數(shù)值積分方法

數(shù)值積分方法第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六取左端點矩形近似數(shù)值積分的思想：分割、近似、求和取右端點矩形近似定積分幾何意義：曲邊梯形的面積第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)值積分公式的一般形式：其中求積節(jié)點求積系數(shù)僅與求積節(jié)點有關求積公式的截斷誤差或余項：第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六§5.1插值型求積公式思想用被積函數(shù)在區(qū)間上的插值多項式近似代替計算作n次Lagrange插值多項式:設已知函數(shù)在節(jié)點上的函數(shù)值第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六其中余項第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六則有數(shù)值積分公式

這是用插值函數(shù)代替被積函數(shù)導出的定積分近似計算公式，稱為插值型數(shù)值積分公式。第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六n=1時的求積公式一、梯形公式第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六用梯形面積近似

這是用線性插值函數(shù)代替被積函數(shù)導出的定積分近似計算公式，稱為梯形數(shù)值積分公式。幾何意義第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六截斷誤差：已知線性插值的截斷誤差為

積分中值定理：連續(xù)、不變號第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六n=2時的求積公式二、Simpson公式將[a,b]二

等分，等分節(jié)點x0

=a，x1

=(a+b)/2，x2

=b作為積分節(jié)點，構造二次Lagrange插值多項式L2(x)：第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六

這是用二次插值函數(shù)代替被積函數(shù)導出的定積分近似計算公式，稱為辛普森數(shù)值積分公式。幾何意義：第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六Simpson積分公式的截斷誤差（定理）：

積分中值定理：連續(xù)、不變號第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六復合求積法

通常把積分區(qū)間等分成若干個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上用低階的求積公式（如梯形積分公式Simpson積分公式），對所有的子區(qū)間求和即得整個區(qū)間[a,b]上的積分公式，這種方法稱為復合求積法?！?.2復合求積公式第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六5.2.1復化梯形積分

將[a,b]分成若干小區(qū)間，在每個區(qū)間[xi,xi+1]上用梯形積分公式，再將這些小區(qū)間上的數(shù)值積分累加起來，就得到區(qū)間[a,b]上的數(shù)值積分。這種方法稱為復化梯形積分。★計算公式將[a,b]n等分,h=xi+1-xi=(b-a)/n,xi=a+ih,i=0,1,2,…,n,第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六記為T(h)或Tn(f):復化梯形公式的幾何意義小梯形面積之和近似復化梯形公式第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六復化梯形公式的余項設由介值定理余項估計式第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六★計算公式將[a,b]2m等分,m為積分子區(qū)間數(shù)，記n=2m，n+1為節(jié)點總數(shù)，h=xi+1-xi=(b-a)/n,xi=a+ih,i=0,1,2,…,n,5.2.2復化Simpson公式：第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六復化Simpson公式復化Simpson公式的幾何意義小拋物面積之和近似系數(shù)首尾為1，奇數(shù)點為4，偶數(shù)點為2第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六復化Simpson公式的余項設由介值定理余項估計式第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六例：分別利用復化梯形公式、復化Simpson公式計算積分的近似值，要求按復化Simpson公式計算時誤差不超過。解：首先來確定步長復化Simpson公式的余項：其中第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六本題的求法：由歸納法知第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六解不等式得將區(qū)間8等分，分別采用復化Simpson、梯形公式01/81/43/810.9973980.9896880.9767271/25/86/87/810.9588510.9361560.9088580.8771930.841471第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六復化梯形公式(n=8)復化Simpson公式(n=4)第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六代數(shù)精度的判別方法

如果求積公式對一切不高于m次的多項式都恒成立，而對于某個m+1次多項式不能精確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。

定理求積公式具有次m代數(shù)精度的充要條件是為時求積公式精確成立，而為時求積公式不能成為等式?！?.3數(shù)值積分公式的代數(shù)精度和Gauss求積公式第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六例2見p73的例5.5第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六

Gauss求積公式一、Gauss積分問題的提法前述的求積公式中求積節(jié)點是取等距節(jié)點，求積系數(shù)計算方便，但代數(shù)精度要受到限制；為了提高代數(shù)精度，需要適當選擇求積節(jié)點:①當求積節(jié)點個數(shù)確定后，不管這些求積節(jié)點如何選取，求積公式的代數(shù)精度最高能達到多少？②具有最高代數(shù)精度的求積公式中求積節(jié)點如何選取？積分公式的一般形式：第26頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六

形如的插值型求積公式的代數(shù)精度最高不超過2n+1次。定理