微積分b1期中考試整合版

第一部數(shù)、極限、[選擇題容易題1—4748—113，難題114—154設(shè)f(x)的定義域是[0,4]，則f(x2)的定義域是

[- y

fx的定義域?yàn)閇0,2a0y

f(xa)f(x A.[a,2a][a,2a] 當(dāng)a1時，定義域ax2a；當(dāng)a1時D.[a,2a][a,2y若Z f(3x1)，且已知當(dāng)y1時，zx.則f(x) y(x1)3 B.xC.(t1)3 D.t fg在(,上都為單調(diào)增（減）

g,

g,fg,g

(g0fg在(,上都為單調(diào)增（減）

gmaxfgminfgfxgx),xgx)x)fx，又設(shè)ggx)],[x)],ffx則必有g(shù)g(x)][(x)]

f[f(fx在(-,+)上為奇函數(shù)，且在[0,+)上是嚴(yán)格單調(diào)增加的，則fx)在(-,+)上一定是嚴(yán)格單調(diào)增加的。設(shè)f(x)的定義域?yàn)?-,+)，則g(x)f(x)f(x)是 B.g(x)C.非奇非偶函 奇函 奇偶C.周期 有界設(shè)f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則 )為奇函數(shù)（f[g( B.g[f(C.f[f D.g[g(ysinx在[,3]上的反函數(shù)是 A.xarcsin B.xarcsin C.xarcsin D.xarcsinycosx在[,0]上的反函數(shù)是 xarccos

xarccos

x2arccos

x2arccos

xnA的定義“,NN,nN,恒有xnA”中,N是 唯一 B.任意C.不唯一，但與有 D.是的函

xnA的定義“,NN,nN,恒有xnA”中是 一個很小很小的正 設(shè)f(x)在(a,a)上單調(diào),則f(a0)與f(a0)（ 設(shè)函數(shù)f(x)為定義在(,)的任何不恒等于零的函數(shù)，則 ）必是偶函數(shù)F(x)f(x)f(x)BF(x)f(x)f(x)F(x)f(x)f(x)Fx)f(xf(x)設(shè)f(x),(x)都是偶函數(shù)，且它們的定義域、值域均為(,)，則 fxf[xfxf[xfxf[xfx)]f[x若數(shù)列xn在(a,a)鄰域內(nèi)有無窮多個數(shù)列的點(diǎn)，則（ （其中為數(shù)列xn必有極限，但不一定等于a數(shù)列xn極限存在且一定等于a數(shù)列xn的極限不一定存在數(shù)列xn

設(shè)limf(x)存在，limg(x)不存在，則 limf(x)g(x)]limg(x)一定都不存在

x

flim[f

limg(x)一定都存在

x

flim[f

limg(x)

x

flim[f

limg(x)x2sin

x

flim x的值為 sin B. D.0當(dāng)x0時，與sinx2等價的無窮小量是 )ln(1x Btanx C.2(1cosx D.ex1f(x在(0a0b0

f單調(diào)減少，則 xf(ab)

f(a)

f(ab)

f(a)f(b)f(ab)ab

ABC均不成立x0f(x

2f(x)f(1)

(a為常數(shù)

f(x)為 ABCD 0，最多只有有限個a(A,A)是limaA的 (

0，有無窮多個a(A,A)是limaA (

n設(shè)limn

a,則 (

數(shù)列{an}收斂

(B)limaann

limaann

數(shù)列{an}不一定收斂若limxna，lim(ynxn)0，則數(shù)列 收斂于a

0lim(ynxn)limynlimxn

limyna

x0xSinxx2 答 1當(dāng)x0時，y ，當(dāng)x滿x

y104（A）0〈x

1041

104

x0；（C）0〈x

，104（D）0〈x〈1042答 lim

) x（A）不存在；（B）0； （D）。答（B y

f(xx

f1y互為反函數(shù)，則關(guān)系式（）x

f1(f

y

f1(f

x

f(f(

nf(x)xnxn是（DA偶函數(shù)B既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)C奇函數(shù)D1y

在定義域內(nèi)是 xA單調(diào)函 B周期函 C函 D有界函n已知數(shù)列{x}{(1(1)n)n}，則 nnAlimx n

limx= nn

limx∞，但D發(fā)散，但有nn

lim(242822n2)22

= 42 42

C D

f(x)a（常數(shù)，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0 f(x0

有定義，但f(x0)可以為任意數(shù) D可以有定義也可以沒有定limxnlimyn (A)xn(C)N,使當(dāng)nN時,xn1

(B)n,xn(D)xn與ynx0是f(x)

x(A)連續(xù) (B)跳躍間斷(C)可去間斷 (D)無窮間斷l(xiāng)im

xx (A)

(B)e(C)e (D)e若f(x)ax2bx和g(x)axb,其中ab0,其圖形只能是 yyyx0x0y 0x0x 關(guān) 數(shù) 命 正 若序列{xn收斂,{yn發(fā)散,則{xnyn和{xnyn若序列{xn與{yn發(fā)散,則{xnyn和{xnyn若limxnyn0,則必有l(wèi)imxn0或limyn0

x0時,f(x)xsinx是 )(A)無窮大量 (B)有界的,但無極限(C)的,但有收斂于零的子列 (D)除上述三種以外之情況設(shè)非空實(shí)數(shù)集合S有界，則S (A)（B）不一定有最小值（C）沒有下確界（D）f是定義在,

f(2x)2f

則f(x)等于 2

f(x)

當(dāng)x為無理

x (B)是偶函 (C)是周期函 (D)A,B,C均不正答案C

f(x)

,

(x)

11xn

xnxn

x

asinx

（A） 設(shè)有（

f(xL.（II）:x0的點(diǎn)列xn

f(xn)L.則命題II是命題I的 nn若a0，且 r1， nnliman0 liman1；

rn

不存在n n fgR

gg

fg

x

x

x設(shè)函數(shù)y2x

0x

y

2

1x f為周期函數(shù)，則

若fffxfx)

f(2ax),f(x)

f(2bx),(bfxx(,),若函數(shù)f滿足f(f(x))x,則滿足上述條件的f A.只有一個B.一個都沒 設(shè)f(x)x,g(x)x2x,f(g(x))g(f(x))成立的范圍是 1x1x

x,

fn(x)

[1,)則fn(x) 11

1111nx1xfx)

x1x1x則f(x25)f(sinx)5f(4xx26) A.5sin B.sinx5(4xx2 C.sinx D.sinx設(shè)xnayn,且lim(ynxn)0,則{xn}與{yn} nA.都收斂于 B.都收斂但不一定收斂于 xnzn

如limxnlimynA,則limzn

如limxnAlimynB,則limznCAC

如limynxn)0則limzn 如limynxn)0limxnlimynlim

設(shè)limf(x)存在， M0,x(,),f(x)M0及X0,xX時,f(x)M0及X0,當(dāng)xX時,f(x)M0及0當(dāng)0

x

時,f(x)

f(x)A，則下列結(jié)論中正確的是 A0，則M0xMfx)A0，則M0xMfx)若M0xMfx)0A若M0xMfx)0A 0,只有有限個x(a,a)是limxa的 A.充分條件，但不是必要條 C.充分必要條 0,有無窮多個x(a,a)是limxa的 設(shè)f(x),g(x)為定義在(,)的單調(diào)增加函數(shù)則下列函數(shù)中在(,)內(nèi)必 f(x)g(x)f(x)g(x)fx)。gxfx)/gxfx)x2

x11x4

的反函數(shù)是 (A).y

2xx

4xx11x4

x(B y x

x11xln

4x

16x

y x2log2

x11x44x2x02x

(D).y x2log2

x1x 16xf

4

1x

2,則f(x)在x5處 32 x5 32 2x

x2(D).若limf(x)存在，則下列極限一定存在的是 limfx)]為實(shí)數(shù)xlimf(x)limlnf(x)

x3x

x1x23x

3x22x

limx1

3

(x1)(x2x(x1)(x

x2xx

4

1試確定當(dāng)x0時下列哪一個無窮小量是對于x的三階無窮小

x2 xaxaxax30.0001x23tanxf(x)

n1(,)1x n(,0)(0,)1x0及x 處nfx)是定義在[aa](a0g(x)則g(x)是[a,a]上的

f(x)f(x)xl

(la)設(shè)fx)是定義在[aa](a0)g(x)

f(x)f(x)xl

(lax

0x設(shè)函數(shù)f(x)

x

在閉區(qū)間[0,2]上 x

1xfx)

atanxb(1cos

其中a2b20則 x0cln(12x)d(1ex2(A).b4d (B).b4d (C).a

(D).a4cfx)(1

4

，則它在(0,2)內(nèi)間斷點(diǎn)的個數(shù)是 (B). (C). (D)4, x0,x, 1ex設(shè)f(x)

xx

，則f(x)的間斷點(diǎn)及其類型是 (A).x0,第一型 (B).x2,第一型(C)x0,第一型,x2,第二型 (D).x0和x2，第一型 g(72．設(shè)fx)

x0x

0，又gxhx)均存 h(

x0xx0g(x0)h(x0),g(x0)h(x0)是f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)的（ (B).充分必要條件；(C).必要但非充分條件；(D).fx0)0fxxx0連續(xù)，則fxxx0可導(dǎo)是fx)xx0 (B).充分必要條件(C).必要但非充分條件；(D).

(x)2x1,對于n＝1，2，3，x

(x)

f1(

(x,若f35(x)f5(x),則f28(x) ) x1 A

1cos設(shè)數(shù)列{xn 2}，且limxnA，當(dāng)n最小?。ǎr，nxnA0.001

當(dāng)x0時，變量

lnsin

x

x

e設(shè)f(x)在xa的某鄰域內(nèi)有定義，f(x)在xa可導(dǎo)的充分必要條件是 (A).limh(f(a)

1)f(a)存在 (B).

f(a2h)f(ah)

(C).

f(a)f(ah)

f(ah)f(ah)

fx)為奇函數(shù)，且在(0,)f(x)0,fx)0fx)在(,0) (A).f(x)0

f(x)0 (B).f(x)0,f(x)(C).f(x)0,fx)0 (Df(x)0,fx)0f(x)(x2x2)x3x不可導(dǎo)點(diǎn)的個數(shù)是 )(A).3 (B).2 (C).1 (D).0fxx0gxx0Fx)

fxgx)x0處 )(A).一定有導(dǎo)數(shù) (C).導(dǎo)數(shù)可能存在；(D).一定連設(shè)f(x)SinxSin(t2)dt,g(x)x3x4.則當(dāng)x0時,f(x)是g(x)的 0（Ａ）等價無窮小 （Ｂ）低階無窮（Ｃ）同階但非等價的無窮小 （Ｄ）高階無窮小答設(shè)

atgxb(1cos

2,其中a2c20,則必有 x0cln(12x)d(1ex2 （B）b=

(D)a答(

f[(x)]和f[lim(x)], 答 設(shè)(x)(xn),(x)(xm)，則(x)/(x) （A）1 （B）X) （C） （D）答 Df(x是(上的嚴(yán)格增函數(shù)，且x(fff(x

f(x滿足上述條件的f (

有唯一一個

f(x的定義域?yàn)閇04f(xaf(xa)(其中a0 (

[a,4a][a,4a]

[a4a][a4a 當(dāng)a2時,為當(dāng)a2時,為[a4a]如果x(,)，恒有f(f(x))x，則滿足上述條件的 (

有無窮多個

設(shè)f(x)在區(qū)間I上，且f(x)0。

f

在該區(qū)間上 (

有上界或有下界

可能有界也可能若存在自然數(shù)N，對任給的0，當(dāng)nN時，恒有anA成立， (

當(dāng)nN時,anA；

(A),(B),(C)均不成立設(shè)xnayn，且lim(ynxn)0，則數(shù)列{xn}與 n(

都收斂于a

n若limxA0, nN,使當(dāng)nN時,xn

N,使當(dāng)nN時,xnN,使當(dāng)nN時,xn (D)xn與“實(shí)變量x0”等價題是

(n1,2,

x

0,x0,x

x若limf(x)存在, M0及x0N*x0,xN*時,f(x)M0及x0N*x0,xN*時,f(x)M0及x0Nx0,xN時,f(x)M f(x)若limf(x)A0,則0,使 x(A)當(dāng)xx0時,f(x) (B)f(x0)(C)當(dāng)0

x

時,f(x) (D)f(x)在x0處沒定1極限limx1 (A)為 (B)為e(C)為 (D)為x0limn2n1xn(A)不存 (B)為ln1

(C)為ln (D)x設(shè)f(x),g(x)定義在(1,1),且都在x0處連續(xù), f(x)g(x)/ x2 x2則(A)limg(x)0

g(0) (B)limg(x)0

g(0)limg(x)1

g(0) (D)limg(x)0

g(0)設(shè)當(dāng)x0時ex(ax2bx1)是比x2高階的無窮小量,

a ,b111a ,b112

a1,ba1,b設(shè)x0時,etanxex與xn為同階無窮小量,則n (A) (B) (C) (D)y

f(x)為(,f(1)ax有f(x2)f(x)f(2),則f(2)(A) (B)(C) (D)函數(shù)f(x)

x2n

的間斷點(diǎn) nx2n(A)0和 (B)1和(C) (D)1xa若 9,則常數(shù)a xxa1(A) 3

(D)lnf(x)ex2f(g(x))1x

g(x)0,則的定義域是

x

(,)

x0

x0若函數(shù)f(x)loga

x21x

a0,a1,則該函數(shù)的圖形 (A)對稱于x軸 (B)對稱于y軸 (C)對稱于原點(diǎn) (D)不是以上三f(x)

xx

g(x)

f(f(x)),則函數(shù)g(x)是 (A)連續(xù)的非初等函數(shù) (B)基本初等函數(shù)(C)仍是分段線性函數(shù) (D)是初等函數(shù)，但不是基本初等函數(shù)

f(x)2x3x2x

的反函數(shù)f1(x)是 )2x

3x3x2x

3x22x3x

xa常數(shù)a和b的關(guān)系為 )時，則有 2xxb

a2b eaeb2

2abeaeb

limx=nn

limy=,則以下論斷中只有 nnn(A)n

);

lim(1

)x

enln(|xy y

lim 0;

limn x2y

n 每一個定義在

上的函數(shù)一定能表示為 (C)一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和

yarccoslg(3

的定義域?yàn)?283x283xx

(-7,

(-7,案為

f(x)

是

f(x)

答案 22

lim 11

等于 nn 答案

lim

2

22cos (A)等于 (B)等于 (C)等于 不存答案lim

n2n2(A) (B)(C)不存 (D)設(shè)baf(x)以xa及xbfx(A)偶函 (B)奇函(C)周期函數(shù)且周期為(b (D)周期函數(shù)且周期為2(b設(shè)a0,

0,

1xa,則x的極限(n2 2

na(A) aa

2

設(shè)an0,且{an

xn

ak k (A)limnan (B)limnan (C)limnan不存在,亦不為 (D)limnanc（c 設(shè)在(,f(x)和(xfxfx0x(A)[f(x)]必有間斷 (B)[(x)]2必有間斷(C)f[(x)]必有間斷 (D)(x)必有間斷f( xx

sinx C.sin

D.x3x3f(x)

x0，g(x)x2x1，則f{g[f(x)]} xA.

x2x

xx

B.

x2x

x;x x x0C.0

x

D.

xg(x)1ex(0x1),f(x)2且在[0,1)上有：f(x)g(x)，在[-2,2)上，f(x)的表達(dá)式為 1e(x2)

2x

1e(x2)

2xf(x)

(1ex),1ex,(1ex2)

1x0x1x

f(x)

(1ex),1ex,(1ex2)

1x0x1x1e(x2)

2x

1e(x2)

2xf(x)

(1ex),1ex,(1ex2)

1x0x1x

f(x)

(1ex),1ex,(1ex2)

1x0x1x設(shè)f在[a,b] ，且f(x)0,則f(

在[a,b]上 B.有界 f在[a,bfx)0,則f(

在[a,b]上 B.有界 124．?dāng)?shù)列{xn}以A為極限的等價定義為( 若NN,使nNxnANN,使nNxnA對于無窮多個n0n1,2,3NNnNxnA(0,1NNnNxnA下列說法中與數(shù)列{xn}以A為極限不等價的定義為 若KNNkN,使nNkxnAKNNnNxnAmNNnNxnANNnNxnAn

m數(shù)列{xn}不以A為極限的等價定義為 A.若NNnNxnA 若,在{xn中存在子列{xn}xnA 若NNnNxnANNnNxnA若,在點(diǎn)A的鄰域內(nèi),總有{xn}的無窮多個點(diǎn),則數(shù)列{xn}具有性質(zhì) 以A為極 B.不以A為極C.{xn}必有 D.A是數(shù)列{xn}的一個聚 A,

總x,滿足

x

f(x)AB.,C.,

.總x,滿足,.總x,滿足

xxx

f(x)Af(x)AD.

xn

f(xn)A證明limxn不存在的下列方法中,不正確的是 A.AR子列{xnxnA 子列{xn}及{xn},limxnlim k N,當(dāng)nNpNxnxnNnNpNxnxn

數(shù)列{xn}極限存在的柯西充要條件,下列敘述中正確的是 NNnN,及p

,有xnpxn ,及pN

N

,n

,有xnpxn NN,及pN

nN,有xnpxn pNlim(xnpxn)

nnlnnln(nnn ln()ln(

(n

n N

n,

ln()

n

nnnn

nnn

nn1

n

n ,只

n1,Nn2

n2

n2

[

xxxxxxxxxxx(x只 ,xxx(x

xxxxxxxx,即xx6

,x2

已知limxA，用極限定義證明limxA,下列證明中正確的是 n nlimxANN,nN有xAnxn

A

A

令A(yù)為任給的無窮小，也為任給的無窮小，limxlimxANN,nN有

A

xnAxA(xA)(

A)

A,limx n要證xA,可有nn

A

nnxAnn即證xn

A,即

AAAn而由limxA,可知NN,nN有xnAAAnn nlimxnA,NNnN,{xn有界,即M,n

Mn又xn

A

A

xnA(Mlim

A,,NN,當(dāng)nN,有xnA n

MNmax(NN),當(dāng)nNxA (M

A)

limx M

n設(shè)limf(x)l,則limf(x)

B.不存C.存 lim(f(x)g(x))0limf(x)lim limf(x)Alimf(x)A limf(x)A

f(x)Alimf(x)Alimf2(x)A2 E 1 1 1 1設(shè) ,,,E2 ,,則 2 n 2 nsupE1supE2 infE1infE2supE1supE2 infE1infinfE2E1，E2最大值為1，最小值為設(shè)E{xx(0,1)中無理數(shù)}，則 supE1,infE0,E的聚點(diǎn)是 B.supE1,infE0,E的聚點(diǎn)是supE1infE0E的聚點(diǎn)是

設(shè)數(shù)列{xn}收斂于a，則 asup{xn B.ainf{xnC.a是{xn}的聚 設(shè)數(shù)列{xn}嚴(yán)格增且有上界，則 sup{xn}{xn},inf{xn}{xnC.sup{xn}{xn},inf{xn}{xn

sup{xn}{xn},inf{xn}{xnD.sup{xn}{xn},inf{xn}{xn設(shè)數(shù)列{xn}收斂于a,則sup{xn}與inf{xn} 都存在，且都屬于{xn B.都存在，但都不屬于{xn都存在，且至少有一個屬于{xn

數(shù)列{xn}的任一子列xnk都收斂是數(shù)列{xn}收斂的 141．設(shè)數(shù)列{xn}是數(shù)列，則{xn}（ 發(fā)散于 B.發(fā)散于C.發(fā)散于 D.存在一個發(fā)散于的子 給定數(shù)列{xn，若nk2k1k1,2,則xnk是{xn的子給定數(shù)列{xn}，若

1k2k1,2,則x是{x 數(shù)列{xn收斂{x2n1},{x2n 設(shè)數(shù)列{xn}收斂且{nk是任一自然數(shù)列，則數(shù)列xnk收k若單調(diào)數(shù)列{an}的某個子列{an}收斂于A，則數(shù)列 k(

A

(A),(B),(C)均不成立

limann

kNNkN,nNk,有ana〈1/k0,有無限多個an，有ana（C）有無限多個0對每個，NN，nN,有anaKK

a答 f(x)1x00,x

g(x)x1,x1，則g(f(x)) )1f

1f

f(x)

flim

n2n2(A) (B)(C)不存 (D)設(shè)baf(x)以xa及xbfx(A)偶函 (B)奇函周期函數(shù)且周期為(b (D)周期函數(shù)且周期為2(b設(shè)a0,

0,

1xa,則x的極限(n2 2

na(A) aa

2

設(shè)an0,且{an

xn

ak k (A)limnan (B)limnan (C)limnan不存在,亦不為 (D)limnanc（c 設(shè)在(,f(x)和(xfxfx0x(A)[f(x)]必有間斷 (B)[(x)]2必有間斷(C)f[(x)]必有間斷 (D)(x)必有間斷f(

f(x)

ln(exxn

n,則則其定義域有 n

[1,

(,)

limf(x)a的充要條件是 )

1

lim(f(x))2a2xf

(C)對任何趨于無窮的子列{x},limf(x

T,0

N0

xN

f(xf(xT)f(x是(,中的單調(diào)增函數(shù),又

x,g(x)

f(x),則以下結(jié)論中 )

x

f(f(x))g(g(x))

x,f(f(1x))

f(g(1x))

x,f(f(x))g(f(x))

xff(x1gf(xf(x)

x2n1ax2bxx2n1

連續(xù)，則 a1,b0 (B).a1,b (C).a0,b1;(D).a0,b0第二部元函數(shù)微分[選擇題容易題1—3940—106，難題107—135y

f(xx0處可導(dǎo)，y

f(x0h)f(x0)，則當(dāng)h0時，必有 dy是h的同價無窮小量y-dy是h的同階無窮小量dy是比h高階的無窮小量y-dy是比h高階的無窮小量f(x是定義在(,x0f(x)

f(x)0則在(0,內(nèi)有）（A）f(x)0,f(x)0（B）f(x)0,f(x)0（C）f(x)0,f(x)0（D）f(x)0,f(x)0已知f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，則f(x)0是f(x)在[a,b]上單減的 (B)充分條件 答B(yǎng)設(shè)ny

x2x2

arctanx的漸近線的條數(shù)，則n f(x在(1,1

f(x)x2

x(1,1x0f(x)的 （C）可導(dǎo)的點(diǎn)，且f(0)0。 （D）可導(dǎo)的點(diǎn)，但f(0)0。答C A設(shè)可微函數(shù)f(x)定義在[a，b]上，x0[a,b]點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是 x0點(diǎn)的切向x0點(diǎn)的法向x0點(diǎn)的切線的斜C設(shè)可微函數(shù)f(x)定義在[a，b]上，x0[a,b]點(diǎn)的函數(shù)微分的幾何意義是 x0點(diǎn)的自向量的增x0點(diǎn)的函數(shù)值的增x0點(diǎn)上割線值與函數(shù)值的差的極xf(x)x（A）x（B）x（C）x（D）x

，其定義域是x0，其導(dǎo)數(shù)的定義域是 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0不可導(dǎo)，則 fxx0fxx0fxx0fx0

f(x0)0,f(x0)0,則 x0fxx0fxx0fxx0,fx0fx（命題I）:f在[a,b]上連續(xù).（II）f在[a,b]上可積.III的 （ 可積但不一定可 （D）A,B,C均不正（ 命題I）:函數(shù)f在[a,b]（II）|f|在[a,b]上可積.I是 II的 （

yeu(x)

y''

等于

eu(x

eu(x)u''(x)（C）eu(x)[u'(x)u''(x)] （D）eu(x)[(u'(x))2u''(x)]（ f在

f'(x00

f''(x)

f'(x00

f''(x0)

f'(x00

f''(x0)

f'(x00（ f'(a)

f(x)f；x

f(a)f(a；f(as)f(as(C).

f(ta)f；t

(D).S

s答 陸 在某點(diǎn)可微的含義是 yaxay與xy(a)x,a與x無關(guān)，0(x0yax,a是常數(shù)，是x的高階無窮小量(x答（C關(guān)于ydy，哪種說法是正確的 （A）當(dāng)y是x的一次函數(shù)時ydy （B）當(dāng)x0時，y（C）這是不可能嚴(yán)格相等的. 答（A） （B） （C）

答（D函數(shù)f(x)(x2x2x3x不可導(dǎo)點(diǎn)的個數(shù)(A) (B) (C) (D)f(xx處可導(dǎo)，則

f(x0h)f(x0) （A）f(x0)；（B）f(x0) （C）f(x0)；（D）f(x0)答案f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且x0(a,b)，則在x0處 （A）f(x)極限存在，且可導(dǎo) （B）f(x)極限存在且左右導(dǎo)數(shù)存在（C）f(x)極限存在，不一定可導(dǎo) （D）f(x)極限存在，不可導(dǎo)答案若f(x)在x0處可導(dǎo)，則|f(x)|在x0處 （B）（C） 答案設(shè)f(x)(xx0)|(x)|，已知(x)在x0連續(xù)，但不可導(dǎo)，則f(x)在x0處 （B）（C）連續(xù)，但不可導(dǎo)；

f(x)g(abxg(abxg(x在(,xaf(0) （A）2a；（B）2g(a)；（C）2ag(a) （D）2bg(a)答案y

f(cosx)cos(f(x))，且f可導(dǎo) 則y f(cosx)sinxsin(f(x))f(x)f(cosx)cos(f(x))f(cosx)[sin(f(x))]f(cosx)sinxcos(f(x))f(cosx)sin(f(x))f(x)f(cosx)cos(f(x))f(cosx)sin(f(x))f(x)答案 （B）

答（D設(shè)f(x)x(x1)(x2)(x99)(x100)，則f'(0) （ （B）100?。–）- 答案f(xn

f(n1)(x)x

f

(a

(a) （A） （ 答案： （A

f(x)xx2,x

f(x)sin x ,x （C

f(x)

x

（D

f(x)

xx （A）單調(diào) （B）有界 （C）連續(xù) （D）可導(dǎo)答案f(xy

f(x在其上任意一點(diǎn)(x,y和點(diǎn)(x,y處的切 （A）彼此相 （B）互為相反 （D）以上都不答案y

f(xx0x0x0xyf(xdyf(xydy

（當(dāng)x0時（A） （ （C （D）答案設(shè)f(x)loglogx，則f'(x) logxloglog

1loglog（A

x(logxloglogxx(logx)2

（B（

x(log1loglogxx(logx)2f

x2

x

x1處可導(dǎo)，則a

)ax

x(A).a1,b (B).a2,b1 (C).a1,b2 a2,b1。若拋物線yax2與ylnx相切，則a )(A).1;

e2 (D).2e若f(x)為(l,l)內(nèi)的可導(dǎo)奇函數(shù)，則f(x) )(A).必為(l,l)內(nèi)的奇函數(shù) （B).必為(l,l)內(nèi)的偶函數(shù)(C).必為(ll內(nèi)的非奇非偶函數(shù)；(D).可能為奇函數(shù)，也可能為偶函數(shù)。設(shè)f(x)xx,則f(0) )(A). (B).1 (C).1 (D).已知f(x)在(,)上可導(dǎo)，則 f(xf(xf(xf(xf(xf(xf(xf(x一定為奇函數(shù).C設(shè)f(x)在(,)內(nèi)可導(dǎo)，則

f(x)f(x)f(x)f(x)

f(x) f(x) f(x) f(x) f(x)在(,)內(nèi)可導(dǎo)，周期為3，又

f(1xf(1)1線在點(diǎn)(4,f(4))處的切線斜率為

1 （D）2xf(xf(1x

f(x)1，則 f(1f(xf(1f(xx1f(x設(shè)f(x)(x2x

，則f(x)不可導(dǎo)點(diǎn)的個數(shù)是 （B）1。 答B(yǎng)f

，則其導(dǎo)數(shù)為 f(x)xxf(x) f(x)xxf(x)設(shè)ysin4xcos4x，則 y(n)4n1 y(n)4n1cos(4x),ny(n)4n1 y(n)4cos(4xn),n2f(x)（A）f(0)（B）f(0)（C）f(0)

，則 （D）f

fx)x

，則 （B）f(1)（C）f(1)4（D）f(1不存在C下列何者正確 (cscx)cscxcot(secx)tanxsec(tanx)(cotx)g(x)ef(x)

,g

g(0)1fx)x0連續(xù),但不可導(dǎo),(B)f(0)fxx0

f(0)fxx0處連續(xù),

f(x)在x0fx可導(dǎo),且滿足條件limf(1f(1x)1y

fx (1f(11(A) (B)- (D)-2若f(x)為 的奇數(shù),在(,0)內(nèi)f(x)0,且f(x)0,則

f(x)f(x)f(x)f(x)

f(x)0f(x)0f(x)0f(x)fx可導(dǎo),且滿足條件limf(1f(1

y

fx(1,f(1))處的切線斜率為 (A) (B)-

(D)-g(x)ef(x)

,g

g(0)1fxx0f(0)fxx0(B)f(0)fxx0(C)

f(x)在x0fx)

F(x)

f(x)(1sinxF(x)

f(0)

f(0)

f(0)f(0)

f(0)f(0)f(x)

g

是有界函數(shù),則f(x)在x0處 設(shè)

yxlnx

y

等于

x

x 8!x －8!x(答fx)

x

處連續(xù)，但不可導(dǎo)，則p（ 答（B判斷f(x)x

x

處是否可導(dǎo)的最簡單的辦法是 A）f(1)3f1)30，故可導(dǎo)（（B）f(10)f(10)fx（C）

f(x)f(1)x

f(x)fx（D）x處x2(2x2答（B若ylnx，則dy 1（A）不存 （Bx

x（Cx

（D）x答（B若f(x)是可導(dǎo)的，以C為周期的周期函數(shù)，則f'(x) （A（B（C（D答（Dx

ftytftf(t

x'

dx,x''

d2

,y'

dy,y''

d2d2 d（A）

y')2

t

（B

y'x'

t

f''f'''x'y''x''（C （D答（D

x'y''x''y'x3在計(jì) 時，有缺陷的方法是 d原式

3d(x3)3

d(x3)

3332d(x)2

3(x2)

3

22

dx33x2dx,dx2

3x2dx(

2xdx

x x答（B2ab取何值時fx2

在x3處f(x)可微f(x)連續(xù)lim 存limf

存在

f(30)

f(30)3abx3fx可微

f'(30)

f'(3答（Df(xg(x)

x0(x)

f(xg(x

(x)

f(x)g(x)在x0處 （C）（D）答案

e2x

xf(x)

x

，在x00可導(dǎo)，則a,b取值為 （A）a2,b1； （B）a1,b（C）a2,b1 （D）a2,b1答案設(shè)函數(shù)yy(x由方程xy2y2

確定，則dy y（A）2(xy2y2xlnx) 2x答案若f(x)max{x,x2}，則f(x)

0x

0x（A）f(x)

2 （B）f(x) 2

x2

x2（C）f(x) 0 （D）f(x) 0 答案f(x)5x42x3|x|f

存在的最大n值是 70y

f(xxgy)y0

，已知f(x0)1，f 則g( （C）1 （D）12答案設(shè)函數(shù)f(x)(xa)(x),其中(x)在a點(diǎn)連續(xù)，則必 f(x)(x) (B)f(a)(a)(C)f(a)(a) (D)f(x)(x)(xa)(x)答 y

f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)是f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的 既非充分條件 答（Bf(x)

sinx在x處的sinxf()

左導(dǎo)數(shù)f(0) (D)右導(dǎo)數(shù)f(答（Dx2 設(shè)函數(shù)f(x)

ab

(2)存在則必 )

a2,b

a1,b

a4,b

a3,b答 Cy1yx2在它們交點(diǎn)處兩切線的夾角為，則tan

答（Df(x)

，x(,)， 僅在x0時 (B)僅在x0時(C)x

時 (D)x為任何實(shí)數(shù)時，f(x)存在答（f(xxa

f(ax)f(a

2f

f

f

答（Af(xx0F(x)f

。F(x)在x時極限必存在，且有l(wèi)imF(x)

f(A)F(xx0

x0F(xF(xx0F(0)

f(0答 A設(shè)a是實(shí)數(shù)，函

cos1

xf(x)(x

x

xf(xxa

處可導(dǎo)時，必有 1

0

a答（A 設(shè)函數(shù)f(x)xsinx x0,則f(x)在x0 x (B)連續(xù)，但不可導(dǎo) 答（B）

f(x是可導(dǎo)函數(shù)，xx

f2(xx)f (B)2f

(C)2f

2f(x)f答（Df(xxaf(a)

klimf(a3t)f(a5t)

k

答 Bxxf(x)

x

f(0)設(shè)

x

(B) (C (D)答 Cf(x)在(abf(x在(a

答（Dy

x1Py

P

2xy1

2xy1

2xy3

2xy3答（D

f

1,則在x0

x02Sin22(A)不可導(dǎo)；（B）可導(dǎo)；（C）取得極大值；（D）答（Dx33xa0有三個實(shí)根

則

a

a (C)a (D)a無 設(shè)f(x)定義于(,),x00是f(x)的極大值點(diǎn),則 x0必是f(x)的駐點(diǎn) (B)-x0必是-f(-x)的極小值點(diǎn)(C)-x0必是-f(x)極小值點(diǎn) (D)對一切x都有f(x)f(x0B （Ａ）a=0,b=2 (B)a=1,b= a= ,b (D)a=1,b=1.答（D設(shè)兩個函數(shù)f(x)和g(x)都在xa處取得極大值,則函數(shù)F(x

f(x)g(x)在xa （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）答（D）

nenn

1limen1limxsinxlim1cosxx0xsinx2sinlim

x01cos2xsin1coslim x

sin

cosxx

x 答（Bf'(x)g'(x)是f(x)g(x)的 充分條 答（D）f(xf

的表達(dá)式是

f(xh)f(xh)

f(xh)f(xh)

f(xh)f(xh)

Df為可導(dǎo)函數(shù)

ysin{f[sinf(x)]}，則dy f'(x)f'[sinf(x)]cos{f[sinff'(x)cosf(x)cosf'(x)f'[sinff'(x)cosf(x)f'[sinf(x)]cos{f[sinf答一直線與兩條曲線yx33和yx31都相切，其切點(diǎn)分別為 (1,2)和 (1,4)和 (1,2和

和答當(dāng)參數(shù)a

)yax2ylogx 答設(shè)a0b0則

axbx)x 2

ln

ylog

a(a0),則dy 1log 2C logax

xlog

logax 答99x

fy)的反函數(shù)y

f

及ff1x)],"

都存在，且f'[f1

d2f1， d

f"[f1{f'[f1 f"[f1{f'[f1

f"[f1{ff"[f1{f'[f1答 100．設(shè)f(x)xlog2x在x處可導(dǎo)，且f'(x)2，則f(x) 答g(101fx)

x0x

，

，又g(xh

均存在，則h(

x0xx0g(x0)h(x0),g(x0)h(x0)是f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)的（ (B).充分必要條件；(C).必要但非充分條件；(D).fx00fxxx0

fxxx0

fx)xx0的 (B).充分必要條件(C).必要但非充分條件；(D).既不充分也不必要條件。A

f(x)在xa的某鄰域內(nèi)有定義，f(x)在xa可導(dǎo)的充分必要條件是 (A).limh(f(a)1)f(a)存在 (B).limf(a2h)f

(C).limf(a)f(ah)存在 (D).limf(ah)f(ah)存在 答fx)為奇函數(shù)，且在

f(x)0,fx)0fx在

(A).f(x)0

f(x)0 (B).f(x)0,f(x)(C).f(x)0,fx)0 (Df(x)0,fx)0f(x)(x2x2)x3x不可導(dǎo)點(diǎn)的個數(shù)是 )3 2 1 0106

f(

在點(diǎn)

有導(dǎo)數(shù)，而g

處連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在，則F(x)

f(x)g(x)在點(diǎn)x0處（ 答f(x在[abf(x2f(xf(x)

x[a,若f(a)f(b)0，則f(x)在[a,b]上 答D設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)n階可導(dǎo)，則x,x0(0,1)，有 （A）f(x)

f(x0)f

)(x 1f(n)(x

)(x

)n(B)f(x)

f(x0)f

)(x 1f(n)(x

)(x

)n

,x

f(x)

f(x0)f

)(x 1f(n)(x

)(x f(x)

f(x0)f

)(x 1f(n)(x

)(x

0)no[(x0

)n1]設(shè)f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，則 f(xx0f(x0)0f(xx0f(xx0f(x0)limf(xf(xx0

f(x存在時，有f(x0limf(x設(shè)f(x)、g(x)在x0附近可導(dǎo)，且g(x)0，則 limf(x)A

f(x)Axx0

xx0limf(x)A

f(x)Axx0

xx0limf(x)A

f(x)Axx0

xx0Df(x)

x2cos1x

x x)(ex2cos3x x)(ex2cos3xxxfx)

,x，則 xfxfxfxf(0)sin2x,x設(shè)函數(shù)fxfxfx

xR\

，則fxf(k)0,kxsinfx)

x

點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)， （A）（B）1（C）（D）xsinfx)

x

點(diǎn)可導(dǎo)， （A）（B）1（C）（D）arcsin 設(shè)f(x)

，則函數(shù) x0xx

x0fx)在[a,bf(a)

f(b)0

fx)0,則在(a,b)(A)fx)0 (B)至少存在一點(diǎn)f()0(C)至少存在一點(diǎn),使f()0 (D)f(x)fx)在

x1x2當(dāng)x1x2f(x1

fx2對任意 f(x)對任意 f(x)f(x)f(xfxC[,],0f(0)0

limf f(0fx)f(0fx)(0,f(0fx的拐

x0fx

(0,f(0也不是fx的拐設(shè)0,fx)在區(qū)間(,x(,

f(x)x2x0fx (B)連續(xù)而不可導(dǎo)的(C)可導(dǎo)的點(diǎn),且f(0)0 (D)可導(dǎo)的點(diǎn),且f(0)fx

f(x)f(x)f(x)f(x)

f(x)ff(x)f(x)方程x1/4x

在 (A)無實(shí)根 (B)恰有一實(shí)根 (C)恰有二個實(shí)根 (D)有無窮多個實(shí)fx0

fx00,fx00x0fxx0fx)x0fx)x0fx0fx)設(shè)在[0,1]fx)0f(0),f(1),f(1f(0)或f(0f(1

f(1)

f(0)

f(1)f

f(1)

f(1)f(0)

f

f(1)f(0)

f(1)

f

f(1)

f(0)f(1)

f設(shè)f(x)在xa的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù),且f(a)為其極大值,則存在 ,x(aa時必(xa)[f(x)f(a)](xa)[f(x)f(a)]

limf(t)f(x)

(xt (t

limf(t)f(x)

(xt (t126．以下哪個條件可保證對開區(qū)間X上的任意兩點(diǎn)ab必存在常數(shù)L>0，使f(a)f

成立 fxXf（x）X上連f（x）f（x）答（C

x2sin

x

f(x)

x

，g(x)

，(x)

f(x)g(x(0) 設(shè)f(x)在x0可導(dǎo)，g(x)在x0不可導(dǎo)，則fg與fg在x0處

f(u在u0不可導(dǎo)，g(xx0可導(dǎo)，(u0g(x0fg(xgf 答案xf(xx0

f(x) 0x0

f(x （D）當(dāng)f(x)在x0不連續(xù)時，不成立.f在(a,b)f’在（a,b）連 (B)沒有第一類間斷 沒有第二類間斷 (D)A,B,C均不正（

limsin2

n2n

（ x,y> a>b>

(xaya)(xaya)

（B）(xaya)（D）A,B,C（ 134．設(shè)函數(shù)f在［a,b］上有定義 且對任

x2[a 均|f(x1)f

f

常 （D）A,B,C均不正（ 135．設(shè)函數(shù)f(x),(x),g(x)

f1hkf(xh1hk

則k 第七部窮級[填空題 數(shù)項(xiàng)級數(shù)(2n1)(2n1)的和 數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1an0,p1(2,

，若級數(shù)an收斂，則p的取值范圍是 分析因?yàn)樵趎時，(en1與是等價無窮小量，所以由lim(np(ennn

)n時，a p2

an

np1冪級數(shù)

(x1)2nx

[0,2]分析：根據(jù)收斂半徑的定義，x 是收斂區(qū)間的端點(diǎn)，所以收斂半徑為1。由因?yàn)閤0時，級數(shù)

n(x1)2nn

條件收斂，因此應(yīng)填[0,2]3 3x冪級數(shù)2n

的收斂半徑 分析：因?yàn)閮缂墧?shù)缺奇次方項(xiàng)，不能直接用收斂半徑的計(jì)算。因33

nn3x3

x

收斂半徑的定義，應(yīng)

1

冪級數(shù)nln

2n

的收斂域 分析：根據(jù)收斂半徑的計(jì) ，冪級數(shù) xn收斂半徑為1，收斂域?yàn)閇1,1)1xn

n2nln

[12冪級 收斂域 。因此原級數(shù) 收斂，2

）有根據(jù)阿貝爾定理，原級數(shù)在(,2[2,)也一定發(fā)散。故應(yīng)填[1,1)已知f(x)

xn,x,xF(x)

f(xF(x

F(0)

an1xnx,n分析：f(x)

xn,x,，F(xiàn)(x)F(0)xf(t)dtx ，F(xiàn)(0)f(x)

an1xnx,nx

1(x1)n函 處的冪級數(shù)展開式

n1(n

分析：已知ex

1xn

(x(,))n0xexe[(x1)ex1ex1]e(x

1(x1)n

1(x1)n

n01

n0 ne1(n

(x1)

9

f(xx1,x[0,1]S(x)

f(x)的周期為1的三角級數(shù)的和函數(shù)，則

的值分別 ， 10．f(x)

0x121

x2nS(x)a0n

cosnx,x(,)其中

21f(x)cosnxdx(n0,1,2,)，則S( 30[解答題lnn 求級 n1

解：因nlnk3ln31

lnn

n 1k2 kk2

1

ln3,

kk1)1n1lnn n1

n

lnk 1

1

1

1ln2

n。2n已知級數(shù)n

u

5，求級數(shù)un

解：

u

5

10。又因

nn

2n故nun

1lnn1nn判斷級數(shù)nn

的斂散性 解：

1lnn10nn nn lnn1 lim 1lnn1 nn所 nn

n

n時是等價無窮小。又因?yàn)榧墧?shù)

1lnn1nn根據(jù)比階判斂法知級數(shù)nn

收斂 另解：因

lnn1ln111nnn nnn 1lnn1 nnn nnn

1lnn1已知

收斂，所以由比較判斂法知級數(shù)nn

收斂nn nnan

解：

un

nn

，則un0

an1(n1)!(n1)n1

nn

n所以根據(jù)比值判斂法，當(dāng)ae時級數(shù)收斂，當(dāng)ae當(dāng)aelim

n

1，(因?yàn)閿?shù)列(1

單調(diào)遞增趨于en所以limu0aenn討論級數(shù)nn

p0解：因

apapnna1時，級數(shù)nn

a

an時，由于an

，所以級數(shù)nnn

a

時，級數(shù)為1p級數(shù)的斂散性，當(dāng)0p1p1n1n

n當(dāng)a1時，級數(shù)為 n

，由萊布尼茲判斂法與絕對值判斂法，當(dāng)0p1p1yy(xyxyy(0)1 1解：因

yxy

y1yy(0)1y(0)1,y(0)21n 1ny()1n

在n時 等價，且級數(shù)2收斂，因此級nn 1yy本題也可先解定解問

得到y(tǒng)(x)2exx1后再用泰勒討論yy

(1)n

(nx)n

1xnnn

n1解2n2n

，因

2

R1，21

(112 又因?yàn)楫?dāng)x

時，級數(shù)(1)n 條件收；當(dāng)nn

x

，級數(shù)(1)n

1(1)nnnnn

n故級數(shù)(1)nn

的收斂域?yàn)?11a

1

(1)nnn,lim

lim(n

,得收斂半徑為 nR0,所以冪級數(shù)(nxnx0a1記an

由

,R,1xn的收斂域?yàn)?,n1求冪級數(shù)1x2n1的收斂域n1解：此時不能套用收斂半徑的計(jì)算，而要對該級數(shù)用比值判斂法求其收斂半徑31 x313k3

x2k

3k3x2所以， ,即|2

時，級數(shù)

x2n1絕對收斂；當(dāng)

1,即| 時級數(shù)

1x2n1

n1 3n13根據(jù)收斂半徑的定義知級數(shù)

1x2n1的收斂半徑為R x

時,1

n1133)2n113

,x

時,一般項(xiàng)為131x2n1的收斂域?yàn)?

,3n11注：還可以將級數(shù)變形

1x2n，再令ux2，研究冪級數(shù)

1unxn1 n1和收斂域，最后得到1x2n1的收斂域n1102n(2x解：因?yàn)?02n(2x3)2n1

102n2(2xlim

3232

un 202x

x

10.05x3232

102n(2x

的收斂區(qū)間為(1.45,1.5532x32

0.05時，原級數(shù)的一般項(xiàng)分別是un

和

10102n(2x

的收斂域?yàn)?1.45,1.55設(shè)a0a

a00

解a0a

d

ana0nd

1R1x1

(1)nnn

0(1)n

n

將函數(shù)

11

x0解：因?yàn)閘n(1x

n

xn

1ln1

ln(1

n1(x5n

n

n

xxn1

(1x1f(x)

1x

x0解：因

f(x)

(1)nx2n

，f(0)01x

f(x) xf(t)dt2

(x f(x)x

0在x1點(diǎn)展成冪級數(shù),并求f 0 解：fx視為x

,因此只需 展成

x1nn4n

,且11

1xx2xn

x，f(x)

x11(x

|x1|334 3

f(n)fx的冪級數(shù)an

的系數(shù)an

f(n1 求冪級數(shù)(1n1n(n1xn在收斂區(qū)間(11)S

, n1n(n

解：利用冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)微分 S(x)dxx(1)n1 n1 (1)n1nxn1

x2(1)n1xnx2 x

x 1xx求導(dǎo)

x1,2

S(x)

(1x)3

|x|1(1)n1n(n1)S1

2 27 求冪級數(shù)nxnS(x)令SS(x) 1S

的定義域?yàn)?1,1S(x

xt)( n1

1，

S(x)xS1(x)

x

求冪級數(shù)

n

令xnxnS1(x) nS

的定義域?yàn)閇1,1S(x

xn

S1(x) n1n

xn1

1

SxSx

1dtln(1xx1,1)x x

01

S(xxS1x)xln(1x),x1,1S(xC[1,1S(1)

S(x)

limxln(1xln2求數(shù)項(xiàng)級數(shù)

考慮冪級數(shù)2n

，則其收斂域?yàn)閇1,1S(x

S(xC[1,1S(1limS(x) 故2 2n n求級數(shù)n