第06講二次函數(shù)的應用-實際應用(原卷版+解析)

第06講二次函數(shù)的應用-實際應用一、列二次函數(shù)解應用題列二次函數(shù)解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式．對于應用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．(2)設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準確．(3)列函數(shù)表達式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應的問題。(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案．(6)寫出答案．要點：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.二、建立二次函數(shù)模型求解實際問題一般步驟：(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點的坐標，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．要點：(1)利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.(2)對于本節(jié)的學習，應由低到高處理好如下三個方面的問題：①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；②學會從實際問題中建立二次函數(shù)的模型；③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實際問題.例1．一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．例2．長為，寬為的矩形，四個角上剪去邊長為的小正方形，然后把四邊折起來，作成底面為的無蓋的長方體盒子，則y與x的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．例3．重裝專賣店銷售一種童裝，若這種童裝每天獲利y（元）與銷售單價x（元）滿足關(guān)系，則要想獲得最大利潤每天必須賣出（

）A．25件 B．20件 C．30件 D．40件例4．在中考體育訓練期間，小宇對自己某次實心球訓練的錄像進行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系式為，由此可知小宇此次實心球訓練的成績?yōu)椋ǎ〢．米 B．8米 C．10米 D．2米例5．如圖，某農(nóng)場擬建一間矩形奶牛飼養(yǎng)室，打算一邊利用房屋現(xiàn)有的墻（墻足夠長），其余三邊除大門外用柵欄圍成，柵欄總長度為50m，門寬為2m．若飼養(yǎng)室長為xm，占地面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)表達式為（）A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）例6．下表所列為某商店薄利多銷的情況，某商品原價為元，隨著不同幅度的降價，日銷量（單位為件）發(fā)生相應的變化．如果售價為元時，日銷量為（

）件．降價（元）日銷量（件）A．1200 B．750 C．1110 D．1140例7．一位運動員在距籃筐正下方水平距離處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為時，達到最大高度，然后準確落入籃筐．如圖所示，建立平面直角坐標系，已知籃筐中心到地面的距離為，該運動員身高，在這次跳投中，球在頭頂上方處出手，球出手時，他跳離地面的高度是()A． B． C． D．例8．如圖，花壇水池中央有一噴泉，水管OP=3m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀先向上至最高點后落下，若最高點距水面4m，P距拋物線對稱軸1m，則為使水不落到池外，水池半徑最小為（）A．1 B．1.5C．2 D．3例9．小明周末前往游樂園游玩，他乘坐了摩天輪，摩天輪轉(zhuǎn)一圈，他離地面高度與旋轉(zhuǎn)時之間的關(guān)系可以近似地用來刻畫．如圖記錄了該摩天輪旋轉(zhuǎn)時和離地面高度的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可以推斷出：當小明乘坐此摩天輪離地面最高時，需要的時間為（）A． B． C． D．例10．在某種病毒的傳播過程中，每輪傳染平均人會傳染個人，若最初個人感染該病毒，經(jīng)過兩輪傳染，共有人感染．則與的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．例11．一人一盔安全守規(guī)，一人一帶平安常在！某商店銷售一批頭盔，售價為每頂80元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進價為每頂50元，則該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為（）元．A．60 B．65 C．70 D．75例12．某公司銷售一種藜麥，成本價為30元/千克，若以35元/千克的價格銷售，每天可售出450千克．當售價每漲0.5元/千克時，日銷售量就會減少15千克．設(shè)當日銷售單價為（元/千克）（，且是按0.5的倍數(shù)上漲），當日銷售量為（千克）．有下列說法：①當時，②與之間的函數(shù)關(guān)系式為③若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應定為42元/千克④若使日銷售利潤最大，銷售價格應定為40元/千克其中正確的是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④一、單選題1．一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．2．重裝專賣店銷售一種童裝，若這種童裝每天獲利y（元）與銷售單價x（元）滿足關(guān)系，則要想獲得最大利潤每天必須賣出（

）A．25件 B．20件 C．30件 D．40件3．長為，寬為的矩形，四個角上剪去邊長為的小正方形，然后把四邊折起來，作成底面為的無蓋的長方體盒子，則y與x的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．4．在中考體育訓練期間，小宇對自己某次實心球訓練的錄像進行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系式為，由此可知小宇此次實心球訓練的成績?yōu)椋ǎ〢．米 B．8米 C．10米 D．2米5．某市新建一座景觀橋．如圖，橋的拱肋可視為拋物線的一部分，橋面可視為水平線段，橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接，拱肋的跨度為40米，橋拱的最大高度為16米（不考慮燈桿和拱肋的粗細），則與的距離為5米的景觀燈桿的高度為（

）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米6．西安大雁塔音樂噴泉是西安的一張名片，許多人慕名前往．若其中一組噴泉水型可近似看成拋物線族，如圖出立坐標系后，可由函數(shù)確定，其中1為實數(shù)．若其中某個噴泉水柱的最大高度是4，則此時對應的t值為（）A．2 B．4 C．2或 D．4成7．如圖，一個滑道由滑坡（段）和緩沖帶（段）組成，如圖所示，滑雪者在滑坡上滑行的距離（單位：m）和滑行的時間（單位：s）滿足二次函數(shù)關(guān)系，并測得相關(guān)數(shù)據(jù)：滑雪者在緩沖帶上滑行的距離（單位：m），和在緩沖帶上滑行時間（單位：s）滿足：，滑雪者從A出發(fā)在緩沖帶上停止，一共用了24s，則滑坡的長度為（

）滑行時間01234滑行距離04.51428.548A．275米 B．384米 C．375米 D．270米8．足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：）與足球被踢出后經(jīng)過的時間t（單位：）之間的關(guān)系如下表：t01234567……h(huán)08141820201814……下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度為；②足球飛行路線的對稱軸是直線；③足球被踢出時落地；④足球被踢出時，距離地面的高度是，其中正確的結(jié)論有（

）個A．1 B．2 C．3 D．49．根據(jù)防疫的相關(guān)要求，學生入校需晨檢，體溫超標的同學須進入臨時隔離區(qū)進行留觀．某校要建一個長方形臨時隔離區(qū)，隔離區(qū)的一面利用學校邊墻（墻長5米），其它三面用防疫隔離材料搭建，但要開一扇1米寬的進出口（不需材料），共用防疫隔離材料10米搭建的隔離區(qū)的面積最大為（

）平方米．A． B．25 C． D．1510．某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：m）．有下列結(jié)論：①；②池底所在拋物線的解析式為；③池塘最深處到水面CD的距離為1.8m；④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．其中結(jié)論正確的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①④二、填空題11．加工爆米花時，爆開且不糊的顆粒的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率與加工時間（單位：）滿足函數(shù)表達式，則最佳加工時間為________．12．如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．13．如圖，某單位的圍墻由一段段形狀相同的拋物線形柵欄組成，為了牢固，每段柵欄間隔0.2米設(shè)置一根立柱（即AB間間隔0.2米的7根立柱）進行加固，若立柱EF的長為0.28米，則拱高OC為_____米14．在東京奧運會跳水比賽中，中國小花全紅嬋的表現(xiàn)，令人印象深刻．在正常情況下，跳水運動員進行10米跳臺訓練時，必須在距水面5米之前完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則容易出現(xiàn)失誤．假設(shè)某運動員起跳后第t秒離水面的高度為h米，且．那么為了避免出現(xiàn)失誤，這名運動員最多有_____秒時間，完成規(guī)定的翻騰動作．15．如圖所示，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同．正常水位時，大孔水面寬度為，頂點M距水面（即），小孔頂點N距水面（即）．當水位上漲到剛好淹沒小孔時，借助圖中的直角坐標系，可以得出此時大孔的水面寬度是_________m．16．小剛家裝有一種可調(diào)節(jié)淋浴噴頭高度的淋浴器，完全開啟后，水流近似呈拋物線狀，升降器AB和淋浴噴頭BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．剛開始時，OA＝140cm，水流所在的拋物線恰好經(jīng)過點A，拋物線落地點D和點O相距70cm．為了方便淋浴，淋浴器仍需完全處于開啟的狀態(tài)，且要求落地點和點O的距離增加10cm，則小剛應把升降器AB向上平移____________cm．17．一個玻璃杯豎直放置時的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線，為同一拋物線的一部分，，都與水平地面平行，當杯子裝滿水后，，液體高度，將杯子繞傾斜倒出部分液體，當傾斜角時停止轉(zhuǎn)動，如圖2所示，此時液面寬度________，液面到點所在水平地面的距離是________．18．“水晶晶南潯”的美食文化中以特有的雙交畫出名，盛面的瓷碗截面圖如圖1所示，碗體DEC呈拋物線狀（碗體厚度不計），點E是拋物線的頂點，碗底高EF＝1cm，碗底寬AB＝2cm，當瓷碗中裝滿面湯時，液面寬CD＝8cm，此時面湯最大深度EG＝6cm，將瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，如圖2，當∠ABK＝30°時停止，此時液面CH寬_____cm；碗內(nèi)面湯的最大深度是_____cm．三、解答題19．如圖，若被擊打的小球飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有的關(guān)系為，請根據(jù)要求解答下列問題：(1)在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是多少?(2)在飛行過程中，小球飛行高度何時最大?最大高度是多少?20．某架飛機著陸后滑行的距離（單位：）與滑行時間（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系．由電子監(jiān)測獲得滑行時間與滑行距離的幾組數(shù)據(jù)如下：滑行時間x/s滑行距離y/m(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出滿足的函數(shù)關(guān)系式；(2)飛機著陸后滑行多遠才能停下來？此時滑行的時間是多少？21．某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同。如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C、D為水柱的落水點，水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為．(1)求落水點C、D之間的距離；(2)若需在OD上離O點10米的E處豎立雕塑EF，，且雕塑的頂部剛好碰到水柱，求雕塑EF的高．22．如圖，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置，處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，水流噴出的高度與水平距離之間的關(guān)系式是．(1)噴頭離地面的高度是多少？(2)水流噴出的最大高度是多少？(3)若不計其他因素，水池的半徑至少為多少，才能使噴出的水流不落在池外？23．如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠程攻擊的武器，發(fā)射出去的石塊的運動軌跡是拋物線的一部分，且距離發(fā)射點20米時達到最大高度10米．將發(fā)石車置于山坡底部O處，山坡上有一點A，點A與點O的水平距離為30米，與地面的豎直距離為3米，AB是高度為3米的防御墻．若以點O為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系．(1)求石塊運動軌跡所在拋物線的解析式；(2)試通過計算說明石塊能否飛越防御墻AB；(3)在豎直方向上，試求石塊飛行時與坡面OA的最大距離．24．原地正面擲實心球是體育訓練項目之一、受測者站在起擲線后，被擲出的實心球進行斜拋運動，實心球著陸點到起擲線的距離即為此項目成績．實心球的運動軌跡可看作拋物線的一部分，如圖，建立平面直角坐標系，實心球從出手到著陸的過程中，豎直高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足函數(shù)關(guān)系（）．小明使用內(nèi)置傳感器的智能實心球進行擲實心球訓練．

(1)第一次訓練時，智能實心球回傳的水平距離x（m）與豎直高度y（m）的幾組對應數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m01234567豎直高度y/m求出y與x近似滿足的函數(shù)關(guān)系式，并求本次訓練的成績．(2)第二次訓練時，y與x近似滿足函數(shù)關(guān)系，則第二次訓練成績與第一次相比是否有提高？為什么？若有提高，提高了多少？25．過山車是一項富有刺激性的娛樂工具，深受年輕游客的喜愛．某游樂場修建了一款大型過山車．如圖所示，為這款過山車的一部分軌道（B為軌道最低點），它可以看成一段拋物線，其中米，米（軌道厚度忽略不計）．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)在軌道上有兩個位置P和C到地面的距離均為n米，當過山車運動到C處時，又進入下坡段（接口處軌道忽略不計，E為軌道最低點），已知軌道拋物線的形狀與拋物線完全相同，E點坐標為，求n的值；(3)現(xiàn)需要對軌道下坡段進行安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架，且要求，已知這種材料的價格是100000元/米，請計算多長時，造價最低？最低造價為多少元？26．如圖1，某橋拱截面可視為拋物線的一部分，以為坐標原點、所在直線為軸建立平面直角坐標系．在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬米，橋拱頂點到水面的距離是4米．

(1)①直接寫出、兩點的坐標：（），（）；②求拋物線對應的函數(shù)解析式；(2)要保證高米的小船能夠通過此橋（船頂與橋拱的距離不小于米），求小船的最大寬度是多少？(3)如圖2，橋拱所在的拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖像，將新函數(shù)圖像向右平移個單位長度，平移后的函數(shù)圖像在時，的值隨值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖像，直接寫出的取值范圍．一、單選題1．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，用繩子圍成周長為的矩形，記矩形的一邊長為，它的鄰邊長為，矩形的面積為．當在一定范圍內(nèi)變化時，和都隨的變化而變化，則與與滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

）A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系2．（2020·山西·統(tǒng)考中考真題）豎直上拋物體離地面的高度與運動時間之間的關(guān)系可以近似地用公式表示，其中是物體拋出時離地面的高度，是物體拋出時的速度．某人將一個小球從距地面的高處以的速度豎直向上拋出，小球達到的離地面的最大高度為（

）A． B． C． D．3．（2020·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同．當水面剛好淹沒小孔時，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當水位下降，大孔水面寬度為14米時，單個小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個小孔的水面寬度為（）A．4米 B．5米 C．2米 D．7米二、填空題4．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)物理學規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系是，當飛行時間t為___________s時，小球達到最高點．5．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進過程中形成的拋物線．按照圖中所示的平面直角坐標系，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的水平距離OA的長是_____m．6．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的關(guān)系如圖所示，當時，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的最大利潤為______________元（利潤=總銷售額-總成本）．三、解答題7．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗，市場上豬肉粽進價比豆沙粽進價每盒貴10元，一盒豬肉粽加兩盒豆沙粽進價為100元．(1)求每盒豬肉粽和豆沙粽的進價；(2)在銷售中，某商家發(fā)現(xiàn)當每盒豬肉粽售價為50元時，每天可售出100盒，若每盒售價提高1元，則每天少售出2盒．設(shè)每盒豬肉粽售價為元，銷售豬肉粽的利潤為元，求該商家每天銷售豬肉粽獲得的最大利潤．第06講二次函數(shù)的應用-實際應用一、列二次函數(shù)解應用題列二次函數(shù)解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式．對于應用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．(2)設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準確．(3)列函數(shù)表達式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應的問題。(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案．(6)寫出答案．要點：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.二、建立二次函數(shù)模型求解實際問題一般步驟：(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點的坐標，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．要點：(1)利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.(2)對于本節(jié)的學習，應由低到高處理好如下三個方面的問題：①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；②學會從實際問題中建立二次函數(shù)的模型；③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實際問題.例1．一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】原價為100萬元，一年后的價格是100×（1-x），二年后的價格是為：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，則函數(shù)解析式求得．解：由題意得：二年后的價格是為：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，則函數(shù)解析式是：y=100（1-x）2．故選A．【點睛】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式的知識，需注意第二年的價位是在第一年的價位的基礎(chǔ)上降價的．例2．長為，寬為的矩形，四個角上剪去邊長為的小正方形，然后把四邊折起來，作成底面為的無蓋的長方體盒子，則y與x的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用現(xiàn)有一塊長20cm、寬10cm的矩形，將它的四個角各剪去一個邊長為xcm的小正方形，則底面長與寬均減少2xcm，表示出無蓋的長方體盒子底邊的長，進而得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．解：設(shè)小正方形邊長為xcm，由題意知：現(xiàn)在底面長為（20-2x）cm，寬為（10-2x）cm，則y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），故選：C．【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，表示出長方體盒子底邊的長與寬是解題關(guān)鍵．例3．重裝專賣店銷售一種童裝，若這種童裝每天獲利y（元）與銷售單價x（元）滿足關(guān)系，則要想獲得最大利潤每天必須賣出（

）A．25件 B．20件 C．30件 D．40件【答案】A【解析】【分析】將函數(shù)解析式配方成頂點式后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．解：∵y=-x2+50x-500=-（x-25）2+125，∴當x=25時，y取得最大值，最大值為125，即銷售單價為25元時，銷售利潤最大，故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是熟練將二次函數(shù)的一般式化為頂點式的能力及掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．例4．在中考體育訓練期間，小宇對自己某次實心球訓練的錄像進行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系式為，由此可知小宇此次實心球訓練的成績?yōu)椋ǎ〢．米 B．8米 C．10米 D．2米【答案】B【解析】【分析】小宇此次實心球訓練的成績就是拋物線，與x軸交點的橫坐標，即當y＝0時，求x的值即可．解：當y＝0時，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次實心球訓練的成績?yōu)?米，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用中函數(shù)式中變量與函數(shù)表達的實際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵．例5．如圖，某農(nóng)場擬建一間矩形奶牛飼養(yǎng)室，打算一邊利用房屋現(xiàn)有的墻（墻足夠長），其余三邊除大門外用柵欄圍成，柵欄總長度為50m，門寬為2m．若飼養(yǎng)室長為xm，占地面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)表達式為（）A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)題意表示出垂直與墻飼養(yǎng)室的一邊長，再利用矩形面積求法得出答案．解：y關(guān)于x的函數(shù)表達式為：y（50+2﹣x）xx2+26x（2≤x＜52）．故選：A．【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系，正確表示出另一邊長是解題關(guān)鍵．例6．下表所列為某商店薄利多銷的情況，某商品原價為元，隨著不同幅度的降價，日銷量（單位為件）發(fā)生相應的變化．如果售價為元時，日銷量為（

）件．降價（元）日銷量（件）A．1200 B．750 C．1110 D．1140【答案】C【解析】【分析】由題意根據(jù)表中的數(shù)據(jù)分析得，每降元，銷售量增加件，就可求出降元時的銷售量，以此進行分析即可．解：由表中數(shù)據(jù)得，每降元，銷售量增加件，即每降元，銷售量增加件，降元時，銷售量為（件）．故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用以及二次函數(shù)的應用：在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解答此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式．例7．一位運動員在距籃筐正下方水平距離處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為時，達到最大高度，然后準確落入籃筐．如圖所示，建立平面直角坐標系，已知籃筐中心到地面的距離為，該運動員身高，在這次跳投中，球在頭頂上方處出手，球出手時，他跳離地面的高度是()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)拋物線的表達式為y=ax2+3.5，依題意可知圖象經(jīng)過的坐標，由此可得a的值，設(shè)球出手時，他跳離地面的高度為hm，則可得h+2.15=-0.2×（-2.5）2+3.5．∵當球運行的水平距離為時，達到最大高度，∴拋物線的頂點坐標為，∴設(shè)拋物線的解析式為．由題意知圖象過點，∴，解得，拋物線的解析式為．設(shè)球出手時，他跳離地面的高度為．∵拋物線的解析式為，球出手時，球的高度為．∴，∴．故選：A．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，建立合適的平面直角坐標系是解決本題的突破點，求得二次函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．例8．如圖，花壇水池中央有一噴泉，水管OP=3m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀先向上至最高點后落下，若最高點距水面4m，P距拋物線對稱軸1m，則為使水不落到池外，水池半徑最小為（）A．1 B．1.5C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】首先建立坐標系，然后利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，然后令y=0，即可求解．如圖建立坐標系：拋物線的頂點坐標是（1，4），設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-1）2+4，把（0，3）代入解析式得：a+4=3，解得：a=-1，則拋物線的解析式是：y=-（x-1）2+4，當y=0時，-（x-1）2+4=0，解得：x1=3，x2=-1（舍去），則水池的最小半徑是3米．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是本題的關(guān)鍵．例9．小明周末前往游樂園游玩，他乘坐了摩天輪，摩天輪轉(zhuǎn)一圈，他離地面高度與旋轉(zhuǎn)時之間的關(guān)系可以近似地用來刻畫．如圖記錄了該摩天輪旋轉(zhuǎn)時和離地面高度的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可以推斷出：當小明乘坐此摩天輪離地面最高時，需要的時間為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】把已知點的坐標代入函數(shù)解析式，求得b，c的值，可得函數(shù)解析式，再由二次函數(shù)求最值．解：把（160，60），（190，67.5）分別代入，可得，解得：，則，∵，∴當時，有最大值，∴當小明乘坐此摩天輪離地面最高時，需要的時間為s，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學會構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，是基礎(chǔ)題．例10．在某種病毒的傳播過程中，每輪傳染平均人會傳染個人，若最初個人感染該病毒，經(jīng)過兩輪傳染，共有人感染．則與的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】用含有x的代數(shù)式分別表示出每輪傳染的人數(shù)和總?cè)藬?shù)即可得解.∵每輪傳染平均人會傳染個人，∴2人感染時，一輪可傳染2x人，∴一輪感染的總?cè)藬?shù)為2x+2=2(1+x)人；∵每輪傳染平均人會傳染個人，∴2(1+x)人感染時，二輪可傳染2(1+x)x人，∴二輪感染的總?cè)藬?shù)為[2(1+x)+2(1+x)x]=人；∴，故選A.【點睛】本題考查了平均增長問題，準確表示每一輪傳染的人數(shù)是解題的關(guān)鍵.例11．一人一盔安全守規(guī)，一人一帶平安常在！某商店銷售一批頭盔，售價為每頂80元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進價為每頂50元，則該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為（）元．A．60 B．65 C．70 D．75【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可以先設(shè)出每頂頭盔降價x元，利潤為w元，然后根據(jù)題意可以得到w與x的函數(shù)關(guān)系式，再將函數(shù)解析式化為頂點式，即可得到降價多少元時，w取得最大值，從而可以得到該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價．解：每頂頭盔降價x元，利潤為w元，由題意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，∴當x＝10時，w取得最大值，此時80﹣x＝70，即該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為70元，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，準確計算是解題的關(guān)鍵．例12．某公司銷售一種藜麥，成本價為30元/千克，若以35元/千克的價格銷售，每天可售出450千克．當售價每漲0.5元/千克時，日銷售量就會減少15千克．設(shè)當日銷售單價為（元/千克）（，且是按0.5的倍數(shù)上漲），當日銷售量為（千克）．有下列說法：①當時，②與之間的函數(shù)關(guān)系式為③若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應定為42元/千克④若使日銷售利潤最大，銷售價格應定為40元/千克其中正確的是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)利潤的關(guān)系逐一判斷即可；當時，，故①正確；由題意得：，故②正確；日銷售利潤為，由題意得：，整理得：，解得：，，∵銷售單價為38元/千克時的銷售量比銷售單價為42元/千克時大，∴不合題意，即若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應定為38元/千克，故③錯誤；由上問可知：，即，∵，∴當時，，即若使日銷售利潤最大，銷售價格應定為40元/千克，故④正確；故正確的是①②④；故答案選B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，準確計算是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】原價為100萬元，一年后的價格是100×（1-x），二年后的價格是為：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，則函數(shù)解析式求得．【解析】解：由題意得：二年后的價格是為：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，則函數(shù)解析式是：y=100（1-x）2．故選A．【點睛】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式的知識，需注意第二年的價位是在第一年的價位的基礎(chǔ)上降價的．2．重裝專賣店銷售一種童裝，若這種童裝每天獲利y（元）與銷售單價x（元）滿足關(guān)系，則要想獲得最大利潤每天必須賣出（

）A．25件 B．20件 C．30件 D．40件【答案】A【分析】將函數(shù)解析式配方成頂點式后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．【解析】解：∵y=-x2+50x-500=-（x-25）2+125，∴當x=25時，y取得最大值，最大值為125，即銷售單價為25元時，銷售利潤最大，故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是熟練將二次函數(shù)的一般式化為頂點式的能力及掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．3．長為，寬為的矩形，四個角上剪去邊長為的小正方形，然后把四邊折起來，作成底面為的無蓋的長方體盒子，則y與x的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用現(xiàn)有一塊長20cm、寬10cm的矩形，將它的四個角各剪去一個邊長為xcm的小正方形，則底面長與寬均減少2xcm，表示出無蓋的長方體盒子底邊的長，進而得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【解析】解：設(shè)小正方形邊長為xcm，由題意知：現(xiàn)在底面長為（20-2x）cm，寬為（10-2x）cm，則y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），故選：C．【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，表示出長方體盒子底邊的長與寬是解題關(guān)鍵．4．在中考體育訓練期間，小宇對自己某次實心球訓練的錄像進行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系式為，由此可知小宇此次實心球訓練的成績?yōu)椋ǎ〢．米 B．8米 C．10米 D．2米【答案】B【分析】小宇此次實心球訓練的成績就是拋物線，與x軸交點的橫坐標，即當y＝0時，求x的值即可．【解析】解：當y＝0時，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次實心球訓練的成績?yōu)?米，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用中函數(shù)式中變量與函數(shù)表達的實際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵．5．某市新建一座景觀橋．如圖，橋的拱肋可視為拋物線的一部分，橋面可視為水平線段，橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接，拱肋的跨度為40米，橋拱的最大高度為16米（不考慮燈桿和拱肋的粗細），則與的距離為5米的景觀燈桿的高度為（

）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米【答案】C【分析】以所在直線為x軸、所在直線為y軸建立坐標系，可設(shè)該拋物線的解析式為，將點B坐標代入求得拋物線解析式，再求當時y的值即可．【解析】解：建立如圖所示平面直角坐標系，設(shè)拋物線表達式為，由題意可知，B的坐標為，∴，∴，∴，∴當時，．答：與距離為5米的景觀燈桿的高度為15米，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式的知識，建立合適的平面直角坐標系是解題的關(guān)鍵．6．西安大雁塔音樂噴泉是西安的一張名片，許多人慕名前往．若其中一組噴泉水型可近似看成拋物線族，如圖出立坐標系后，可由函數(shù)確定，其中1為實數(shù)．若其中某個噴泉水柱的最大高度是4，則此時對應的t值為（）A．2 B．4 C．2或 D．4成【答案】C【分析】由可得其對稱軸為：，當時，，即有，解方程即可求解．【解析】由可得其對稱軸為：，根據(jù)，可知：當時，，即有：，解得：，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及二次函數(shù)的應用等知識，明確題意，得出當時，，是解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，一個滑道由滑坡（段）和緩沖帶（段）組成，如圖所示，滑雪者在滑坡上滑行的距離（單位：m）和滑行的時間（單位：s）滿足二次函數(shù)關(guān)系，并測得相關(guān)數(shù)據(jù)：滑雪者在緩沖帶上滑行的距離（單位：m），和在緩沖帶上滑行時間（單位：s）滿足：，滑雪者從A出發(fā)在緩沖帶上停止，一共用了24s，則滑坡的長度為（

）滑行時間01234滑行距離04.51428.548A．275米 B．384米 C．375米 D．270米【答案】D【分析】由滑行時間為0時，滑行距離為0可得，故設(shè)，取兩組數(shù)據(jù)代入，求出解析式，滑雪者在段對應的二次函數(shù)取得最大值時即為滑雪者停下時，由此求出滑雪者在段的滑行時間，即可得出在段的滑行時間，最后代入函數(shù)解析式求出段的長度即可．【解析】解：由滑行時間為0時，滑行距離為0可得，設(shè)，取兩組數(shù)據(jù)代入可得：，解得：，，滑雪者在緩沖帶上滑行時間為：s，滑雪者在滑坡上滑行時間為：s，令，，滑坡的長度為270米．故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，滑雪者在段對應的二次函數(shù)取得最大值時即為滑雪者停下時，由此求出滑雪者在段的滑行時間是解題關(guān)鍵．8．足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：）與足球被踢出后經(jīng)過的時間t（單位：）之間的關(guān)系如下表：t01234567……h(huán)08141820201814……下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度為；②足球飛行路線的對稱軸是直線；③足球被踢出時落地；④足球被踢出時，距離地面的高度是，其中正確的結(jié)論有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意，拋物線經(jīng)過，所以可以假設(shè)拋物線的解析式為，把代入可得，可得，由此即可一一判斷．【解析】解：∵當和時，h的值相同，∴拋物線的對稱軸為直線，故②正確；∵當時，，∴當時，，即足球被踢出時落地，故③錯誤；∴可設(shè)拋物線的解析式為，把代入得解得，∴，∴足球距離地面的最大高度為，故①正確，∴足球被踢出時落地，故③錯誤，∵時，，故④正確．∴正確的有①②④，共3個，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用、求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．9．根據(jù)防疫的相關(guān)要求，學生入校需晨檢，體溫超標的同學須進入臨時隔離區(qū)進行留觀．某校要建一個長方形臨時隔離區(qū)，隔離區(qū)的一面利用學校邊墻（墻長5米），其它三面用防疫隔離材料搭建，但要開一扇1米寬的進出口（不需材料），共用防疫隔離材料10米搭建的隔離區(qū)的面積最大為（

）平方米．A． B．25 C． D．15【答案】C【分析】設(shè)這個隔離區(qū)一邊AB長為x米，則另一邊BC長為（10-x+1）米，根據(jù)隔離區(qū)面積為S平方米，列出二次函數(shù)表達式，配方后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解析】設(shè)這個隔離區(qū)一邊AB長為x米，則另一邊BC長為（10-x+1）米，依題意，隔離區(qū)的面積為S=x?（10-x+1）=-x2+x=-（x-）2+，∵-＜0，∴當x=時，隔離區(qū)有最大面積，最大面積為平方米，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出二次函數(shù)表達式．10．某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：m）．有下列結(jié)論：①；②池底所在拋物線的解析式為；③池塘最深處到水面CD的距離為1.8m；④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．其中結(jié)論正確的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①④【答案】B【分析】根據(jù)兩點距離公式可計算AB長度，由圖像可知拋物線的對稱軸和點坐標，設(shè)出拋物線解析式，將已知點坐標代入即可得出拋物線方程，進而逐項判斷即可．【解析】①由題可知，AB=15－（﹣15）=30m，則①錯誤；②對稱軸為y軸，交y軸于點(0，﹣5)，設(shè)函數(shù)解析式為,將點(15,0)代入解析式得，解得，池底所在拋物線解析式為，則②正確；③將代入解析式得，解得，則池塘最深處到水面CD的距離為m,則③錯誤；④設(shè)原寬度為時最深處到水面的距離為m，寬度減少為原來的一半時距離為m，故④正確，所以①、③錯誤，②、④正確，選項B正確，符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了拋物線的圖像與性質(zhì)的實際應用，關(guān)鍵是結(jié)合圖像設(shè)出適當?shù)慕馕鍪?，利用待定系?shù)法求解．二、填空題11．加工爆米花時，爆開且不糊的顆粒的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率與加工時間（單位：）滿足函數(shù)表達式，則最佳加工時間為________．【答案】3.75【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式直接計算即可．【解析】解：∵的對稱軸為（min），故：最佳加工時間為3.75min，故答案為：3.75．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應用，涉及求頂點坐標、對稱軸方程等，記住拋物線頂點公式是解題關(guān)鍵．12．如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．【答案】10【分析】成績就是當高度y=0時x的值，所以解方程可求解．【解析】解：當y=0時，，解得：（不合題意，舍去），所以推鉛球的距離是10米；故答案為：10．【點睛】本題考查了把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，滲透了函數(shù)與方程相結(jié)合的解題思想方法．13．如圖，某單位的圍墻由一段段形狀相同的拋物線形柵欄組成，為了牢固，每段柵欄間隔0.2米設(shè)置一根立柱（即AB間間隔0.2米的7根立柱）進行加固，若立柱EF的長為0.28米，則拱高OC為_____米【答案】0.64【分析】根據(jù)拋物線，建立直角坐標系，求出拋物線解析式，即可求得OC的長．【解析】解：如圖，以點C為坐標系原點，OC所在直線為y軸，建立直角坐標系．設(shè)拋物線的解析式為，由題意可知：點A的橫坐標為－0.8，點F的橫坐標為－0.6，代入，有，，點A的縱坐標即為OC的長，∴0.36a＋0.28＝0.64a，解得a＝1，∴拋物線解析式為，，故OC的長為：0.64m．【點睛】本題考查根據(jù)拋物線構(gòu)建直角坐標系，解決實際問題，熟練掌握二次函數(shù)相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．14．在東京奧運會跳水比賽中，中國小花全紅嬋的表現(xiàn)，令人印象深刻．在正常情況下，跳水運動員進行10米跳臺訓練時，必須在距水面5米之前完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則容易出現(xiàn)失誤．假設(shè)某運動員起跳后第t秒離水面的高度為h米，且．那么為了避免出現(xiàn)失誤，這名運動員最多有_____秒時間，完成規(guī)定的翻騰動作．【答案】/1.5【分析】根據(jù)題意，令，解一元二次方程求解即可．【解析】依題意整理得即解得（不符合題意，舍）故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，讀懂題意將代入關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．15．如圖所示，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同．正常水位時，大孔水面寬度為，頂點M距水面（即），小孔頂點N距水面（即）．當水位上漲到剛好淹沒小孔時，借助圖中的直角坐標系，可以得出此時大孔的水面寬度是_________m．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法求出大孔拋物線的解析式，然后根據(jù)NC的長即可求出點E、F的坐標，從而求出結(jié)論．【解析】解：設(shè)大孔拋物線的解析式為，把點解析式，得，解得，因此大孔拋物線的解析式為；由，可知點F的縱坐標為4，代入解析式，解得．所以，所以．故答案為：．【點睛】此題考查的是二次函數(shù)的應用，掌握實際問題中的等量關(guān)系和利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解決此題的關(guān)鍵．16．小剛家裝有一種可調(diào)節(jié)淋浴噴頭高度的淋浴器，完全開啟后，水流近似呈拋物線狀，升降器AB和淋浴噴頭BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．剛開始時，OA＝140cm，水流所在的拋物線恰好經(jīng)過點A，拋物線落地點D和點O相距70cm．為了方便淋浴，淋浴器仍需完全處于開啟的狀態(tài)，且要求落地點和點O的距離增加10cm，則小剛應把升降器AB向上平移____________cm．【答案】60【分析】過點C作延長線于點E，先求出BE的長，再以點O為原點，OA為y軸正方向，OD為x軸正方向，以1cm為一個單位，建立直角坐標系，得出A、C、D的坐標，用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再把拋物線向上平移k個單位，再把坐標代入解析式求出k的值即可．【解析】解：過點C作延長線于點E，cm以點O為原點，OA為y軸正方向，OD為x軸正方向，以1cm為一個單位，建立直角坐標系，則設(shè)此時拋物線解析式為：代入點得，，整理得，解得設(shè)小剛應把升降器向上平移kcm，即將拋物線向上平移k個單位，則拋物線解析式為：將代入解析式得，即小剛應把升降器向上平移60cm故答案為：60【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，關(guān)鍵是根據(jù)實際情況建立直角坐標系，用待定系數(shù)法求解析式．17．一個玻璃杯豎直放置時的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線，為同一拋物線的一部分，，都與水平地面平行，當杯子裝滿水后，，液體高度，將杯子繞傾斜倒出部分液體，當傾斜角時停止轉(zhuǎn)動，如圖2所示，此時液面寬度________，液面到點所在水平地面的距離是________．【答案】【分析】建立以拋物線對稱軸為y軸，以DC為x軸的平面直角坐標系，作∠ABE=45°，交拋物線于E，交x軸于F點，過B作于M點．分別求出拋物線、直線BE的解析式，以及E點坐標，利用長度公式及勾股定理，勾股逆定理即可得出答案．【解析】解：依題意建立如圖平面直角坐標系，作∠ABE=45°，交拋物線于E，交x軸于F點，過B作于M點，依題意得：，BM=12，設(shè)拋物線的解析式為：把A、B、C點坐標代入得：∴∴∴∵∴∵∴∴∵∴設(shè)直線BF的解析式為：把B、M點坐標代入得：∴∴∵∴∴∵∴∴∵∴又∵∴∴∴C到點BE的距離為：故圖2中液面到點所在水平地面的距離是故答案為：，【點睛】本題考查了二次函數(shù)與實際問題的應用，計算量較大，需要學生熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，以及利用勾股逆定理來判別直角三角形．18．“水晶晶南潯”的美食文化中以特有的雙交畫出名，盛面的瓷碗截面圖如圖1所示，碗體DEC呈拋物線狀（碗體厚度不計），點E是拋物線的頂點，碗底高EF＝1cm，碗底寬AB＝2cm，當瓷碗中裝滿面湯時，液面寬CD＝8cm，此時面湯最大深度EG＝6cm，將瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，如圖2，當∠ABK＝30°時停止，此時液面CH寬_____cm；碗內(nèi)面湯的最大深度是_____cm．【答案】【分析】以F為原點，直線AB為x軸，直線EF為y軸，建立平面直角坐標系，得出E、C的坐標用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，將瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當∠ABK=30時停止，所以旋轉(zhuǎn)前CH與水平方向的夾角為30°，即∠DCH=30°，求出CH與y軸的交點坐標G，把點C、G代入求出直線CH的解析式，聯(lián)立兩個函數(shù)求出交點坐標，用兩點間的距離公式求出CH的長度；將直線CH向下平移與拋物線只有一個交點時，兩直線間的距離最短，利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題求出平移后的函數(shù)解析式，作GJ⊥l1，得出直角三角形，求出兩條直線間的距離即為碗內(nèi)面湯的最大深度是．【解析】以F為原點，直線AB為x軸，直線EF為y軸，建立平面直角坐標系，如圖：由題意知：F（0，0），E（0，1），C（，7），D（，7），設(shè)拋物線的解析式為：，把點C（，7）代入得，，解得：a＝，∴，將瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當∠ABK＝30°時停止，所以旋轉(zhuǎn)前CH與水平方向的夾角為30°，即∠DCH＝30°，設(shè)直線CH的解析式為y＝kx+b，與y軸交于點G，如圖：由題意知：點C（，7），∵∠DCH＝30°，CK＝，∴KG＝tan30°＝4，∴FG＝3，即點G（0，3），∴，解得：，∴直線CH的解析式為：y＝x+3，由，解得或，∴H（，），∴CH＝．把直線CH：y＝x+3，向下平移m個單位得到直線：y＝，當直線與拋物線只有一個交點時，兩平行線之間的距離最大，過G作GJ⊥，交于點J，與y軸交于點M，GJ的長即為碗內(nèi)面湯的最大深度，聯(lián)立，整理為：，∵只要一個交點，∴Δ＝0，即，解得：，∴直線l1的解析式為：，∴點M（0，），GM＝3﹣＝，∵CH與水平面的夾角為30°，∴直線與水平面的夾角為30°，即∠MGJ＝30°，∴在Rt△GMJ中，GJ＝GMcos30°＝，即碗內(nèi)面湯的最大深度為：，故答案為：，．【點睛】題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)以及直角三角形在實際生活中的應用，建立合適的直角坐標系和待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，若被擊打的小球飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有的關(guān)系為，請根據(jù)要求解答下列問題：(1)在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是多少?(2)在飛行過程中，小球飛行高度何時最大?最大高度是多少?【答案】(1)4s；(2)小球飛行2秒時高度最大，最大高度是20m．【分析】（1）落地即，由題意得：，即可解得的取值．（2）將函數(shù)解析式配方成頂點式可得最值；【解析】（1）解：由題意得：，解得：（不合題意舍去），，答：在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是4s．（2）解：，當時，取得最大值m；答：在飛行過程中，小球飛行2秒時高度最大，最大高度是20m．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，主要考查了二次函數(shù)的最值問題，以及利用二次函數(shù)圖象求不等式，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．某架飛機著陸后滑行的距離（單位：）與滑行時間（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系．由電子監(jiān)測獲得滑行時間與滑行距離的幾組數(shù)據(jù)如下：滑行時間x/s滑行距離y/m(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出滿足的函數(shù)關(guān)系式；(2)飛機著陸后滑行多遠才能停下來？此時滑行的時間是多少？【答案】(1)(2)飛機著陸后滑行才能停下來，此時滑行的時間是【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，當滑行距離取最大值時求出對應的滑行時間即可．【解析】（1）解：根據(jù)表格可以得出函數(shù)圖像過點，，∴，解得：，∴函數(shù)關(guān)系式為：．（2）根據(jù)題意，飛機著陸后滑行一段距離停下來，此時滑行距離取得最大值，∵函數(shù)關(guān)系式為，且，當時，最大值，∴飛機著陸后滑行才能停下來，此時滑行的時間是．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．21．某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同。如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C、D為水柱的落水點，水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為．(1)求落水點C、D之間的距離；(2)若需在OD上離O點10米的E處豎立雕塑EF，，且雕塑的頂部剛好碰到水柱，求雕塑EF的高．【答案】(1)22米(2)雕塑EF的高為米【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點D的坐標，進而可得出OD的長度，由噴出的水柱為拋物線且形狀相同，可得出OC的長，結(jié)合CD＝OC+OD即可求出落水點C，D之間的距離；（2）代入x＝10求出y值即可．【解析】（1）解：當y＝0時，，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴點D的坐標為（11，0），∴OD＝11m．∵從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．（2）解：∵，，當x＝10時，，∴點F（10，）∴雕塑EF的高為米．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，求出點D的坐標；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，求出拋物線上橫坐標為10的點的坐標．22．如圖，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置，處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，水流噴出的高度與水平距離之間的關(guān)系式是．(1)噴頭離地面的高度是多少？(2)水流噴出的最大高度是多少？(3)若不計其他因素，水池的半徑至少為多少，才能使噴出的水流不落在池外？【答案】(1)(2)(3)當米時，水流不落在池外【分析】（1）噴頭離地面的高度是二次函數(shù)與的交點，由此即可求解；（2）水流噴出的最大高度是二次函數(shù)的頂點坐標的縱坐標，由此即可求解；（3）水池的半徑是當二次函數(shù)時，自變量的值，由此即可求解．【解析】（1）解：根據(jù)題意得，，當時，，∴噴頭離地面的高度是米．（2）解：，∴二次函數(shù)的頂點坐標是，∴水流噴出的最大高度是米．（3）解：原二次函數(shù)變形得，，即，解方程得，，，∵，∴，即當米時，水流不落在池外．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)一實際問題的綜合應用，掌握二次函數(shù)圖像的特點是解題的關(guān)鍵．23．如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠程攻擊的武器，發(fā)射出去的石塊的運動軌跡是拋物線的一部分，且距離發(fā)射點20米時達到最大高度10米．將發(fā)石車置于山坡底部O處，山坡上有一點A，點A與點O的水平距離為30米，與地面的豎直距離為3米，AB是高度為3米的防御墻．若以點O為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系．(1)求石塊運動軌跡所在拋物線的解析式；(2)試通過計算說明石塊能否飛越防御墻AB；(3)在豎直方向上，試求石塊飛行時與坡面OA的最大距離．【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）(2)能飛越，理由見解析(3)8.1米【分析】（1）設(shè)石塊運行的函數(shù)關(guān)系式為y＝a（x﹣20）2+10，用待定系數(shù)法求得a的值即可求得答案；（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，與6作比較即可；（3）用待定系數(shù)法求得OA的解析式為y＝x，設(shè)拋物線上一點P（t，﹣t2+t），過點P作PQ⊥x軸，交OA于點Q，則Q（t，t），用含t的式子表示出d關(guān)于t的表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；【解析】（1）解：設(shè)石塊的運動軌跡所在拋物線的解析式為y＝a（x﹣20）2＋10．把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）．（2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5．∵7.5＞3＋3，∴石塊能飛越防御墻AB．（3）解：設(shè)直線OA的解析式為y＝kx（k≠0）．把（30，3）代入，得3＝30k，∴k＝．故直線OA的解析式為y＝x．設(shè)直線OA上方的拋物線上的一點P的坐標為（t，﹣t2＋t）．過點P作PQ⊥x軸，交OA于點Q，則Q（t，t）．∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1．∴當t＝18時，PQ取最大值，最大值為8.1．答：在豎直方向上，石塊飛行時與坡面OA的最大距離是8.1米．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．原地正面擲實心球是體育訓練項目之一、受測者站在起擲線后，被擲出的實心球進行斜拋運動，實心球著陸點到起擲線的距離即為此項目成績．實心球的運動軌跡可看作拋物線的一部分，如圖，建立平面直角坐標系，實心球從出手到著陸的過程中，豎直高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足函數(shù)關(guān)系（）．小明使用內(nèi)置傳感器的智能實心球進行擲實心球訓練．

(1)第一次訓練時，智能實心球回傳的水平距離x（m）與豎直高度y（m）的幾組對應數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m01234567豎直高度y/m求出y與x近似滿足的函數(shù)關(guān)系式，并求本次訓練的成績．(2)第二次訓練時，y與x近似滿足函數(shù)關(guān)系，則第二次訓練成績與第一次相比是否有提高？為什么？若有提高，提高了多少？【答案】(1)y與x的函數(shù)關(guān)系式為；本次訓練的成績?yōu)椋?2)第二次訓練成績與第一次相比有提高，提高了．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，令即可求得本次訓練的成績；（2）令即可求得第二次訓練的成績，與第一次比較即可求解．【解析】（1）解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，把，，代入得，，解得，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為；當時，，即，解得或(負值不符合題意，舍去)，∴本次訓練的成績?yōu)椋唬?）解：解方程，整理得，即，解得或(負值不符合題意，舍去)，∴本次訓練的成績?yōu)?；，且，答：第二次訓練成績與第一次相比有提高，提高了．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．25．過山車是一項富有刺激性的娛樂工具，深受年輕游客的喜愛．某游樂場修建了一款大型過山車．如圖所示，為這款過山車的一部分軌道（B為軌道最低點），它可以看成一段拋物線，其中米，米（軌道厚度忽略不計）．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)在軌道上有兩個位置P和C到地面的距離均為n米，當過山車運動到C處時，又進入下坡段（接口處軌道忽略不計，E為軌道最低點），已知軌道拋物線的形狀與拋物線完全相同，E點坐標為，求n的值；(3)現(xiàn)需要對軌道下坡段進行安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架，且要求，已知這種材料的價格是100000元/米，請計算多長時，造價最低？最低造價為多少元？【答案】(1)(2)(3)當為米時，造價最低，最低造價為2356000元【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求得，推出，得到，據(jù)此即可求解；（3）設(shè)，得到l關(guān)于a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解析】（1）解：由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，把代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：∵米，E點坐標為，∴，∵P和C到地面的距離均為n米，且P，C在拋物線上，∴P，C關(guān)于直線對稱．∵C為兩條形狀完全相同的拋物線與的交點，∴拋物線由拋物線向右平移20個單位得到，∴，∴，將代入得∴；（3）解：∵，設(shè)，則，，∴，∵，∴開口向上，∴當時，最短，最短為23.56．（元）∴當為米時，造價最低，最低造價為2356000元．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用以及平移的性質(zhì)，關(guān)鍵用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題．26．如圖1，某橋拱截面可視為拋物線的一部分，以為坐標原點、所在直線為軸建立平面直角坐標系．在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬米，橋拱頂點到水面的距離是4米．

(1)①直接寫出、兩點的坐標：（），（）；②求拋物線對應的函數(shù)解析式；(2)要保證高米的小船能夠通過此橋（船頂與橋拱的距離不小于米），求小船的最大寬度是多少？(3)如圖2，橋拱所在的拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖像，將新函數(shù)圖像向右平移個單位長度，平移后的函數(shù)圖像在時，的值隨值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖像，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①，②(2)米(3)【解析】（1）①∵，且點A在x軸上，∴，根據(jù)拋物線的特點確定拋物線的對稱軸為直線，∴點，故答案為：，．②設(shè)拋物線的解析式為，把原點代入得，解得，∴此二次函數(shù)的表達式．（2）∵二次函數(shù)的表達式，令得：，解得：，，∴小船的最大寬度為：米．（3）根據(jù)平移規(guī)律得到點O平移后的對應點為，對稱軸平移后的對稱軸為，點A平移后的對應點為，根據(jù)圖像性質(zhì)，得到函數(shù)在上，滿足y隨x的增大而減小，∴或，解得或（舍去），故n的取值范圍是．

【點睛】本題考查了拋物線的解析式，拋物線的平移，函數(shù)的增減性，拋物線的應用，熟練掌握拋物線的平移，函數(shù)的增減性，拋物線的應用是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，用繩子圍成周長為的矩形，記矩形的一邊長為，它的鄰邊長為，矩形的面積為．當在一定范圍內(nèi)變化時，和都隨的變化而變