功較好的考生

都能輕松解答.試題的第（2）問設(shè)計(jì)精巧又不落俗套，通過設(shè)置動(dòng)點(diǎn)尸，

讓圖形產(chǎn)生變化.條件/C的面積最小”設(shè)置新穎，讓考生感覺既

熟悉又陌生，該問和理科卷要求不同，體現(xiàn)了文理科的差異性?解題時(shí)

考生可通過建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的基本方法求得0尸與

平面48。所成角的正弦值.合理建立空間直角坐標(biāo)系，以及正確運(yùn)用空

間向量求二面角正弦值的思想方法是對(duì)第（2）問考查的基本要求?第（2）

問還給思維能力強(qiáng)的學(xué)生預(yù)留了快捷的解題通道，即完全可以不建立空

間直角坐標(biāo)系，通過直接作垂線輕松解決.試題讓不同水平的考生都能

在學(xué)有所得的同時(shí)，通過不同解法對(duì)其思維層次進(jìn)行有效的區(qū)分.

試題貼近廣大考生的學(xué)習(xí)實(shí)際，給不同基礎(chǔ)的考生提供了想象的空間

和多維度的解題思路，同時(shí)考查了考生分析問題和解決問題的能力.試題

在全面考查考生立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，著重考查了考生對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化

思想方法的理解與掌握，考查了思維的創(chuàng)新性.試題準(zhǔn)確把握課程標(biāo)準(zhǔn)，

把直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)較好地融入試題的

第（1）問和第（2）問中.試題具有較好的選拔功能，突出對(duì)考生綜合、靈活

運(yùn)用知識(shí)來解決問題的能力的考查，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的引導(dǎo)作用.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科第18題

【試題】

如圖.四面體.4BC。中，Al)1CD,AD=CD,

乙ADB=LBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面8EO_L平面力CO；

(2)設(shè).48=80=2,乙ACB=60。，前F在BD

上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求C/與平面480所成的角的正弦值.

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以考生熟悉的四面體為載體，考查與空間直線與平

面、平面與平面的位置關(guān)系有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法-試題重點(diǎn)考查

考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，以及綜合運(yùn)用所

學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力?

解題思路

(1)證明兩個(gè)平面垂直的關(guān)鍵是證明一個(gè)平面中的一條直線垂直于

另一個(gè)平面.觀察試題所給圖形發(fā)現(xiàn)，可以嘗試證明4c,平面或

證明BE_L平面4CD由4〃=CD和￡為4c的中點(diǎn)，?I^DE1AC,從而

可以嘗試證明4c_L平面由此發(fā)現(xiàn)僅需繼續(xù)證明8E14C,其等價(jià)

于BC=BA.此時(shí)利用已知條件可以得到結(jié)論.

(2)解答第(2)問的難點(diǎn)在于確定動(dòng)點(diǎn)/的位置，使得△49C的面

積最小?△4FC中只有邊4c是固定的，所以可以考慮邊4。上高的最小

值?有兩個(gè)途徑可以得到邊4C上的高為QK一是由乙4。8=

AD=CD,DF=DF,得△月%二因此尸4=".于是有PEJ./IC.

二是由(1)知4cd.平面BE。，故FE_LAC,即FE為尸C的高，從而當(dāng)

E尸，80時(shí)，△4FC的面積最小.此時(shí)產(chǎn)的位置確定，接下來只需在靜

態(tài)的圖形中進(jìn)行計(jì)算?要求C尸與平面460所成的角的正弦值，有以下

兩種思路.

.II.J.>*■(*<,

思路1采用建立空間直角坐標(biāo)系的方

法，求向量K與平面480的法向量的夾角.

而建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是找到垂直關(guān)

系，由(1)知，4。_1平面8￡〃，所以可以聯(lián)

想0E和8E是否垂直，利用題設(shè)中給出的條

件，很容易得到BE.于是以E為原點(diǎn),

成的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,則

4(1,0,0),B(0,3、0),C(-1,0,0),D(0,0,1),

個(gè)0,1子,麗=(0.-73,1),DA=(1,0,-1),科(1,勺,2).

可取”=(3,4,3)為平面48。的一個(gè)法向量，從而計(jì)算得CF與平面

ABD所成的角的正弦值為.

思路2不建立空間直角坐標(biāo)系，找到一個(gè)過點(diǎn)C且和平面A"。垂

直的平面，從而過點(diǎn)。作該平面和平面48。交線的垂線，可得CF與平

面A8O所成的角.由(1)知4CJ.平面所以AC_L8O,又打“8。

故BOJ.平面A/C,從而平面平面4尸。過點(diǎn)C作4P的垂線垂

足為K,則乙CFK是C尸與平面48。所成的角.

在中，小心*心2,從而很容易計(jì)算得“與平面

ABD所成的角的正弦值為〒,

試題亮點(diǎn)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，直線與平面所成

的角，平面與平面所成的二面角等都是立體幾何的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容?試題

以四面體為載體，利用中點(diǎn)構(gòu)造新的平面，這些都是考生熟悉的情境，

有利于考生發(fā)揮自己的水平.

試題第（1）問沒有設(shè)置過多的思維障礙，基本功較好的考生都能輕

松解答.試題第（2）問的設(shè)計(jì)精巧又不落俗套，通過設(shè)置動(dòng)點(diǎn)￡讓圖形

產(chǎn)生變化.其中，條件“△>1尸C的面積最小”設(shè)置新穎，讓考生產(chǎn)生既

熟悉又陌生的感覺.該問可通過建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的

方法求得CF與平面48。所成的角的正弦值.合理建立空間直角坐標(biāo)系，

以及正確運(yùn)用空間向量求二面角正弦值的思想方法是對(duì)第（2）問考查的

基本要求.第（2）問還為思維能力強(qiáng)的考生預(yù)留了快捷的解題通道.考

生完全可以不建立空間直角坐標(biāo)系，直接通過作垂線即可輕松求解.試

題在讓不同水平的考生都能學(xué)有所得的同時(shí)，通過建立空間直角坐標(biāo)和

不建立空間直角坐標(biāo)系的解法對(duì)考生的思維層次進(jìn)行了有效的區(qū)分.

試題貼近廣大考生的學(xué)習(xí)實(shí)際，和中學(xué)教學(xué)有很好的銜接，給不同

基礎(chǔ)的考生提供了想象的空間和多維度的思維平臺(tái).試題在全面考查立

體幾何基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，著重考查了考生對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的掌握，考

查了考生思維的創(chuàng)新性，以及綜合、靈活運(yùn)用知識(shí)來解決問題能力.試

題具有較好的選拔功能，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的引導(dǎo)作用和很好的指

導(dǎo)意義.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國I卷第8題

【試題】

已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上

若該球的體

枳為36,，且3W/W3Q,則該正四校錐體積的取值范圍是

"耳B.修耳」停與D.

[18,27]

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以考生熟悉的四棱錐和球?yàn)楸尘?，固定球的體積,

讓球的內(nèi)接正四棱錐的側(cè)棱長在一定范圍內(nèi)變動(dòng)，要求計(jì)算該正四棱錐

體積的取值范圍.試題考查四棱錐的基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生的空間想象、

邏輯推理、運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力，考查考生理性思維、數(shù)學(xué)探索等數(shù)學(xué)

學(xué)科素養(yǎng)，符合基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性的考查要求?

解題思路設(shè)正四棱錐P-48co的頂點(diǎn)在球。的球面上?由題意

可得球。的半徑為3,頂點(diǎn)P在底面48co上的投影是該正方形的中心，

設(shè)為￡在P,A,。所在的大圓中，有PA』E?2PO=6PE,故PE=

二從而

6

AE=』PR-陪—.

6

因此AB=氏AE燙T,四棱錐的

J'3俸

體積

1z廠(36-尸)

V=-XAB2XPE=~~.

3182

令/U)=/(36-x),xe[9,27],貝4丫=1^,f'(x)=3x(24-x).

當(dāng)9<x<24時(shí)，/'(工)>0,〃工)單調(diào)遞增；當(dāng)24〈工<27時(shí).f'(x)<0,

/(X)單調(diào)遞減.故/(x)m“=/(24)=24%12,/(*).；.=min1/(9),

/(27)|=/(9)=92X27.于是乙小^^二不，囁-=了?所以

[2彳7，6y41j.故正確選項(xiàng)為C.

試題亮點(diǎn)棱錐和球是中學(xué)課程的必修內(nèi)容?試題的正確運(yùn)算必須

基于空間想象，同時(shí)還必須依靠嚴(yán)密的邏輯推理，才能發(fā)現(xiàn)空間幾何體

中相關(guān)量之間的關(guān)系，進(jìn)而完成對(duì)問題的求解?試題在考查立體幾何基

礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的同時(shí)，側(cè)重考查考生的構(gòu)圖能力、空間想象能力、

邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.考生必須通過觀察、分析、想象、判斷、

計(jì)算等思維過程才能求解，這充分體現(xiàn)了考生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).試題設(shè)

計(jì)面向全體考生，突出對(duì)考生綜合、靈活運(yùn)用知識(shí)來解決問題能力的考

杳，具有較好的選拔功能，實(shí)現(xiàn)了“服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”這一高考核

心功能.

本題題源是教材習(xí)題，改編自2016年江蘇高考第17題。

教材習(xí)題求函數(shù)y=sin2Ocos。馬的最大值。

2

試題修改對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行處理，將符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖像語言。可以有兩種處理

方向：①處理成側(cè)棱長為1,高線長未知的正四棱錐的體積；②處理成母線長為

1,高線長未知的圓錐的體積。為使得處理的情況具有一般性，將“側(cè)棱長為1”、

“母線長為1”均改為“長為a”.

（1）按處理方向①處理，形成1稿.

1稿已知一正四棱錐P-A4G0的高為P01,側(cè)棱長為4（。＞0）,記

乙產(chǎn)a=。（0＜6＜今，求其體積V的最大值及此時(shí)段的長。

提示：V=ga，sin26cos。，POt=acos0

2稿現(xiàn)要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀為正四棱錐

P—ABCR,其側(cè)棱長為。（a＞0）,其底面正方形的中心為0廠下部分形狀為正四

棱柱ABC。-A冉GR,其底面正方形的中心為0,要求正四棱柱的高00是正四棱

錐的高PO1的我（攵＞0）倍，求倉庫容積V最大時(shí)PO1的長.

2稿分析：記幺股=。（0＜。＜|0,則短=弓+26八由2%05。；注意到

3

,當(dāng)且僅當(dāng)sin?。=2cos2。，即cos。=班時(shí)，等號(hào)成立；

3

3+3

V<-（-^+2k）a=2A：）4Z>POt=acos0=^-a-2016年江蘇商考第17

題為2稿的特例（高考題為a=6,%=4的情況，P0t=2-\/3,V<416V3）

（2）按處理方向②處理，形成問題變式.

變式現(xiàn)要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀是頂點(diǎn)為P,底面圓

圓心為。的圓錐，其母線長為a（a>0）,下部分形狀是底面圓面積與上部分圓錐

的底面圓面積相等的圓柱，其下底面圓圓心為0,要求圓柱的高。0是圓錐的高

P0、的k（左>0）倍，求倉庫容積丫最大時(shí)尸01的長.

注：該例為筆者文章“[2]例談高中數(shù)學(xué)教材試題的衍生——以江蘇高考數(shù)學(xué)試題

命制為例[J].文理導(dǎo)航（中旬）,2017,（02）”節(jié)選。也是《江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（劉

蔣巍著）、《中學(xué)學(xué)科學(xué)法指導(dǎo)》（劉蔣巍著）一書內(nèi)容。以此為背景命制的題有

很多，譬如：《拓展閱讀1:2019江蘇19題第3問及其新解法》

拓展閱讀1:《2019江蘇19題第3問及其新解法》

設(shè)函數(shù)/(x)=(x-a)(x-。)(x-c),a,Z?,ceR、/(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

4

若a=0,0<&,且/(x)的極大值為M,求證:MW班.

(3)因?yàn)閍=0,c=l,所以/(x)=x(x-0)(x-l)=x3-S+l)x2+"x,

f\x)=3x2-2(b+l)x+b.

因?yàn)?<〃Wl,所以。=4(b+l)2-⑵=儂-1)2+3>0,

則/'(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為王,馬(石<￡)?

22

?、A‘口b+l-yjb-b+lb+\+^b-b+\

由f\x)=0,得玉=---------------,尤2=----------------

列表如下：

X王（%,式2）X2(x2,+oo)

f'M+0-0+

/(x)/極大值s極小值/

所以/(x)的極大值M=

解法三：

TT

注意到：當(dāng)?！?0,耳)時(shí)，

cos2^sin40=--2cos20sin2^sin20

2

12cos2O+sin?O+sin?634

——(")=—，

2327

當(dāng)且僅當(dāng)sin26=2cos2。，即cos8=迫時(shí)，等號(hào)成立;

3

,c4

令x=cos-ee(0,1),則x(l-x)-?一；

27

因?yàn)?<bWl,所以王e(0,l).

,4

M=/(xl)=x1(/?-xl)(l-xl)<xl(l-xl)-<—.

★難點(diǎn)突破：立體幾何（1）

1.（湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）

圖1是一個(gè)不倒翁模型，它是一種古老的中國兒童玩具，最早記載出現(xiàn)于唐代，一經(jīng)觸動(dòng)就

搖擺然后恢復(fù)直立狀態(tài).如圖2,將圖1的模型抽象成一個(gè)正圓錐和半球的組合體.已知半球

的密度是圓錐的2倍，已知要讓半球質(zhì)量不小于圓錐質(zhì)量，才能使它在一定角度范圍內(nèi)“不

倒”，則圓錐的高和底面半徑之比至多為（）

C.2D.4

2.（全國大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）

正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為而，則其體積為（）

28

A.28B.一C.32D.24

3

3.（全國大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）

在三棱錐A-BC￡>中，已知平面BCD,BC±CD,若A3=2,BC=CD=4,則AC

與8。所成角的余弦值為（）

2A/2

A?半

53

4.（江蘇省南師附中、天一中學(xué)、海安中學(xué)、海門中學(xué)2022-2023學(xué)年高三

上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）

四棱錐尸一ABC。中，底面A8CZ）是邊長為2正的正方形，側(cè)面△以。為正三角形，則其外

接球體枳最小值為

A.28,兀B.寺兀C.8#兀D.4小兀

5.（江蘇省泰興中學(xué)、南菁高級(jí)中學(xué)、常州市第一中學(xué)三校聯(lián)考2022-2023

學(xué)年高三上學(xué)期第二次階段考試數(shù)學(xué)試題）

（多選題）棱長為1的正方體ABCo-dgGR內(nèi)部有一圓柱go2，此圓柱恰好以直線

AC,為軸，且圓柱上下底面分別與正方體中以A,G為公共點(diǎn)

的3個(gè)面都有一個(gè)公共點(diǎn)，以下命題正確的是（）

A.在正方體ABC。-A4GA內(nèi)作與圓柱底面平行的

截面，則截面的最大面積為巨

2

B.無論點(diǎn)。1在線段AG上如何移動(dòng)，都有4c

C.圓柱002的母線與正方體ABC。-所有的棱所

成的角都相等

D.圓柱外接球體積的最小值為27T

6

6.（江蘇省南師附中、天一中學(xué)、海安中學(xué)、海門中學(xué)2022-2023學(xué)年高三

上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）

（多選題）在棱長為1的正方體ABCC-A山ICQI，E為AQ的中點(diǎn)，則

TT

A.B,E±A|CB.BE與所成的角為與

C.四面體AiEBG的體積為tD.AC與平面ABCQi所成的角為看

7.（江蘇省蘇州中學(xué)、揚(yáng)州中學(xué)、鹽城中學(xué)、常州中學(xué)2022-2023學(xué)年高三

上學(xué)期12月G4聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）

（多選題）在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為正方形，B4_L底面ABCD,PA=AB=\.G

為PC的中點(diǎn)，M為平面PBD上一點(diǎn)下列說法正確的是

A.MG的最小值為半

B.若M4+MG=1,則點(diǎn)M的軌跡是橢圓

C.若加4=華，則點(diǎn)M的軌跡圍成圖形的面積為強(qiáng)

O12

D.存在點(diǎn)M,使得直線BM與CD所成角為30°

8.（江蘇省南通市如皋市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（三）數(shù)學(xué)試題）

（多選題）在正方體46。。一4耳￡。中，BP=ABC+/ABB],則下列說法正確的是

A.若2+〃=1,則APJ.82

B.若;1=〃，。為線段4g上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體A。。。的體積為定值

C.若丸=；,〃=1,R為線段的中點(diǎn)，則

D.若;12+〃2=1,則線段AP的長度為定值

9.（全國大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）

在棱長為2的正方體ABC。-A4G。中，N為BC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M在平面OCGR內(nèi)運(yùn)

動(dòng)時(shí)，有MN〃平面A8D,則線段MN的最小值為.

10.（江蘇省蘇州中學(xué)、揚(yáng)州中學(xué)、鹽城中學(xué)、常州中學(xué)2022-2023學(xué)年高

三上學(xué)期12月G4聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）

在軸截面為正方形ABCO的圓柱中，M,N分別為弧49,弧8c的中點(diǎn)，且在平面ABCO

的兩側(cè).

（1）求證：四邊形4NCM是矩形；

（2）求二面角B-MN-C的余弦值.

11.(江蘇省南師附中、天一中學(xué)、海安中學(xué)、海門中學(xué)2022-2023學(xué)年高

三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷)

如圖1,梯形48CD中，AD//BC,AB=BC=2,AO=4,將△沿對(duì)角線AC翻折,

使點(diǎn)B至點(diǎn)P,且使平面B4CJ_平面ACZ),如圖2.

(1)求證：PALCD；

(2)連接PQ,當(dāng)四面體雨CQ體積最大時(shí)，求二面角C一出一。的大小.

12.(湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)

如圖，在幾何體ABCDE中，底面ABC為以AC為斜邊的等腰直角三角形.已知平面ABC1

平面ACD,平面ABC±平面BCE,DE//平面ABC,ADIDE.

(1)證明：