非線性混沌電路實驗報告

./非線性電路混沌及其同步控制[摘要]本實驗通過測量非線性電阻的I-U特性曲線,了解非線性電阻特性,,從而搭建出典型的非線性電路——蔡氏振蕩電路,通過改變其狀態(tài)參數(shù),觀察到混沌的產(chǎn)生,周期運動,倍周期與分岔,點吸引子,雙吸引子,環(huán)吸引子,周期窗口的物理圖像,并研究其費根鮑姆常數(shù)。最后,實驗將兩個蔡氏電路通過一個單相耦合系統(tǒng)連接并最終研究其混沌同步現(xiàn)象。[關(guān)鍵詞]混沌現(xiàn)象有源非線性負阻蔡氏電路混沌同步費根鮑姆常數(shù)一．[引言]1963年,美國氣象學(xué)家洛倫茨在《確定論非周期流》一文中,給出了描述大氣湍流的洛倫茨方程,并提出了著名的"蝴蝶效應(yīng)",從而揭開了對非線性科學(xué)深入研究的序幕。非線性科學(xué)被譽為繼相對論和量子力學(xué)之后,20世界物理學(xué)的"第三次重大革命"。由非線性科學(xué)所引起的對確定論和隨機論、有序和無序、偶然性與必然性等范疇和概念的重新認識,形成了一種新的自然觀,將深刻的影響人類的思維方法,并涉及現(xiàn)代科學(xué)的邏輯體系的根本性問題。迄今為止,最豐富的混沌現(xiàn)象是非線性震蕩電路中觀察到的,這是因為電路可以精密元件控制,因此可以通過精確地改變實驗條件得到豐富的實驗結(jié)果,蔡氏電路是華裔科學(xué)家蔡少棠設(shè)計的能產(chǎn)生混沌的最簡單的電路,它是熟悉和理解非線性現(xiàn)象的經(jīng)典電路。本實驗的目的是學(xué)習(xí)有源非線性負阻元件的工作原理,借助蔡氏電路掌握非線性動力學(xué)系統(tǒng)運動的一般規(guī)律性,了解混沌同步和控制的基本概念。通過本實驗的學(xué)習(xí)擴展視野、活躍思維,以一種嶄新的科學(xué)世界觀來認識事物發(fā)展的一般規(guī)律。二．[實驗原理]1.有源非線性負阻一般的電阻器件是有線的正阻,即當(dāng)電阻兩端的電壓升高時,電阻內(nèi)的電流也會隨之增加,并且i-v呈線性變化,所謂正阻,即I-U是正相關(guān),i-v曲線的斜率為正。相對的有非線性的器件和負阻,有源非線性負阻表現(xiàn)在當(dāng)電阻兩端的電壓增大時,電流減小,并且不是線性變化。負阻只有在電路中有電流是才會產(chǎn)生,而正阻則不論有沒有電流流過總是存在的,從功率意義上說,正阻在電路中消耗功率,是耗能元件；而負阻不但不消耗功率,反而向外界輸出功率,是產(chǎn)能元件。一般實現(xiàn)負阻是用正阻和運算放大器構(gòu)成負阻抗變換器電路。因為放大運算器工作需要一定的工作電壓,因此這種富足成為有源負阻。本實驗才有如圖1所示的負阻抗變換器電路,有兩個運算放大器和六個配置電阻來實現(xiàn)。圖1有源非線性負阻內(nèi)部結(jié)構(gòu)用電路圖3以測試有源非線性負阻的i-v特性曲線,如圖4示為測試結(jié)果曲線,分為5段折現(xiàn)表明,加在非線性元件上的電壓與通過它的電流就行是相反的,只有中間的三段這線區(qū)可以產(chǎn)生負阻效應(yīng)。圖3非線性負阻伏安特性測試電路圖4有源非線性負阻伏安特性2.混沌混沌是一種運動狀態(tài),是確定性中出現(xiàn)的無規(guī)律性,其主要特征是動力學(xué)特性對初始條件的依賴性非常敏感。一個混沌系統(tǒng)即使確定的又是不可預(yù)測的,也不能分解為兩個子系統(tǒng),通向混沌有三條主要途徑：倍周期分岔道路：改變一些系統(tǒng)的參數(shù),是系統(tǒng)周期加倍,知道喪失周期性,進入混沌；陣發(fā)性道路：在非平衡的系統(tǒng)中,某些參數(shù)的變化達到某一臨界值是,系統(tǒng)會表現(xiàn)出在時間行為上時而周期,時而混沌的狀況,最終進入混沌；準周期道路：有茹厄勒-塔根斯提出,由于某些參數(shù)的變化使得系統(tǒng)有不同頻率的震蕩相互耦合時,會產(chǎn)生一些新的頻率,進而導(dǎo)致混沌。另外還有湍流道路,剪切流轉(zhuǎn)等產(chǎn)生混沌。3.吸引子在耗散的動力學(xué)系統(tǒng),長時間以后狀態(tài)總要演化到有限空間的狀態(tài)吸收集上,這樣的狀態(tài)叫吸引子,它是穩(wěn)定的不動點。吸引子根據(jù)形態(tài)分為：〔1點吸引子——系統(tǒng)的運動在相空間中的軌跡最終到達一點點,常見的有點吸引子、叫點吸引子。點吸引子代表定常的運動形態(tài)。〔2極限環(huán)吸引子——相空間任意點發(fā)出的軌道曲線一條閉合軌道,它代表周期運動狀態(tài),又叫做周期吸引子,對離散映射,若有一個不動點切實穩(wěn)定,那么就代表極限環(huán)吸引子。〔3不變環(huán)面吸引子：當(dāng)相空間的運動軌線都趨向換面,就是環(huán)面吸引子,它代表準周期的運動形態(tài)。〔4奇怪吸引子：軌道吸引到有限區(qū)域后,它好像在趨于某些不動點,但又跑了出來,它又好像在繞圈但又無規(guī)則,從而形成奇怪吸引子。它代表非周期性的運動形態(tài)。在離散映射上形成無數(shù)個有奇怪性質(zhì)的不動點。4.菲根鮑姆常數(shù)一個完全確定的系統(tǒng),即使非常簡單,由于系統(tǒng)內(nèi)部的非線性作用,同樣具有內(nèi)在的隨機性,可以產(chǎn)生隨機性的非周期運動。在許多非線性系統(tǒng)中,既有周期運動,又有混沌運動。菲根鮑姆發(fā)現(xiàn),一個動力學(xué)系統(tǒng)中分岔點處參量收斂服從普適規(guī)律。他指出,出現(xiàn)倍周期分岔預(yù)示著混沌的存在。=4.6992016091029。非線性參數(shù)可以表征一個非線性系統(tǒng)趨于混沌的速度,,越接近,系統(tǒng)進入混沌就越快。5.非線性電路本實驗以蔡氏電路為基本實驗裝置,蔡氏電路是能產(chǎn)生混沌的最簡單的非線性電路,如電路圖5所示,它由一個非線性電阻、電感L,可調(diào)電阻R以及電容器與,其中非線性電阻是核心元件,是系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件。圖5蔡氏震蕩電路由基爾霍夫結(jié)點電流定律可以得到蔡氏電路的非線性動力學(xué)方程：{方程組中、和任何一個量都可以描述系統(tǒng)狀態(tài),不存在解析解,只能數(shù)值求解。數(shù)值結(jié)果表明：對、和分別求解,可以得到系統(tǒng)相同的運動規(guī)律,即由周期震蕩通過倍周期分岔進出混沌,具體發(fā)展是：周期震蕩2周期周期陣發(fā)混沌單吸引子雙吸引子臨界狀態(tài)雙吸引子穩(wěn)定雙吸引子。方程組中、、和的取值對計算結(jié)果的影響極大,取值只要發(fā)生微小變化甚至量級,解就會從一個態(tài)變成另一個態(tài),甚至從穩(wěn)定態(tài),變成不穩(wěn)定態(tài),從周期狀態(tài)變成混沌狀態(tài)。6、混沌同步所謂混沌同步是指一個系統(tǒng)的混沌動力學(xué)軌道收斂于另一而系統(tǒng)的混沌動力學(xué)軌道,以至于兩個系統(tǒng)在以后的時間里始終保持步調(diào)的一致。方法是驅(qū)動響應(yīng)方法,它將系統(tǒng)分為兩個子系統(tǒng)：驅(qū)動子系統(tǒng)和響應(yīng)子系統(tǒng),然后對響應(yīng)子系統(tǒng)進行復(fù)制,并用驅(qū)動子系統(tǒng)產(chǎn)生的信號驅(qū)動該復(fù)制的系統(tǒng)?；煦缤降哪康氖窃谝粋€相同的具有任意初始條件的形影系統(tǒng)中,從一個驅(qū)動系統(tǒng)中恢復(fù)給定的混沌軌跡。用于保密通信是,在傳輸前用混沌來隱藏消息,并通過混沌同步來在接收端抽取該隱藏的消息。實驗中的混沌同步系統(tǒng)有兩個相同才是電路和一個單項耦合系統(tǒng)構(gòu)成的。相同的蔡氏電路之兩個電路的元件的參數(shù)盡可能的接近,從而確?；煦缤綄崿F(xiàn)的基本條件。單向耦合系統(tǒng)確保驅(qū)動系統(tǒng)能對響應(yīng)系統(tǒng)產(chǎn)生影響,響應(yīng)系統(tǒng)不能對驅(qū)動系統(tǒng)產(chǎn)生作用。如電路圖6所示：圖6混沌同步實驗電路驅(qū)動系統(tǒng)QUOTE兩端的電壓信號通過運算放大器等值的傳輸?shù)絈UOTE的左側(cè)。由于單向耦合系統(tǒng)的存在,驅(qū)動系統(tǒng)的運動狀態(tài)會影響響應(yīng)系統(tǒng),而響應(yīng)系統(tǒng)的運動狀態(tài)不能影響驅(qū)動系統(tǒng)。這樣,的左右兩端分別為驅(qū)動系統(tǒng)的信號和響應(yīng)系統(tǒng)的QUOTE信號。在驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)不同步時,這兩個信號時不等的,這時我們可以通過調(diào)節(jié)的大小來實現(xiàn)和上的電壓信號相等。于是,兩個系統(tǒng)變實現(xiàn)了同步。三．[實驗儀器]直流電源、信號源、數(shù)字存儲示波器、模擬示波器、臺式萬用表、電阻箱、電容箱、18.8mH電感元件、滑動變阻器、0.01uF、0.1uF電容元件、電阻元件。其中直流電源和信號源集成在一個控制箱中,控制箱面板如圖7所示。〔可以利用控制箱的接地端口使電路共地圖7控制箱面板示意圖四．[實驗內(nèi)容]1.搭建如圖3所示電路,測量非線性電阻I-U的特性曲線2.搭建如圖5所示電路,改變可變電阻R,觀測并記錄非線性電路的各種運動狀態(tài),同時測量非線性負阻兩端的電壓,3.利用電容箱改變QUOTE,選取兩個不同的R值,觀察當(dāng)QUOTE增加時非線性電路的運動狀態(tài),計算非線性參數(shù)。4.搭建如圖6所示電路,分別調(diào)節(jié)兩個蔡氏電路的蠶食,是兩個蔡氏電路處于大致相同的混沌狀態(tài)。然后采用擦、、單向耦合電路將兩個蔡氏電路連接起來,觀察同步現(xiàn)象。改變耦合電阻,觀察并記錄混沌同步和去同步狀態(tài)。五．[數(shù)據(jù)處理和實驗分析]1.非線性負阻圖8實驗測量伏安特性曲線如圖8,I-U特性曲線分為五個折線段,中間三段折點表明,加在此非線性元件上的電壓與通過它的電流極性是相反的,當(dāng)加在此元件上的電壓增加時,通過它的電流卻減小。因此只有中間的三段折線區(qū)域可以產(chǎn)生負阻效應(yīng)。非線性電路混沌運動的實驗結(jié)果表一不同狀態(tài)下非線性電阻兩端電壓李薩如圖形非線性負阻兩端電壓李薩如圖形非線性負阻兩端電壓1周期6.14V2周期6.05V4周期6.03V8周期6.02V陣發(fā)混沌6.01V3周期6.01V單吸引子6V以上數(shù)據(jù)表明,只要非線性電阻兩端的電壓發(fā)生微小變化,系統(tǒng)就可以迅速從穩(wěn)態(tài)變?yōu)榉欠€(wěn)定態(tài),發(fā)生巨大的變化,系統(tǒng)運動狀態(tài)對初值極為敏感。混沌運動產(chǎn)生的混沌現(xiàn)象見附圖〔1——〔8圖〔1一周期圖〔2二周期圖〔3三周期圖〔4四周期圖〔5八周期圖〔6單吸引子圖〔7雙吸引子圖〔8陣發(fā)混沌3.改變R值計算菲根鮑姆常數(shù)表二不同R下分岔點處C2取值〔uF〔uF〔uF0.00060.00290.00353.830.00160.00410.00474.17R1電阻狀態(tài)下比R2電阻狀態(tài)下,系統(tǒng)更接近于混沌狀態(tài),而<<,滿足越接近,系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)就越快。很明顯,遠小于,原因有以下幾點：①由于實驗儀器精度問題,實驗中只能測到的值,不能讓n趨近于∞；②電容只能精確到uF小數(shù)點后五位,致使產(chǎn)生誤差；③混沌電路對外界微小變化十分敏感,而實驗不能保證外界變化不會影響到電路,從而在測量數(shù)據(jù)時,混沌電路狀態(tài)已經(jīng)發(fā)生改變,致使誤差產(chǎn)生。4.混沌同步混沌同步、準同步、去同步見附圖〔9——〔11。圖〔9準同步圖〔10同步圖〔11去同步由圖像知同步圖像為一條直線,準同步圖像接近一條直線,而去同步