長(zhǎng)安大學(xué)《線性代數(shù)》歷年期末考試真題及答案解析

目錄長(zhǎng)安大學(xué)2018-2019第一學(xué)長(zhǎng)安大學(xué)2018-2019第一學(xué)期線性代數(shù)期末試題解析..........4長(zhǎng)安大學(xué)2019-2020第一學(xué)期線性代數(shù)期末試題.............12長(zhǎng)安大學(xué)2019-2020第一學(xué)期線性代數(shù)期末試題解析.........142019-2020第二學(xué)期線性代數(shù)期末試題A............21長(zhǎng)安大學(xué)2019-2020第二學(xué)期線性代數(shù)期末試題A解析.......23長(zhǎng)安大學(xué)2019-2020第二學(xué)期線性代數(shù)期末試題B............29長(zhǎng)安大學(xué)2019-2020第二學(xué)期線性代數(shù)期末試題B解析.......32長(zhǎng)安大學(xué)2020-2021第一學(xué)期線性代數(shù)期末試題.............412020-2021第一學(xué)期線性代數(shù)期末試題解析.........43期線性代數(shù)期末試題..............1長(zhǎng)安大學(xué)長(zhǎng)安大學(xué)長(zhǎng)安大學(xué)2018-2019第一學(xué)期線性代數(shù)期末試題123長(zhǎng)安大學(xué)2018-2019第一學(xué)期線性代數(shù)期末試題解析4567891011長(zhǎng)安大學(xué)2019-2020第一學(xué)期線性代數(shù)期末試題1213長(zhǎng)安大學(xué)2019-2020第一學(xué)期線性代數(shù)期末試題解析14151617181920長(zhǎng)安大學(xué)2019-2020第二學(xué)期線性代數(shù)期末試題2122長(zhǎng)安大學(xué)2019-2020第二學(xué)期線性代數(shù)期末試題解析232425262728長(zhǎng)安大學(xué)2019-2020第二學(xué)期線性代數(shù)期末試題一、選擇題。（每小題4分，共16分）1.對(duì)非齊次線性方程組和其導(dǎo)出的齊次線性方程組僅有零解，則無(wú)解，有（）若若若若有非零解，則有無(wú)窮多組解有無(wú)窮多組解，則有唯一解，則有非零解可能有無(wú)窮多組解2.設(shè)則（）。03.設(shè)向量組的秩為，則（）必定向量組中任意小于個(gè)向量的部分組無(wú)關(guān)向量組中任意個(gè)向量線性無(wú)關(guān)向量組中任意個(gè)向量組線性相關(guān)4.設(shè)均為階可逆矩陣，則（）29二、填空題（每小題4分，共16分）1.設(shè)齊次線性方程組為，若它有非零解，則應(yīng)滿足2.設(shè)矩陣是4階方陣，矩陣是5階方陣，且則=3.若4.設(shè)可由，線性表示，則=是矩陣的一個(gè)特征向量，則。三、計(jì)算或證明下列各題（每小題8分，共16分）1.計(jì)算行列式.2.設(shè)矩陣，求四、計(jì)算下列各題（每小題8分，共16分）1.寫成二次型對(duì)應(yīng)的矩陣，并判別其正定性。2.設(shè)，證明是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并把分別用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。30五、（本題12分）設(shè)有方程組，問(wèn)為何值時(shí)，方程組有唯一解？無(wú)解？有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)，求出通解。六、證明下列各題（每小題6分，共12分）1.設(shè)是階方陣，且與相似，若存在正整數(shù)，，證明.2.已知向量組線性無(wú)關(guān),證明向量組,,也線性無(wú)關(guān)。七、（本題12分）設(shè)二次型，利用正交變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出正交矩陣。31長(zhǎng)安大學(xué)2019-2020第二學(xué)期線性代數(shù)期末試題解析一、選擇題。（每小題4分，共16分）1.對(duì)非齊次線性方程組和其導(dǎo)出的齊次線性方程組，有（）若僅有零解，則無(wú)解若若若有非零解，則有無(wú)窮多組解有非零解有無(wú)窮多組解，則有唯一解，則可能有無(wú)窮多組解設(shè)該方程為元線性方程組解析：答案：僅有零解，但是不一定恒成立。這里一定要注意不一定為矩陣。如果為，但是矩陣，則該答案是成立的。答案：有非零解不一定恒成立，故答案錯(cuò)誤。有無(wú)窮多個(gè)解有非零解。故選擇答案有唯一解答案：以，因?yàn)?，所答案：，因?yàn)?，所以只有零解。故答案錯(cuò)誤2.設(shè)則（）。0解析：323.設(shè)向量組的秩為，則（）必定向量組中任意小于個(gè)向量的部分組無(wú)關(guān)向量組中任意個(gè)向量線性無(wú)關(guān)向量組中任意個(gè)向量組線性相關(guān)答案：答案：解析：向量組的秩為。故答案錯(cuò)誤答案：向量組的極大無(wú)關(guān)組中任意小于個(gè)向量的部分組無(wú)關(guān)。不是向量組中任意小于個(gè)向量的部分組無(wú)關(guān)。故答案錯(cuò)誤答案：答案是書本中極大無(wú)關(guān)組的定義。很顯然是對(duì)的。故選擇答案4.設(shè)均為階可逆矩陣，則（）答案：解析：二、填空題（每小題4分，共16分）331.設(shè)齊次線性方程組為，若它有非零解，則應(yīng)滿足解析：系數(shù)矩陣,若齊次方程組有非零解，則，即解得2.設(shè)矩陣是4階方陣，矩陣是5階方陣，且則=解析：因?yàn)樗?，矩陣?階方陣。3.若可由，線性表示，則=解析：因?yàn)榭捎删€性表示，所以存在不全為零的數(shù)使得即有解。因?yàn)榉匠探M有解，所以因此.344.設(shè)是矩陣的一個(gè)特征向量，則。解析：因?yàn)槭蔷仃嚨囊粋€(gè)特征向量，所以因此容易解得三、計(jì)算或證明下列各題（每小題8分，共16分）1.計(jì)算行列式.解析：2.設(shè)矩陣，求解析：因?yàn)?，所?5因此四、計(jì)算下列各題（每小題8分，共16分）1.寫成二次型對(duì)應(yīng)的矩陣，并判別其正定性。解析：法一：二次型的矩陣為一階順序主子式為二階順序主子式為三階順序主子式為根據(jù)矩陣各階順序主子式的判定方法，為正定二次型因此為負(fù)定二次型法二：二次型的矩陣為一階順序主子式為二階順序主子式為三階順序主子式為根據(jù)矩陣各階順序主子式的判定方法，為負(fù)定二次型。36法三：二次型的矩陣為，設(shè)矩陣的特征值為。用計(jì)算器可以算出來(lái)，因?yàn)榫仃嚨奶卣髦等繛樨?fù)數(shù)，因此為負(fù)定二次型。除了可以用計(jì)算器算出來(lái)的值，0就行。2.設(shè)我們可以用作圖法，主要可以看出來(lái)的值小于，證明是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并把分別用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。解析：從上式我們很容易看出來(lái)是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。37所以,五、（本題12分）設(shè)有方程組，問(wèn)為何值時(shí)，方程組有唯一解？無(wú)解？有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)，求出通解。解析：當(dāng)時(shí)，即。。方程組有唯一解。當(dāng)不同時(shí)成立時(shí)，即不同時(shí)成立。。方程組無(wú)解。當(dāng)時(shí)，即。。方程組有無(wú)窮多解。因此方程組的通解為，為任意實(shí)數(shù)六、證明下列各題（每小題6分，共12分）1.設(shè)是階方陣，且與相似，若存在正整數(shù)，，證明.證明：因?yàn)榕c相似，所以存在可逆矩陣，使得2.已知向量組線性無(wú)關(guān),證明向量組,,也線性無(wú)關(guān)。38證明：設(shè)存在使得整理得因?yàn)橄蛄拷M線性無(wú)關(guān)，所以因此向量組,,線性無(wú)關(guān)。七、（本題12分）設(shè)二次型，利用正交變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出正交矩陣。解析：二次型矩陣。設(shè)矩陣的特征值為解得矩陣特征值為當(dāng)時(shí)，，解方程組得到矩得到矩陣陣一特征向量為當(dāng)當(dāng)時(shí)，一特征值向量為時(shí)，，解方程組，解方程組得到矩陣一特征值向量為。將特征值向量單位化得39令，因此存在正交變換使得40長(zhǎng)安大學(xué)2020-2021第一學(xué)期線性代數(shù)期末試題一、選擇題(每小題3分,共15分)1.設(shè)三階方陣其中為的列向量,矩陣,則一定有().2.設(shè)線性方程組3.設(shè)矩陣對(duì)于任意的維向量都有解,則().若集合則線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件為().4.設(shè)都是可逆矩陣,且與相似,則下列結(jié)論不一定成立的是().與相似與與相似相似與相似5.設(shè)為三階矩陣,為三階可逆矩陣,使,則().二、填空題1.中的系數(shù)為2.設(shè)矩陣與等價(jià),則3.設(shè)三階方陣三維向量.若與線性相關(guān),則4.設(shè)三階方陣有一個(gè)特征值為,且及的主對(duì)角線元素之和為,則的其余兩個(gè)特征值為415.已知二次型正定,則的取值范圍為三、計(jì)算階行列式四、設(shè)為何值時(shí),.試討論當(dāng)(1)、不能由(2)、可由(3)、可由線性表示;唯一地線性表示;線性表示,但表示式不唯一;并寫出表示式.五、已知矩陣(1)、判斷矩陣是否可對(duì)角化;若可對(duì)角化,求出可逆矩陣使得角陣;為對(duì)(2)、求(3)、設(shè)三階矩陣分別表示為的線性組合.;滿足.記,將六、已知二次型經(jīng)正交變換(1)、求的值(2)、求正交矩陣;化為標(biāo)準(zhǔn)型;(3)、判斷是否為正定矩陣,請(qǐng)說(shuō)明理由.七、證明題1、證明:向量組線性相關(guān)的充分必要條件是存在可由線性表示.2、設(shè)三階方陣證明:有三個(gè)兩兩不同的特征值,且.42長(zhǎng)安大學(xué)2020-2021第一學(xué)期線性代數(shù)期末試題解析一、選擇題(每小題3分,共15分)其中為的列向量1.設(shè)三階方陣,矩陣,則一定有().解析：主要考查的矩陣的初等變換，記住“左乘初等矩陣改變行，右乘初等矩陣改變列”。答案：2.設(shè)線性方程組對(duì)于任意的維向量都有解,則().解析：線性方程組對(duì)于任意的維向量都有解意味著恒成立，因此只有矩陣行滿秩的時(shí)候才可以滿足條件，當(dāng)矩陣行滿秩時(shí)，無(wú)論添加多少列均不會(huì)改變矩陣的秩。所以選擇答案。3.設(shè)矩陣若集合則線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件為().解析：線性方程組因此有無(wú)窮多解。故選擇答案,且與相似,則下列結(jié)論不一定成立的是().4.設(shè)都是可逆矩陣43與相似與相似與相似與相似解析：與相似存在可逆矩陣使得答案：對(duì)兩邊取轉(zhuǎn)置得因此存在可逆矩陣，使得，所以答案是對(duì)的。兩邊取逆得，所以答案是對(duì)的。，所以答案是對(duì)的。答案：對(duì)因此存在可逆矩陣使得答案：由上述結(jié)論得因此存在可逆矩陣使得故選擇答案5.設(shè)為三階矩陣,為三階可逆矩陣,使,則().解析：因此，故選擇答案二、填空題1.中的系數(shù)為解析：含有項(xiàng)為因此的系數(shù)為2.設(shè)矩陣解析：與等價(jià),則因此矩陣的秩為2。因?yàn)閮蓚€(gè)矩陣等價(jià)，所以矩陣44的秩也是2。因此。當(dāng)時(shí)，，矩陣的秩為1，不滿足條件，所以舍去。當(dāng)時(shí)，，矩陣的秩為2，滿足條件，所以答案為2。3.設(shè)三階方陣三維向量.若與線性相關(guān),則解析：與線性相關(guān)存在不為的數(shù)，使得。4.設(shè)三階方陣有一個(gè)特征值為,且及的主對(duì)角線元素之和為,則的其余兩個(gè)特征值為解析：矩陣有一特征值為0.的主對(duì)角線元素之和為矩陣的特征值之和為0因此矩陣的另一特征值為。故矩陣的特征值為5.已知二次型正定,則的取值范圍為解析：二次型矩陣為，二次型正定，則三、計(jì)算階行列式解析：我們用升階法來(lái)做這道題目45從第二行開(kāi)始，每一行均減去第一行得到：從第二列開(kāi)始，每一列均乘以加到第一列得到：因此四、設(shè).試討論當(dāng)為何值時(shí),(1)、不能由(2)、可由(3)、可由線性表示;地線性表示;線性表示,但表示式不唯一唯一;并寫出表示式.解析：設(shè)存在令使得46(1)、不能由解得線性表示(2)、可由唯一地線性表示解得(3)、可由線性表示,但表示式不唯一（前面方程無(wú)解）當(dāng)時(shí)，為任意，常數(shù)。因此為任意常數(shù)。五、已知矩陣(1)、判斷矩陣是否可對(duì)角化;若可對(duì)角化,求出可逆矩陣使得角陣;為對(duì)(2)、求;(3)、設(shè)三階矩陣滿足.記,將分別表示為的線性組合.解析：(1)、設(shè)矩陣的特征值為，則矩陣的特征值互不相同，所以矩陣可以相似對(duì)角化。當(dāng)時(shí)，，因此特征向量為當(dāng)時(shí)，，因此特征向量為47當(dāng)時(shí)，，因此特征向量為因此可逆矩陣(2)、因此，則(3)、，以此類推可以得到。因此整理得到六、已知二次型經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型(1)、求的值;(2)、求正交矩陣;(3)、判斷是否為正定矩陣,請(qǐng)說(shuō)明理由.48解析：(1)、由題意可知矩陣的特征值