任意角的三角函數(shù)教案

任意角的三角函數(shù)教案

任意角的三角函數(shù)教案1

一、教學目標

1、掌握任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義(包括定義域、

正負符號判斷);了解任意角的余切、正割、余割函數(shù)的.定義。

2、經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過度到任意角三角函數(shù)定義的

推廣過程,體驗三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程、領(lǐng)悟直角坐標

系的工具功能,豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗。

3、培養(yǎng)學生通過現(xiàn)象看本質(zhì)的唯物主義認識論觀點,滲透事

物相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義世界觀。

4、培養(yǎng)學生求真務(wù)實、實事求是的科學態(tài)度。

二、重點、難點、關(guān)鍵

重點:任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義、定義域、(正

負)符號判斷法。

難點:把三角函數(shù)理解為以實數(shù)為自變量的函數(shù)。

關(guān)鍵:如何想到建立直角坐標系;六個比值的確定性(α確

定,比值也隨之確定)與依賴性(比值隨著α的變化而變化)。

三、教學理念和方法

教學中注意用新課程理念處理傳統(tǒng)教材,學生的數(shù)學學習活

動不僅要接受、記憶、模仿和練習,而且要自主探索、動手實踐、

合作交流、閱讀自學,師生互動,教師發(fā)揮組織者、引導者、合作

者的作用,引導學生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。

根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學生認知特點和我自己的教學風格,

本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學。

四、教學過程

[執(zhí)教線索:

回想再認:函數(shù)的概念、銳角三角函數(shù)定義(銳角三角形邊角

關(guān)系)——問題情境:能推廣到任意角嗎?——它山之石:建立直

角坐標系(為何?)——優(yōu)化認知:用直角坐標系研究銳角三角函

數(shù)——探索發(fā)展:對任意角研究六個比值(與角之間的關(guān)系:確定

性、依賴性,滿足函數(shù)定義嗎?)——自主定義:任意角三角函數(shù)定

義——登高望遠:三角函數(shù)的要素分析(對應法則、定義域、值域

與正負符號判定)——例題與練習回顧小結(jié)——布置作業(yè)]

(一)復習引入、回想再認

開門見山,面對全體學生提問:

在初中我們初步學習了銳角三角函數(shù),前幾節(jié)課,我們把銳

角推廣到了任意角,學習了角度制和弧度制,這節(jié)課該研究什么

呢?

探索任意角的三角函數(shù)(板書課題),請同學們回想,再明確

一下:

(情景1)什么叫函數(shù)?或者說函數(shù)是怎樣定義的?

讓學生回想后再點名回答,投影顯示規(guī)范的定義,教師根據(jù)

回答情況進行修正、強調(diào):

傳統(tǒng)定義:設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于

x的每一個值,y都有唯一確定的值和它對應,那么就說y是x的

函數(shù),x叫做自變量,自變量x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域、

現(xiàn)代定義:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按某個確定的對應關(guān)

系f,使對于集合A中的任意一個數(shù),在集合B中都有唯一確定的

數(shù)f(x)和它對應,那么就稱映射?:A→B為從集合A到集合B的

一個函數(shù),記作:y=f(x),x∈A,其中x叫自變量,自變量x的取

值范圍A叫做函數(shù)的定義域。

任意角的三角函數(shù)教案2

【教學目標：】

1．通過對初中銳角三角函數(shù)定義的回憶，掌握任意角三角

函數(shù)的定義法，并掌握用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)值．

2．掌握已知角終邊上一點坐標，求四個三角函數(shù)值．（即

給角求值問題）

【教學重點：】

任意角的三角函數(shù)的定義．

【教學難點：】

任意角的三角函數(shù)的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函

數(shù)的幾何表示．

【教學用具：】

直尺、圓規(guī)、投影儀．

【教學步驟：】

1．設(shè)置情境

角的范圍已經(jīng)推廣，那么對任一角是否也能像銳角一樣定

義其四種三角函數(shù)呢？本節(jié)課就來討論這一問題．

2．探索研究

（1）復習回憶銳角三角函數(shù)

我們已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自

變量，以比值為函數(shù)值，定義了角的正弦、余弦、正切、余切

的三角函數(shù)，本節(jié)課我們研究當角是一個任意角時，其三角函

數(shù)的定義及其幾何表示．

（2）任意角的三角函數(shù)定義

如圖1，設(shè)是任意角，的終邊上任意一點的坐標是，當

角在第一、二、三、四象限時的情形，它與原點的距離為，則．

定義：①比值叫做的正弦，記作，即．

②比值叫做的余弦，記作，即．

圖1

③比值叫做的正切，記作，即．

同時提供顯示任意角的三角函數(shù)所在象限的課件

提問：對于確定的角，這三個比值的大小和點在角的終

邊上的位置是否有關(guān)呢？

利用三角形相似的知識，可以得出對于角，這三個比值的

大小與點在角的終邊上的位置無關(guān)，只與角的大小有關(guān)．

請同學們觀察當時，的終邊在軸上，此時終邊上任一點

的橫坐標都等于0，所以無意義，除此之外，對于確定的角，

上面三個比值都是惟一確定的．把上面定義中三個比的前項、后

項交換，那么得到另外三個定義．

④比值叫做的余切，記作，則．

⑤比值叫做的正割，記作，則．

⑥比值叫做的余割，記作，則．

可以看出：當時，的終邊在軸上，這時的縱坐標都等

于0，所以與的值不存在，當時，的值不存在，除此之外，

對于確定的角，比值，，分別是一個確定的實數(shù)，所以我們

把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，

以比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)．

（3）三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)

對于確定的角，如圖2所示，，，分別對應的比值各是

一個確定的實數(shù)，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個角

的集合到一個比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比

值為函數(shù)值的函數(shù)，當采用弧度制來度量角時，每一個確定的角

有惟一確定的弧度數(shù)，這是一個實數(shù)，所以這幾種三角函數(shù)也都

可以看成是以實數(shù)為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．

即：實數(shù)→角（其弧度數(shù)等于這個實數(shù)）→三角函數(shù)值（實

數(shù)）

（4）三角函數(shù)的一種幾何表示

利用單位圓有關(guān)的有向線段，作出正弦線，余弦線，正切線，

如下圖3．

圖3

設(shè)任意角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終

邊與單位圓相交于點，過作軸的垂線，垂足為；過點作單

位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設(shè)它與角的終邊（當為

第一、四象限時）或其反向延長線（當為第二、三象限時）相

交于，當角的終邊不在坐標軸上時，我們把，都看成帶有方

向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段．由正弦、余弦、正切

函數(shù)的定義有：

這幾條與單位圓有關(guān)的有向線段叫做角的正弦線、余弦

線、正切線．當角的終邊在軸上時，正弦線、正切線分別變成

一個點；當角的終邊在軸上時，余弦線變成一個點，正切線不

存在．

（5）例題講評

任意角的三角函數(shù)教案3

教學目的：

知識目標：1.理解三角函數(shù)定義.三角函數(shù)的定義域，三角

函數(shù)線.

2.理解握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.?

3.理解終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

能力目標：

1.掌握三角函數(shù)定義.三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)線.

2.掌握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.?

3.掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

授課類型：復習課

教學模式：講練結(jié)合

教具：多媒體、實物投影儀

教學過程：

一、復習引入：

1、三角函數(shù)定義.三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)線，各種

三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.誘導公式第一組.

2.確定下列各式的符號

(1)sin100°cs240°(2)sin5+tan5

3..x取什么值時,有意義?

4．若三角形的兩內(nèi)角，滿足sincs0，則此三角形必為……

（）

A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D以上三種情況

都可能

5．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是………………

（）

A：sin+cs0B：tansin0

C：csct0D：ctcsc0

6．已知是第三象限角且，問是第幾象限角？

二、講解新課：

1、求下列函數(shù)的定義域：

（1）；（2）

2、已知，則為第幾象限角？

3、（1）若θ在第四象限，試判斷sin(csθ)cs(sinθ)的

符號；

（2）若tan(csθ)ct(sinθ)>0,試指出θ所在的象限，并

用圖形表示出的取值范圍.

4、求證角θ為第三象限角的充分必要條件是

證明：必要性：∵θ是第三象限角，?

∴

充分性：∵sinθ＜0，

∴θ是第三或第四象限角或終邊在ｙ軸的非正半軸上

∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?

∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?

∴θ為第三象限角.?

5求值：sin(-1320°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°

+tan495°．

三、鞏固與練習

1求函