數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)擬合與插值

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)擬合與插值第1頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六北京科技大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)曲線擬合插值第2頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六已知平面上若干個(gè)點(diǎn)（xi,yi)i=1,…n,

求一個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù)（曲線）y=f(x),

使f(x)盡可能的靠近數(shù)據(jù)點(diǎn)，在某種意義下達(dá)到最優(yōu)。f(x)稱為擬合函數(shù)。+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)i------最小二乘法曲線擬合第3頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

p=polyfit（x，y，n）多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合功能：將給定向量x，y對(duì)應(yīng)的（x[i]，y[i]）作為數(shù)據(jù)點(diǎn)，擬合成n次多項(xiàng)式；向量x，y具有相同的維數(shù)；p為多項(xiàng)式的系數(shù)向量。多項(xiàng)式的擬合y=a1xn+a2xn-1+……...+anx+an+1p=[a1,a2,...,an,an+1]第4頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六poly2str(p,‘x’)將多項(xiàng)式表示成習(xí)慣的形式p是多項(xiàng)式系數(shù)，字符‘x’為自變量polyval（p，X）

按數(shù)組規(guī)則計(jì)算X處多項(xiàng)式的值功能：計(jì)算多項(xiàng)式p的變量在點(diǎn)陣x處的值；X可以為向量或矩陣，計(jì)算結(jié)果是與X同維的向量或矩陣。第5頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六x=1:0.1:2;y=[2.1,3.2,2.1,2.5,3.2,3.5,3.4,4.1,4.7,5.0,4.8];p2=polyfit(x,y,2)%多項(xiàng)式擬合,次數(shù)是2,p2為擬合多項(xiàng)式的系數(shù)p3=polyfit(x,y,3);p7=polyfit(x,y,7);disp(‘二次擬合函數(shù)'),f2=poly2str(p2,'x')disp(‘三次擬合函數(shù)'),f3=poly2str(p3,'x');disp(‘七次擬合函數(shù)'),f7=poly2str(p7,'x');p2=1.3869-1.26082.141二次擬合函數(shù)f2=1.3869x^2-1.2608x+2.141第6頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六7x1=1:.01:2;y2=polyval(p2,x1);%多項(xiàng)式p2在x1處的值y3=polyval(p3,x1);y7=polyval(p7,x1);plot(x,y,'rp',x1,y2,'--',x1,y3,'k-.',x1,y7);第7頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六8練習(xí)：用多項(xiàng)式擬合余弦函數(shù)y=cosx。第8頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六插值對(duì)函數(shù)f(x),其函數(shù)形式可能很復(fù)雜，假如可以獲得f(x)在區(qū)間[a,b]上的一組n+1個(gè)不同的點(diǎn)

上的函數(shù)值求一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)p(x)，使得：并且用p(x)近似代替f(x),這就是插值問(wèn)題。函數(shù)p(x)為函數(shù)f(x)的插值函數(shù)。(1)式稱為插值條件。xi為插值結(jié)點(diǎn)，點(diǎn)x稱為插值點(diǎn)。點(diǎn)x在插值區(qū)間內(nèi)叫內(nèi)插，否則叫外插?！?.（1）第9頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六p(x)f(x)x0x1x2x0y1y0y2第10頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于被插函數(shù)f(x)和插值函數(shù)p(x)在節(jié)點(diǎn)xi處得函數(shù)值必然相等但在節(jié)點(diǎn)外p(x)的值可能就會(huì)偏離f(x)因此p(x)近似代替f(x)必然存在著誤差整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞為了使插值函數(shù)方便在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算，一般插值函數(shù)都使用多項(xiàng)式和有理函數(shù)。第11頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一維多項(xiàng)式插值

yi=interp1（x，y，xi，method）功能：x,y是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)；yi是插值點(diǎn)xi處的值；當(dāng)輸入的x是等間距時(shí)，可在插值方法method前加*，以提高處理速度。method表示不同的插值方法的字符串，有下面四種插值方法可選:第12頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六‘nearest’：最近點(diǎn)插值，插值點(diǎn)處的值取與該插值點(diǎn)距離

最近的數(shù)據(jù)點(diǎn)函數(shù)值；‘linear’：分段線性插值，用直線連接數(shù)據(jù)點(diǎn)，插值點(diǎn)的值

取對(duì)應(yīng)直線上的值；‘spline’：三次樣條函數(shù)插值，該方法用三次樣條曲線通過(guò)

數(shù)據(jù)點(diǎn)，插值點(diǎn)處的值取對(duì)應(yīng)曲線上的值；‘cubic’：分段三次Hermite插值，確定三次Hermite函數(shù)，

根據(jù)該函數(shù)確定插值點(diǎn)的函數(shù)值。缺省時(shí)表示分段線性插值。第13頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六x=0:6;y=cos(x);xi=0:.25:6;yi1=interp1(x,y,xi,'*nearest');yi2=interp1(x,y,xi,'*linear');yi3=interp1(x,y,xi,'*spline');yi4=interp1(x,y,xi,'*cubic');plot(x,y,'ro',xi,yi1,'--',xi,yi2,'-',xi,yi3,'k.-',xi,yi4,'m:')legend(‘原始數(shù)據(jù)’,‘最近點(diǎn)插值’,‘線性插值’,’樣條插值‘,’立方插值’)例6-19：用以上4種方法對(duì)y=cosx在[0,6]上的一維插值效果進(jìn)行比較。第14頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第15頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二維多項(xiàng)式插值

zi=interp2（x，y，z，xi，yi，method）功能：已知數(shù)據(jù)點(diǎn)（x,y,z），運(yùn)用method指定的方法，計(jì)算插值點(diǎn)（xi,yi）處得函數(shù)值z(mì)i。method指定的方法同一維多項(xiàng)式插值。第16頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六t=-2:0.5:2[x,y]=meshgrid(t);z=x.*exp(-x.^2-y.^2);

[x1,y1]=meshgrid(-2:0.1:2);z1=x1.*exp(-x1.^2-y1.^2);

figure(1)subplot(1,2,1),mesh(x,y,z),title(‘?dāng)?shù)據(jù)點(diǎn)')subplot(1,2,2),mesh(x1,y1,z1),title(‘函數(shù)圖象')例6-21：用以上4種方法對(duì)在[-2,2]上的二維多項(xiàng)式插值效果進(jìn)行比較。第17頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第18頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六[xi,yi]=meshgrid(-2:.125:2);zi1=interp2(x,y,z,xi,yi,'*nearest');zi2=interp2(x,y,z,xi,yi,'*linear');zi3=interp2(x,y,z,xi,yi,'*spline');zi4=interp2(x,y,z,xi,yi,'*cubic');figure(2)subplot(2,2,1),mesh(xi,yi,zi1),title(‘最近點(diǎn)插值')subplot(222),mesh(xi,yi,zi2),title(‘線性插值')subplot(223),mesh(xi,yi,zi3),title(‘樣條插值')subplot(224),mesh(xi,yi,zi4),title(‘立方插值')第19頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第20頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義：對(duì)于結(jié)點(diǎn),若函數(shù)s(x)滿足1)都在區(qū)間[a,b]上連續(xù)2)在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式3),i=0,1,2,…n則稱s(x)為三次樣條插值函數(shù)。第21頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義：若不僅已知函數(shù)f(x)在結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值,還已知一階導(dǎo)數(shù)值yi’．若函數(shù)Ih(x)滿足1)都在區(qū)間[a,b]上連續(xù)2)Ih(x)在每個(gè)小區(qū)間上是次數(shù)不大于3的多項(xiàng)式3)（i=0,1,2,…n）則稱Ih(x)為分段三次Hermite插值多項(xiàng)式。第22頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期六北京科技大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

下表是1971年到1990年我國(guó)總?cè)丝诘慕y(tǒng)計(jì)數(shù)字，試根據(jù)1971年到1985年這15年人口的統(tǒng)計(jì)數(shù)字用多種方法預(yù)測(cè)未來(lái)20年的人口數(shù)字，并比較1986年到1990年間預(yù)測(cè)人口數(shù)字與實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)字的差異，在你所使用的幾種預(yù)測(cè)方法中找出一種較為合理的預(yù)測(cè)方法。年份人口統(tǒng)計(jì)數(shù)字年份人口統(tǒng)計(jì)數(shù)字19718.5229198110.007219728.7177198210.165419