數(shù)字電路與邏輯設(shè)計第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

數(shù)字電路與邏輯設(shè)計第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第1頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六邏輯代數(shù)是數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計的理論基礎(chǔ)和重要數(shù)學(xué)工具！

邏輯代數(shù)是從哲學(xué)領(lǐng)域中的邏輯學(xué)發(fā)展而來的。

1847年,英國數(shù)學(xué)家喬治·布爾提出了用數(shù)學(xué)分析方法表示命題陳述的邏輯結(jié)構(gòu)，并成功地將形式邏輯歸結(jié)為一種代數(shù)演算，從而誕生了著名的“布爾代數(shù)”。

1938年，克勞德·向農(nóng)將布爾代數(shù)應(yīng)用于電話繼電器的開關(guān)電路，提出了“開關(guān)代數(shù)”。隨著電子技術(shù)的發(fā)展，集成電路邏輯門已經(jīng)取代了機(jī)械觸點開關(guān)，故“開關(guān)代數(shù)”這個術(shù)語已很少使用。為了與“數(shù)字系統(tǒng)邏輯設(shè)計”這一術(shù)語相適應(yīng)，人們更習(xí)慣于把開關(guān)代數(shù)叫做邏輯代數(shù)。第2頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六本章知識要點：

☆基本概念；☆基本定理和規(guī)則；☆邏輯函數(shù)的表示形式；☆邏輯函數(shù)的化簡。第3頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

邏輯代數(shù)L是一個封閉的代數(shù)系統(tǒng)，它由一個邏輯變量集K，常量0和1以及“或”、“與”、“非”三種基本運(yùn)算所構(gòu)成，記為L={K,+,·,-,0,1}。該系統(tǒng)應(yīng)滿足下列公理。

2.1邏輯代數(shù)的基本概念公理1交換律對于任意邏輯變量A、B，有

A+B=B+A；A·B=B·A公理2結(jié)合律

對于任意的邏輯變量A、B、C，有

(A+B)+C=A+(B+C)

(A·B)·C=A·(B·C)第4頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六公理3分配律

對于任意的邏輯變量A、B、C，有

A+(B·C)=(A+B)·(A+C)；

A·(B+C)=A·B+A·C公理40─1律

對于任意邏輯變量A，有

A+0=A；A·1=AA+1=1；A·0=0

公理是一個代數(shù)系統(tǒng)的基本出發(fā)點，無需加以證明。公理5互補(bǔ)律

對于任意邏輯變量A，存在唯一的，使得第5頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六2.1.1邏輯變量及基本邏輯運(yùn)算

邏輯代數(shù)和普通代數(shù)一樣，是用字母表示其值可以變化的量，即變量。所不同的是：

1．在普通代數(shù)中，變量的取值可以是任意實數(shù)，而邏輯代數(shù)是一種二值代數(shù)系統(tǒng)，任何邏輯變量的取值只有兩種可能性——取值0或取值1。

2．邏輯值0和1是用來表征矛盾的雙方和判斷事件真?zhèn)蔚男问椒?，無大小、正負(fù)之分。在數(shù)字系統(tǒng)中，開關(guān)的接通與斷開，電壓的高和低，信號的有和無，晶體管的導(dǎo)通與截止等兩種穩(wěn)定的物理狀態(tài)，均可用1和0這兩種不同的邏輯值來表征。一．變量第6頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六二．基本邏輯運(yùn)算

描述一個數(shù)字系統(tǒng)，必須反映一個復(fù)雜系統(tǒng)中各開關(guān)元件之間的聯(lián)系，這種相互聯(lián)系反映到數(shù)學(xué)上就是幾種運(yùn)算關(guān)系。

邏輯代數(shù)中定義了“或”、“與”、“非”三種基本運(yùn)算。1．“或”運(yùn)算

如果決定某一事件是否發(fā)生的多個條件中，只要有一個或一個以上條件成立，事件便可發(fā)生，則這種因果關(guān)系稱之為“或”邏輯。

例如，用兩個開關(guān)并聯(lián)控制一個燈的照明控制電路。第7頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

在上圖所示電路中，開關(guān)A和B并聯(lián)控制燈F?？梢钥闯觯?dāng)開關(guān)A、B中有一個閉合或者兩個均閉合時，燈F即亮。因此，燈F與開關(guān)A、B之間的關(guān)系是“或”邏輯關(guān)系。

并聯(lián)開關(guān)電路

ABF

用兩個開關(guān)并聯(lián)控制一個燈的電路如下圖所示。第8頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

邏輯代數(shù)中，“或”邏輯用“或”運(yùn)算描述。其運(yùn)算符號為“+”，有時也用“∨”表示。兩變量“或”運(yùn)算的關(guān)系可表示為F=A+B

或者

F=A∨B讀作“F等于A或B”。

在下圖所示電路中，假定開關(guān)斷開用0表示，開關(guān)閉合用1表示；燈滅用0表示，燈亮用1表示，則燈F與開關(guān)A、B的關(guān)系如下表所示。即：A、B中只要有一個為1，則F為1；僅當(dāng)A、B均為0時，F(xiàn)才為0。F

并聯(lián)開關(guān)電路

AB“或”運(yùn)算表A

BF

0

0

0

1

1

0

1

10111第9頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六“或”運(yùn)算的運(yùn)算法則：0+0=0

1+0=10+1=1

1+1=1實現(xiàn)“或”運(yùn)算關(guān)系的邏輯電路稱為“或”門。

2．“與”運(yùn)算

如果決定某一事件發(fā)生的多個條件必須同時具備，事件才能發(fā)生，則這種因果關(guān)系稱之為“與”邏輯。在邏輯代數(shù)中，“與”邏輯關(guān)系用“與”運(yùn)算描述。其運(yùn)算符號為“·”，有時也用“∧”表示。兩變量“與”運(yùn)算關(guān)系可表示為F=A·B

或者F=A∧B即：若A、B均為1，則F為1；否則，F(xiàn)為0。

第10頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六ABF

串聯(lián)開關(guān)電路

假定開關(guān)閉合狀態(tài)用1表示，斷開狀態(tài)用0表示，燈亮用1表示，燈滅用0表示，則電路中燈F和開關(guān)A、B之間的關(guān)系即上表所示的“與”運(yùn)算關(guān)系。

“與”邏輯關(guān)系如下表所示?！芭c”運(yùn)算表A

BF

0

0

0

1

1

0

1

10001“與”運(yùn)算的運(yùn)算法則:

0·0=0

1·0=0

0·1=0

1·1=1實現(xiàn)“與”運(yùn)算關(guān)系的邏輯電路稱為“與”門。第11頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

3．“非”運(yùn)算

如果某一事件的發(fā)生取決于條件的否定，即事件與事件發(fā)生的條件之間構(gòu)成矛盾，則這種因果關(guān)系稱為“非”邏輯。

在邏輯代數(shù)中，“非”邏輯用“非”運(yùn)算描述。其運(yùn)算符號為“ˉ”，有時也用“￢”表示?！胺恰边\(yùn)算的邏輯關(guān)系可表示為F=或者

F=￢A，讀作“F等于A非”。即：若A為0，則F為1；若A為1，則F為0。

第12頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六例如，在右上圖所示電路中，開關(guān)與燈并聯(lián)。顯然，僅當(dāng)開關(guān)斷開時，燈亮；一旦開關(guān)閉合，則燈滅。令開關(guān)斷開用0表示，開關(guān)閉合用1表示，燈亮用1表示，燈滅用0表示，則電路中燈F與開關(guān)A的關(guān)系即為上表所示“非”運(yùn)算關(guān)系。

“非”運(yùn)算的運(yùn)算法則：

；

實現(xiàn)“非”運(yùn)算功能的邏輯電路稱為“非”門，有時又稱為“反相器”。A開關(guān)與燈并聯(lián)電路F“非”邏輯關(guān)系可用下表:“非”運(yùn)算表A

F

0

1

10第13頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六2.1.2邏輯函數(shù)及邏輯函數(shù)間的相等邏輯代數(shù)中函數(shù)的定義與普通代數(shù)中函數(shù)的定義類似，即隨自變量變化的因變量。但和普通代數(shù)中函數(shù)的概念相比，邏輯函數(shù)具有如下特點：

1．邏輯函數(shù)和邏輯變量一樣，取值只有0和1兩種可能；

2．函數(shù)和變量之間的關(guān)系是由“或”、“與”、“非”三種基本運(yùn)算決定的。一、邏輯函數(shù)的定義第14頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

圖中，F(xiàn)被稱為A1，A2，…，An的邏輯函數(shù)，記為F=f(A1，A2，…，An)

邏輯電路輸出函數(shù)的取值是由邏輯變量的取值和電路本身的結(jié)構(gòu)決定的。任何一個邏輯電路的功能都可由相應(yīng)的邏輯函數(shù)完全描述，因此，可借助抽象的代數(shù)表達(dá)式對電路加以分析研究。

從數(shù)字系統(tǒng)研究的角度看，邏輯函數(shù)的定義如下:設(shè)某一邏輯電路的輸入邏輯變量為A1，A2，…，An，輸出邏輯變量為F，如下圖所示。第15頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

邏輯函數(shù)和普通代數(shù)中的函數(shù)一樣存在是否相等的問題。

什么叫做兩個邏輯函數(shù)相等呢？設(shè)有兩個相同變量的邏輯函數(shù)

F1=f1(A1,A2,…,An)

F2=f2(A1,A2,…,An)

若對應(yīng)于邏輯變量A1,A2,…,An的任何一組取值，F(xiàn)1和F2的值都相同，則稱函數(shù)F1和F2相等，記作F1=F2

。如何判斷兩個邏輯函數(shù)是否相等？通常有兩種方法,一種方法是真值表法，另一種方法是代數(shù)法。第16頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六2.1.3邏輯函數(shù)的表示法該邏輯表達(dá)式描述了一個兩變量的邏輯函數(shù)F。函數(shù)F和變量A、B的關(guān)系是：當(dāng)變量A和B取值不同時，函數(shù)F的值為“1”；取值相同時，函數(shù)F的值為“0”。邏輯表達(dá)式是由邏輯變量和“或”、“與”、“非”3種運(yùn)算符以及括號所構(gòu)成的式子。例如一、邏輯表達(dá)式如何對邏輯功能進(jìn)行描述？

常用的方法有邏輯表達(dá)式、真值表、卡諾圖3種。第17頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六邏輯表達(dá)式的簡寫:

1.“非”運(yùn)算符下可不加括號，如，等。

2.“與”運(yùn)算符一般可省略，如A·B可寫成AB。

高低

3.在一個表達(dá)式中，如果既有“與”運(yùn)算又有“或”運(yùn)算，則按先“與”后“或”的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，可省去括號,如(A·B)+(C·D)可寫為AB+CD。

注意:(A+B)·(C+D)不能省略括號,即不能寫成A+B·C+D！

運(yùn)算優(yōu)先法則：

()?⊕+

4.

(A+B)+C或者A+(B+C)可用A+B+C代替；(AB)C或者A(BC)可用ABC代替。第18頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六二、真值表

依次列出一個邏輯函數(shù)的所有輸入變量取值組合及其相應(yīng)函數(shù)值的表格稱為真值表。

由于一個邏輯變量有0和1兩種可能的取值，n個邏輯變量共有2n種可能的取值組合。因此，一個n個變量的邏輯函數(shù)，其真值表有2n行。真值表由兩部分組成：

左邊一欄列出變量的所有取值組合，為了不發(fā)生遺漏，通常各變量取值組合按二進(jìn)制數(shù)碼順序給出；右邊一欄為邏輯函數(shù)值。例如，邏輯函數(shù)

的真值表如右表所示。函數(shù)F的真值表A

B

CF

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

11

0

01

0

11

1

01

1

101011100第19頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六三、卡諾圖卡諾圖是由表示邏輯變量所有取值組合的小方格所構(gòu)成的平面圖。

這種用圖形描述邏輯函數(shù)的方法，在邏輯函數(shù)化簡中十分有用，將在后面結(jié)合函數(shù)化簡問題進(jìn)行詳細(xì)介紹。描述邏輯邏輯函數(shù)的3種方法各有特點,可用于不同場合。但針對某個具體問題而言，它們僅僅是同一問題的不同描述形式，相互之間可以很方便地進(jìn)行變換。第20頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六2.2邏輯代數(shù)的基本定理和規(guī)則

根據(jù)邏輯代數(shù)的公理，可以推導(dǎo)出邏輯代數(shù)的基本定理。

常用的有８組定理。

(對定理中的一個表達(dá)式加以證明)2.2.1基本定理

定理10+0=0

1+0=1

0·0=0

1·0=00+1=1

1+1=1

0·1=0

1·1=1證明：在公理4中，A表示集合K中的任意元素，因而可以是0或1。用0和1代入公理4中的A，即可得到上述關(guān)系。如果以1和0代替公理5中的A，則可得到如下推論：

第21頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六定理2

A+A=A；A·A=A

定理3

A+A·B=A；A·(A+B)=A第22頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六第23頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六第24頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六第25頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六第26頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六2.2.2重要規(guī)則

3條重要規(guī)則:代入規(guī)則、反演規(guī)則、對偶規(guī)則

例如，給定邏輯等式A(B+C)=AB+AC，若等式中的C都用(C+D)代替，則該邏輯等式仍然成立，即A〔B+(C+D)〕=AB+A(C+D)代入規(guī)則的正確性是顯然的，因為任何邏輯函數(shù)都和邏輯變量一樣，只有0和1兩種可能的取值。代入規(guī)則：任何一個含有變量A的邏輯等式,如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。一、代入規(guī)則

第27頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

代入規(guī)則的意義：利用代入規(guī)則可以將邏輯代數(shù)公理、定理中的變量用任意函數(shù)代替，從而推導(dǎo)出更多的等式。這些等式可直接當(dāng)作公式使用，無需另加證明。

注意：使用代入規(guī)則時,必須將等式中所有出現(xiàn)同一變量的地方均以同一函數(shù)代替，否則代入后的等式將不成立。例如，用邏輯函數(shù)F=f(A1,A2,…，An)代替公理A+

=1中的變量A，便可得到等式f(A1,A2,…，An)

+

(A1,A2,…，An)=1即一個函數(shù)和其反函數(shù)進(jìn)行“或”運(yùn)算，其結(jié)果為1。第28頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六即:“·”“+”，“0”“1”，原變量反變量二、反演規(guī)則

反演規(guī)則實際上是定理6的推廣，可通過定理6和代入規(guī)則得到證明。例如，已知函數(shù)，根據(jù)反演規(guī)則有

反演規(guī)則：若將邏輯函數(shù)表達(dá)式F中所有的“·”變成“+”，“+”變成“·”；“0”變成“1”，“1”變成“0”；原變量變成反變量，反變量變成原變量。并保持原函數(shù)中的運(yùn)算順序不變，則所得到的新的函數(shù)為原函數(shù)F的反函數(shù)。第29頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六注意:

使用反演規(guī)則時，應(yīng)保持原函數(shù)式中運(yùn)算符號的優(yōu)先順序不變。三、對偶規(guī)則如果將邏輯函數(shù)表達(dá)式F中所有的“·”變成“+”,“+”變成“·”，“0”變成“1”，“1”變成“0”，并保持原函數(shù)中的運(yùn)算順序不變，則所得到的新的邏輯表達(dá)式稱為函數(shù)F的對偶式，并記作F’。例如，例如，已知函數(shù)，根據(jù)反演規(guī)則得到的反函數(shù)應(yīng)該是

而不應(yīng)該是×！錯誤第30頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

注意：

1、如果F的對偶式是F’，則F’的對偶式就是F。即，(F’)’=F,可見F和F’互為對偶式。

2、一般來說，F(xiàn)與對偶式F’是不相等的！但不排除特殊！

若邏輯函數(shù)表達(dá)式的對偶式就是原函數(shù)表達(dá)式本身，即F’=F，則稱函數(shù)F為自對偶函數(shù)。

3、求邏輯表達(dá)式的對偶式時，同樣要保持原函數(shù)的運(yùn)算順序不變。

第31頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

根據(jù)對偶規(guī)則，當(dāng)已證明某兩個邏輯表達(dá)式相等時，即可知道它們的對偶式也相等。顯然，利用對偶規(guī)則可以使定理、公式的證明減少一半。對偶規(guī)則：若兩個邏輯函數(shù)表達(dá)式F和G相等，則其對偶式F’和G’也相等。

例如，已知根據(jù)對偶規(guī)則對等式兩端的表達(dá)式取對偶式，即可得到等式第32頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六2.2.3復(fù)合邏輯

實際應(yīng)用中廣泛采用“與非”門、“或非”門、“與或非”門、“異或”門等門電路。這些門電路輸出和輸入之間的邏輯關(guān)系可由3種基本運(yùn)算構(gòu)成的復(fù)合運(yùn)算來描述，通常將這種邏輯關(guān)系稱為復(fù)合邏輯，相應(yīng)的邏輯門則稱為復(fù)合門。

一、與非邏輯

與非邏輯是由與、非兩種邏輯復(fù)合形成的，可用邏輯函數(shù)表示為

邏輯功能：只要變量A、B、C、…中有一個為0，則函數(shù)F為1；僅當(dāng)變量A、B、C、…全部為1時，函數(shù)F為0。

實現(xiàn)與非邏輯的門電路稱為“與非”門。

第33頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

由于與非邏輯又可實現(xiàn)3種基本邏輯，所以，只要有了與非門便可組成實現(xiàn)各種邏輯功能的電路，通常稱與非門為通用門。采用與非邏輯可以減少邏輯電路中門的種類，提高標(biāo)準(zhǔn)化程度。

由定理A·B=A+B不難看出，“與”之“非”可以產(chǎn)生“或”的關(guān)系。因此，實際上只要有了與非邏輯便可實現(xiàn)與、或、非3種基本邏輯。以兩變量與非邏輯為例：

與:

或:

非:第34頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六二、或非邏輯邏輯功能：只要變量A、B、C…中有一個為1，則函數(shù)F為0；僅當(dāng)變量A、B、C…全部為0時，函數(shù)F為1。

實現(xiàn)或非邏輯的門電路稱為“或非”門。

或非邏輯是由或、非兩種邏輯復(fù)合形成的，可用邏輯函數(shù)表示為與：或:非:

同樣，由定理可知，“或”之“非”可以產(chǎn)生“與”的關(guān)系。因此，只要有了或非邏輯也可以實現(xiàn)與、或、非3種基本邏輯。以兩變量或非邏輯為例：

或非門同樣是一種通用門。第35頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六三、與或非邏輯邏輯功能：僅當(dāng)每一個“與項”均為0時，F(xiàn)才能為1，否則F為0。實現(xiàn)與或非功能的門電路稱為“與或非”門。

顯然，可以僅用與或非門組成實現(xiàn)各種功能的邏輯電路。但實際應(yīng)用中這樣做一般會很不經(jīng)濟(jì)，所以，與或非門主要用來實現(xiàn)與或非形式的函數(shù)。必要時可將邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式變換成與或非的形式。與或非邏輯是由3種基本邏輯復(fù)合形成的，邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式為

第36頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六四、異或邏輯及同或邏輯

邏輯功能：變量A、B取值相同，F(xiàn)為0；變量A、B取值相異，F(xiàn)為1。實現(xiàn)異或運(yùn)算的邏輯門稱為“異或門”。

1．異或邏輯

當(dāng)多個變量進(jìn)行異或運(yùn)算時，可用兩兩運(yùn)算的結(jié)果再運(yùn)算，也可兩兩依次運(yùn)算。異或邏輯是一種兩變量邏輯關(guān)系，可用邏輯函數(shù)表示為

根據(jù)異或邏輯的定義可知：

A⊕0=A

A⊕1=

A⊕A=0

A⊕=1第37頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

特性：在進(jìn)行異或運(yùn)算的多個變量中，若有奇數(shù)個變量的值為1，則運(yùn)算結(jié)果為1；若有偶數(shù)個變量的值為1，則運(yùn)算結(jié)果為0。例如，

F=A⊕B⊕C⊕D

=(A⊕B)⊕(C⊕D)

(兩兩運(yùn)算的結(jié)果再運(yùn)算)

=［(A⊕B)⊕C］⊕D(兩兩依次運(yùn)算)

2．同或邏輯功能邏輯：變量A、B取值相同，F(xiàn)為1；變量A、B取值相異，F(xiàn)為0。實現(xiàn)同或運(yùn)算的邏輯門稱為“同或門”。同或邏輯也是一種兩變量邏輯關(guān)系，其邏輯函數(shù)表達(dá)式為

F=A⊙B=

+AB

式中，“⊙”為同或運(yùn)算的運(yùn)算符。兩者有區(qū)別嗎？第38頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

同或邏輯與異或邏輯的關(guān)系既互為相反，又互為對偶。即：由于同或?qū)嶋H上是異或之非，所以實際應(yīng)用中通常用異或門+非門實現(xiàn)同或運(yùn)算。

特性：當(dāng)多個變量進(jìn)行同或運(yùn)算時，若有奇數(shù)個變量的值為0，則運(yùn)算結(jié)果為0；反之，若有偶數(shù)個變量的值為0，則運(yùn)算結(jié)果為1。第39頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六2.3邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式與變換

任何一個邏輯函數(shù)的表達(dá)式形式都不是唯一的。從應(yīng)用的角度出發(fā)，討論基本形式、標(biāo)準(zhǔn)形式及其相互轉(zhuǎn)換。2.3.1邏輯函數(shù)表達(dá)式的兩種基本形式

兩種基本形式：指“與-或”表達(dá)式和“或-與”表達(dá)式。

一、“與-或”表達(dá)式

“與-或”表達(dá)式：是指由若干“與項”進(jìn)行“或”運(yùn)算構(gòu)成的表達(dá)式。每個“與項”可以是單個變量的原變量或者反變量，也可由多個原變量或者反變量相“與”組成。例如，均為“與項”，將這3個“與項”相“或”便可構(gòu)成一個3變量函數(shù)的“與－或”表達(dá)式。即

第40頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六二、“或-與”表達(dá)式

注意：

“與項”有時又被稱為“積項”，相應(yīng)地“與-或”表達(dá)式又稱為“積之和”表達(dá)式。

“或項”有時又被稱為“和項”，相應(yīng)地“或—與”表達(dá)式又稱為“和之積”表達(dá)式?！盎?與”表達(dá)式：是指由若干“或項”進(jìn)行“與”運(yùn)算構(gòu)成的表達(dá)式。

每個“或項”可以是單個變量的原變量或者反變量，也可以由多個原變量或者反變量相“或”組成。例如，、、、D均為“或項”，將這4個“或項”相“與”便可構(gòu)成一個4變量函數(shù)的“或-與”表達(dá)式。即第41頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

該邏輯函數(shù)是“與—或”式？不是！是“或—與”式？也不是！但不論什么形式都可以變換成兩種基本形式。2.3.2邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式

邏輯函數(shù)表達(dá)式可以被表示成任意的混合形式。例如：

邏輯函數(shù)的兩種基本形式都不是唯一的。例如

為了在邏輯問題的研究中使邏輯功能能和唯一的邏輯表達(dá)式對應(yīng)，引入了邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式。邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式是建立在最小項和最大項概念的基礎(chǔ)之上的。請問邏輯函數(shù)的基本形式是否唯一？第42頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六一、最小項和最大項

定義：如果一個具有n個變量的函數(shù)的“與項”包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，則該“與項”被稱為最小項。有時又將最小項稱為標(biāo)準(zhǔn)“與項”。數(shù)目：n個變量可以構(gòu)成2n個最小項。例如，3個變量A、B、C可以構(gòu)成、、…

ABC共8個最小項。1．最小項（掌握4點：定義、數(shù)目、簡寫、性質(zhì)?。┑?3頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

簡寫：用mi表示最小項。

下標(biāo)i的取值規(guī)則是：按照變量順序?qū)⒆钚№椫械脑兞坑?表示，反變量用0表示，由此得到一個二進(jìn)制數(shù)，與該二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即下標(biāo)i的值。

例如，3變量A、B、C構(gòu)成的最小項可用m5表示。因為m5

(5)101

0

1AC第44頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

在由n個變量構(gòu)成的任意“與項”中，最小項是使其值為1的變量取值組合數(shù)最少的一種“與項”，這也就是最小項名字的由來。（4）性質(zhì)-------

最小項具有四條性質(zhì)

性質(zhì)1

任意一個最小項，其相應(yīng)變量有且僅有一種取值使這個最小項的值為1。并且，最小項不同，使其值為1的變量取值不同。性質(zhì)2

相同變量構(gòu)成的兩個不同最小項相“與”為0。

因為任何一種變量取值都不可能使兩個不同最小項同時為1，故相“與”為0。

即mi·mj=0第45頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

性質(zhì)3：n個變量的全部最小項相“或”為1。

通常借用數(shù)學(xué)中的累加符號“Σ”，將其記為性質(zhì)4：n個變量構(gòu)成的最小項有n個相鄰最小項。

相鄰最小項：是指除一個變量互為相反外，其余部分均相同的最小項。例如，三變量最小項ABC和。第46頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

定義：如果一個具有n個變量函數(shù)的“或項”包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，則該“或項”被稱為最大項。有時又將最大項稱為標(biāo)準(zhǔn)“或項”。2．最大項

數(shù)目：n個變量可以構(gòu)成2n個最大項。例如，3個變量A、B、C可構(gòu)成、、…、

共8個最大項。第47頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)：最大項具有4條性質(zhì)。

性質(zhì)1

任意一個最大項，其相應(yīng)變量有且僅有一種取值使這個最大項的值為0。并且，最大項不同，使其值為0的變量取值不同。簡寫：用Mi表示最大項。

下標(biāo)i的取值規(guī)則是：將最大項中的原變量用0表示，反變量用1表示，由此得到一個二進(jìn)制數(shù)，與該二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即下標(biāo)i的值。例如，3變量A、B、C構(gòu)成的最大項

可用

M5

表示。

在n個變量構(gòu)成的任意“或項”中，最大項是使其值為1的變量取值組合數(shù)最多的一種“或項”，因而將其稱為最大項。

第48頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

性質(zhì)2

相同變量構(gòu)成的兩個不同最大項相“或”為1。因為任何一種變量取值都不可能使兩個不同最大項同時為0，故相“或”為1。即Mi+Mj=1

性質(zhì)3

n個變量的全部最大項相“與”為0。通常借用數(shù)學(xué)中的累乘符號“Π”將其記為

性質(zhì)4

n個變量構(gòu)成的最大項有n個相鄰最大項。

相鄰最大項是指除一個變量互為相反外，其余變量均相同的最大項。第49頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六兩變量最小項、最大項的真值表如下:m2

000101001000M3

M2

M1

M0

m3

m1m0

0010111011011011011100011011AB最大項最小項變量2變量最小項、最大項真值表

該真值表反映了最小項、最大項的有關(guān)性質(zhì)。第50頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六3．最小項和最大項的關(guān)系

在同一問題中，下標(biāo)相同的最小項和最大項互為反函數(shù)?；蛘哒f，相同變量構(gòu)成的最小項mi和最大項Mi之間存在互補(bǔ)關(guān)系。即或者例如，由3變量A、B、C構(gòu)成的最小項m3和最大項M3之間有第51頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六二、邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式

邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式有標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式兩種類型。1．標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式

由若干最小項相“或”構(gòu)成的邏輯表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式，也叫做最小項表達(dá)式。該函數(shù)表達(dá)式又可簡寫為

F(A，B，C)=m1+m2+m4+m7

=例如，一個3變量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式

第52頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六2．標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式

由若干最大項相“與”構(gòu)成的邏輯表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式，也叫做最大項表達(dá)式。

例如，、、為3變量構(gòu)成的3個最大項，對這3個最大項進(jìn)行“與”運(yùn)算，即可得到一個3變量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式

該表達(dá)式又可簡寫為第53頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六2.3.3邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換將一個任意邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式有兩種常用方法:代數(shù)轉(zhuǎn)換法，真值表轉(zhuǎn)換法。一、代數(shù)轉(zhuǎn)換法

1.求標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式一般步驟如下：第一步：將函數(shù)表達(dá)式變換成一般“與-或”表達(dá)式。

所謂代數(shù)轉(zhuǎn)換法，就是利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則進(jìn)行邏輯變換，將函數(shù)表達(dá)式從一種形式變換為另一種形式。

第二步：反復(fù)使用將表達(dá)式中所有非最小項的“與項”擴(kuò)展成最小項。第54頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

例如，將邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式。

解第一步：將函數(shù)表達(dá)式變換成“與-或”表達(dá)式。即

第二步：把“與-或”式中非最小項的“與項”擴(kuò)展成最小項。具體地說，若某“與項”缺少函數(shù)變量Y，則用(

)和這一項相與，并將其拆開成兩項。即第55頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六所得標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式的簡寫形式為當(dāng)給出函數(shù)表達(dá)式已經(jīng)是“與-或”表達(dá)式時，可直接進(jìn)行第二步。

一般步驟：

第一步：將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成一般“或-與”表達(dá)式。

第二步：反復(fù)利用定理把表達(dá)式中所有非最大項的“或項”擴(kuò)展成最大項。

2.求一個函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或-與”式（詳見教材中舉例。）第56頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六二、真值表轉(zhuǎn)換法

具體：真值表上使函數(shù)值為1的變量取值組合對應(yīng)的最小項相“或”,即可構(gòu)成一個函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式。

邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式與真值表具有一一對應(yīng)的關(guān)系！

假定函數(shù)F的真值表中有k組變量取值使F的值為1，其他變量取值下F的值為0，那么，函數(shù)F的最小項表達(dá)式由這k組變量取值對應(yīng)的k個最小項相或組成。

因此，可以通過函數(shù)的真值表寫出最小項表達(dá)式。1.求標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式第57頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六1001

1011

0110

ABCF

11011110

0000

0101

0010

函數(shù)F的真值表

解:

首先，列出F的真值表如下表所示，然后，根據(jù)真值表可直接寫出F的最小項表達(dá)式例如，將函數(shù)表達(dá)式變換成標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式。第58頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

具體：真值表上使函數(shù)值為0的變量取值組合對應(yīng)的最大項相“與”即可構(gòu)成一個函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或-與”式。

2.求一個函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或-與”式

邏輯函數(shù)的最大項表達(dá)式與真值表之間同樣具有一一對應(yīng)的關(guān)系。

假定在函數(shù)F的真值表中有p組變量取值使F的值為0，其他變量取值下F的值為1，那么，函數(shù)F的最大項表達(dá)式由這p組變量取值對應(yīng)的p個最大項“相與”組成。第59頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

解：首先，列出F的真值表如下表所示。然后，根據(jù)真值表直接寫出F的最大項表達(dá)式函數(shù)F的真值表1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

A

B

C

F

0

0

0

0

0

0

1

1

例如，將函數(shù)表達(dá)式表示成最大項表達(dá)式的形式。第60頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

由于函數(shù)的真值表與函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系。

任何個邏輯函數(shù)的真值表是唯一的！任何一個邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式也是唯一的！

邏輯函數(shù)表達(dá)式的唯一性給我們分析和研究邏輯問題帶來了很大的方便。第61頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六2.4邏輯函數(shù)化簡

實現(xiàn)某一邏輯功能的邏輯電路的復(fù)雜性與描述該功能的邏輯表達(dá)式的復(fù)雜性直接相關(guān)。一般說，邏輯函數(shù)表達(dá)式越簡單，設(shè)計出來的相應(yīng)邏輯電路也就越簡單。

為了降低系統(tǒng)成本、減小復(fù)雜度、提高可靠性，必須對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡。

由于“與-或”表達(dá)式和“或-與”表達(dá)式可以很方便地轉(zhuǎn)換成任何其他所要求的形式。因此，從這兩種基本形式出發(fā)討論函數(shù)化簡問題，并將重點放在“與-或”表達(dá)式的化簡上。

邏輯函數(shù)化簡有3種常用方法：代數(shù)化簡法、卡諾圖化簡法、列表化簡法。第62頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六2.4.1代數(shù)化簡法

代數(shù)化簡法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡的方法。

無固定的步驟可以遵循，主要取決于對邏輯代數(shù)中公理、定理和規(guī)則的熟練掌握及靈活運(yùn)用的程度。一、“與-或”表達(dá)式的化簡最簡“與-或”表達(dá)式應(yīng)滿足兩個條件：

1．表達(dá)式中的“與”項個數(shù)最少；

2．在滿足上述條件的前提下，每個“與”項中的變量個數(shù)最少。

滿足上述兩個條件可以使相應(yīng)邏輯電路中所需門的數(shù)量以及門的輸入端個數(shù)均為最少，從而使電路最經(jīng)濟(jì)。第63頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

幾種常用方法如下：

1．并項法

2．吸收法利用定理3中A+AB=A

，吸收多余的項。例如，利用定理7中的，將兩個“與”項合并成一個“與”項，合并后消去一個變量。例如，

AABBA=+第64頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六3．消去法

利用定理4中消去多余變量。4．配項法利用公理4和公理5中的A·1=A及，先從函數(shù)式中適當(dāng)選擇某些“與”項，并配上其所缺的一個合適的變量，然后再利用并項、吸收和消去等方法進(jìn)行化簡。例如，第65頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六例1

化簡

解：

實際應(yīng)用中遇到的邏輯函數(shù)往往比較復(fù)雜，化簡時應(yīng)靈活使用所學(xué)的公理、定理及規(guī)則，綜合運(yùn)用各種方法。第66頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六例2

化簡

解

定理7

第67頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六二、“或-與”表達(dá)式的化簡

最簡“或-與”表達(dá)式應(yīng)滿足兩個條件：

1．表達(dá)式中的“或”項個數(shù)最少；

2．在滿足上述條件的前提下，每個“或”項中的變量個數(shù)最少。

用代數(shù)化簡法化簡“或-與”表達(dá)式可直接運(yùn)用公理、定理中的“或-與”形式，并綜合運(yùn)用前面介紹“與-或”表達(dá)式化簡時提出的各種方法進(jìn)行化簡。第68頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六例如，化簡

當(dāng)對公理、定理中的“或-與”形式不太熟悉時，可以采用兩次對偶法。具體如下：

第一步：對“或-與”表達(dá)式表示的函數(shù)F求對偶，得到“與-或”表達(dá)式F’；

第二步：求出F’的最簡“與-或”表達(dá)式；

第三步：對F’再次求對偶,即可得到F的最簡“或-與”表達(dá)式。解

定理3定理8第69頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六例如，化簡

第二步：化簡F’；

第三步：對F‘求對偶,得到F的最簡“或-與”表達(dá)式

解：第一步：求F的對偶式F’；第70頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六歸納：

代數(shù)化簡法的優(yōu)點是：不受變量數(shù)目的約束；當(dāng)對公理、定理和規(guī)則十分熟練時，化簡比較方便。缺點是：沒有一定的規(guī)律和步驟，技巧性很強(qiáng)，而且在很多情況下難以判斷化簡結(jié)果是否最簡。第71頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

2.4.2卡諾圖化簡法

卡諾圖化簡法的優(yōu)點：簡單、直觀、容易掌握。一、卡諾圖的構(gòu)成

卡諾圖是一種平面方格圖，每個小方格代表一個最小項，故又稱為最小項方格圖。

構(gòu)造特點：

(1)n個變量的卡諾圖由2n個小方格構(gòu)成；

(2)幾何圖形上處在相鄰、相對、相重位置的小方格所代表的最小項為相鄰最小項。

卡諾圖中最小項的排列方案不是唯一的，但任何一種排列方案都必須具備以上特點。第72頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

2變量、3變量、4變量卡諾圖如圖(a)、(b)、(c)所示：m3

m1

m2m0

AB0110(a)0m5m4m7m6m3

m1

m2m0

100011110ABC(b)m10m14m6m2m11m15m7m3m9m8m13m12m5

m1

m4m0

00011110ABCD00011110(c)第73頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

例如，四變量卡諾圖中，每個最小項有4個相鄰最小項。

m5的4個相鄰最小項分別是哪些？

m2的4個相鄰最小項？

m2和m10(同一行的兩端)，這種相鄰稱為相對相鄰。

m10m14m6m2m11m15m7m3m9m8m13m12m5

m1

m4

m0

00011110ABCD00011110

在n個變量的卡諾圖中，能從圖形上直觀、方便地找到每個最小項的n個相鄰最小項。第74頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六10146211157398131251

402630221827312319252429282117201600011110000001011010100101111110ABCDE(d)

5變量卡諾圖

此外，處在“相重”位置的最小項相鄰，如五變量卡諾圖中的m3，除了幾何相鄰的m1，m2，m7和相對相鄰的m11外，還與m19相鄰。這種相鄰稱為重疊相鄰。

第75頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六注意：卡諾圖在構(gòu)造上具有以下兩個特點！

(1)n個變量的卡諾圖由2n個小方格組成，每個小方格代表一個最小項；

(2)卡諾圖上處在相鄰、相對、相重位置的小方格所代表的最小項為相鄰最小項。

第76頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六二．卡諾圖的性質(zhì)

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法：將卡諾圖上表征相鄰最小項的相鄰小方格“圈”在一起進(jìn)行合并，用一個簡單“與”項代替若干最小項。

通常把用來包圍那些能由一個簡單“與”項代替的若干最小項的“圈”稱為卡諾圈。

性質(zhì)：可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項合并。合并的理論依據(jù)是并項定理。第77頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六三、邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示

當(dāng)邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式時，只需在卡諾圖上找出和表達(dá)式中最小項對應(yīng)的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。

1．給定邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式

例如，3變量函數(shù)的卡諾圖如下圖所示。

00010111

0100011110ABCF(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡諾圖第78頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六例如，4變量函數(shù)

的卡諾圖如右圖所示。

010111110011000000011110ABCD00011110為了表達(dá)方便，通常將卡諾圖上填1的小方格稱為1方格，填0的小方格稱為0方格。0方格有時用空格表示。

2．邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達(dá)式

當(dāng)邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達(dá)式時，可根據(jù)“與”的公共性和“或”的疊加性作出相應(yīng)卡諾圖。第79頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六四、卡諾圖上最小項的合并規(guī)律

1．兩個小方格相鄰,或處于某行(列)兩端時，所代表的最小項可以合并，合并后可消去一個變量。

例如，2、3變量卡諾圖上兩個相鄰最小項合并的典型情況。

一個函數(shù)用卡諾圖表示后，究竟哪些最小項可以合并呢？下面以2、3、4變量卡諾圖為例予以說明。

兩個相鄰最小項合并的情況A0110B10100110B1010B1101B1010ABA0100010100011110ABC01ABBC注意：21個最小項合并后的與項可以減少1個變量！第80頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

2．四個小方格組成一個大方格、或組成一行（列）、或處于相鄰兩行（列）的兩端、或處于四角時，所代表的最小項可以合并，合并后可消去兩個變量。

例如,

3變量卡諾圖上四個相鄰最小項合并的典型情況。0011101000011110ABC01BB1100010100011110ABC01注意：22個最小項合并后的與項可以減少2個變量！第81頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

四個相鄰最小項合并的幾種情況00011110CD1001011001101001AB00011110BDBD00011110CD0110100110010110AB00011110BDBD00011110CD0010111100001010AB00011110CDAB

4變量卡諾圖上四個相鄰最小項合并的典型情況的。注意：22個最小項合并后的與項可以減少2個變量！第82頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

3．八個小方格組連成一體、或處于兩個邊行(列)時，所代表的最小項可以合并，合并后可消去三個變量。

例如，3、4變量卡諾圖上八個相鄰最小項合并的典型情況的。8個相鄰最小項合并的兩種情況111101100111101100011110ABCD00011110(b)BD1111111100011110ABC011(a)注意：23個最小項合并后的與項可以減少3個變量！第83頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

依此類推，可歸納出n個變量卡諾圖中最小項的合并規(guī)律如下：

(1)卡諾圈中小方格的個數(shù)必須為2m個，m為小于或等于n的整數(shù)。

(2)卡諾圈中的2m個小方格有一定的排列規(guī)律，具體地說，它們含有m個不同變量，(n-m)個相同變量。

(3)卡諾圈中的2m個小方格對應(yīng)的最小項可用(n-m)個變量的“與”項表示，該“與”項由這些最小項中的相同變量構(gòu)成。

(4)當(dāng)m=n時，卡諾圈包圍了整個卡諾圖，可用1表示，即n個變量的全部最小項之和為1。第84頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

蘊(yùn)涵項:在函數(shù)的“與-或”表達(dá)式中，每個“與”項被稱為該函數(shù)的蘊(yùn)涵項(Implicant)。顯然，在函數(shù)卡諾圖中，任何一個1方格所對應(yīng)的最小項或者卡諾圈中的2m個1方格所對應(yīng)的“與”項都是函數(shù)的蘊(yùn)涵項。五、卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟1．幾個定義質(zhì)蘊(yùn)涵項:若函數(shù)的一個蘊(yùn)涵項不是該函數(shù)中其他蘊(yùn)涵項的子集，則此蘊(yùn)涵項稱為質(zhì)蘊(yùn)涵項(PrimeImplicant),簡稱為質(zhì)項。顯然，在函數(shù)卡諾圖中，按照最小項合并規(guī)律，如果某個卡諾圈不可能被其他更大的卡諾圈包含，那么，該卡諾圈所對應(yīng)的“與”項為質(zhì)蘊(yùn)涵項。第85頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

在函數(shù)卡諾圖中，若某個卡諾圈包含了不可能被任何其他卡諾圈包含的1方格，那么，該卡諾圈所對應(yīng)的“與”項為必要質(zhì)蘊(yùn)涵項。

必要質(zhì)蘊(yùn)涵項：若函數(shù)的一個質(zhì)蘊(yùn)涵項包含有不被函數(shù)的其他任何質(zhì)蘊(yùn)涵項所包含的最小項，則此質(zhì)蘊(yùn)涵項被稱為必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(EssentialPrimeImplicant)，簡稱為必要質(zhì)項。第86頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六第一步：作出函數(shù)的卡諾圖；第二步：在卡諾圖上圈出函數(shù)的全部質(zhì)蘊(yùn)涵項；2．求邏輯函數(shù)最簡“與-或”表達(dá)式的一般步驟第三步：從全部質(zhì)蘊(yùn)涵項中找出所有必要質(zhì)蘊(yùn)涵項；第四步：求函數(shù)的最簡質(zhì)蘊(yùn)涵項集。

注意：求函數(shù)的最簡質(zhì)蘊(yùn)涵項集是指當(dāng)函數(shù)的所有必要質(zhì)蘊(yùn)涵項尚不能覆蓋卡諾圖上的所有1方格時，則從剩余質(zhì)蘊(yùn)涵項中找出最簡的所需質(zhì)蘊(yùn)涵項，使它和必要質(zhì)蘊(yùn)涵項一起構(gòu)成函數(shù)的最小覆蓋。

第87頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六解

用卡諾圖化簡給定函數(shù)的過程如下：

例1用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

該題中，5個必要質(zhì)蘊(yùn)涵項已將函數(shù)的全部最小項覆蓋，故將各卡諾圈對應(yīng)的與項相或即可得到函數(shù)F的最簡“與-或”表達(dá)式為第88頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六解用卡諾圖化簡給定函數(shù)的過程如下：例2用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)即或者這里，兩個“與-或”式的復(fù)雜程度相同。由此可見，一個函數(shù)的最簡“與-或”表達(dá)式不一定是唯一的。請你動手化簡一下這道題好嗎？第89頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六解

用卡諾圖化簡給定函數(shù)的過程如下：

例3

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)函數(shù)F的最簡“與-或”表達(dá)式為卡諾圖?用卡諾圖化簡總的原則是：

●在滿足合并規(guī)律的前題下卡諾圈應(yīng)盡可能大；●

根據(jù)合并的需要，每個最小項可以被多個卡諾圈包圍。

●在覆蓋函數(shù)中所有最小項的前提下，卡諾圈的個數(shù)應(yīng)盡可能少；

第90頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

①作出F的卡諾圖，求出反函數(shù)的最簡“與-或”表達(dá)式(合并卡諾圖上的0方格)；

②對的最簡“與-或”表達(dá)式取反，得到函數(shù)F的最簡“或-與”表達(dá)式。3.求邏輯函數(shù)最簡“或-與”表達(dá)式的一般步驟

具體如下：

(1)

當(dāng)給定邏輯函數(shù)為“與—或”表達(dá)式時，通常采用

“兩次取反法”。第91頁，共104頁，2023年，2月20日，星期六

例如，用卡諾圖求邏輯函數(shù)的最簡“或-與”表達(dá)式。

解

化簡給定函數(shù)的卡諾圖如右圖所示。1001000011001101000