數(shù)值分析講稿

數(shù)值分析講稿第1頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六求解的思想：

這里給出了2n+2個條件，可唯一確定一個次數(shù)不超過2n+1的多項式,其形式為

如根據上面的條件來確定2n+2個系數(shù)顯然非常復雜，因此，我們仍采用求拉格朗日插值多項式的基函數(shù)方法.

先求插值基函數(shù)及，共有個2n+2，每一個基函數(shù)都是2n+1次多項式，且滿足條件

第2頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六

其中,,于是

可寫成用插值基函數(shù)表示的形式

可知其滿足

下面的問題就是如何求基函數(shù)及.第3頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六確定基函數(shù)：可利用拉格朗日插值基函數(shù)

令

由Hermite插值條件有整理得

第4頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六由于求導，得于是

第5頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六同理，由可令于是,

結合,可得,從而

第6頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六Hermite插值多項式是唯一的反證法.假設及均滿足Hermite插值條件，令則有

于是,每個節(jié)點均為的二重根，但是不高于2n+1次的多項式，故,唯一性得證.第7頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六Hermite插值多項式余項：仿照拉格朗日插值余項的證明方法，若在內的2n+2階導數(shù)存在，則其插值余項其中且與有關.

三次Hermite插值：考慮n=1的情形.此時可取節(jié)點及,插值多項式滿足條件

第8頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六

設相應的插值基函數(shù)為

它們滿足條件根據Hermite插值的一般基函數(shù)表達式，可得到

第9頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六第10頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六于是三次Hermite插值多項式是余項為第11頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六例:求滿足及的插值多項式及其余項表達式。解:由給定條件，可確定次數(shù)不超過3的插值多項式.由于此多項式通過點及故其形式為其中A為待定常數(shù)，可由條件確定，通過計算可得

第12頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六為了求出余項的表達式，可設其中為待定函數(shù).構造顯然,且，故

在內有5個零點(重根算兩個),反復應用羅爾定理，得在內至少有一個零點,故第13頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六于是余項表達式為式中位于和所界定的范圍內.

第14頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六Hermite插值的一般形式

設已知在節(jié)點上的函數(shù)值,及某些節(jié)點上的導數(shù)值,要求一個至多n+m+1次的插值多項式,滿足條件與前面討論類似，可證明是存在唯一的，其余項為

第15頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六例：按下表求Hermite插值多項式解：解法一：由于插值條件有5個，故所求插值

多項式的次數(shù)不超過4.構造插值基函數(shù)及，使它們滿足：（1）及都是4次多項式；

01201101第16頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六（2）因為,故.又因為

,因而可設代入,可得，所以第17頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六類似可求出因此所求Hermite插值多項式為第18頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六解法二：因為0為二階零點，故可直接設插值多項式為

代入插值條件,得方程組其解為所求插值多項式為第19頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六§5分段低次插值

5-1多項式插值的問題

問題的提出

龍格(Runge)

函數(shù),,取插值節(jié)點

為

則基于此構造的拉格朗日插值多項式為

第20頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六滿足如下性質:存在常數(shù),使得:

當時,,否則發(fā)散.第21頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六5-2分段線性插值分段線性插值:通過插值點用折線段連接起來逼近.設已知節(jié)點上的函數(shù)值,記,求一折線函數(shù)滿足：1)，2),3)在每個小區(qū)間上是線性函數(shù)，則稱為分段線性插值函數(shù).第22頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六由定義可知在區(qū)間上可表示為若用插值基函數(shù)表示，則在整個區(qū)間上為其中基函數(shù)滿足條件

其形式是第23頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六

分段線性插值基函數(shù)只在附近不為零,在其它地方均為零，這種性質稱為局部非零性質。

第24頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六例：已知函數(shù),在上取等距節(jié)點

.求分段插值函數(shù)及近似

值.解：分段線性插值基函數(shù)為：

0123451.000000.500000.200000.100000.058820.03846第25頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六分段線性插值函數(shù)為：

精確值為.

第26頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六分段線性插值的誤差估計：若在上二階連續(xù)可微，則分段線性插值函數(shù)的余項有以下估計

其中

.證：因在上，是

的線性插值，有又第27頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六故所以，對任意，都有

分段線性插值簡便易行,節(jié)點加密誤差變小,且插值函數(shù)只依賴于本段的節(jié)點值,計算誤差穩(wěn)定.但在節(jié)點處插值函數(shù)不可微,光滑度不夠.第28頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六5-3分段三次埃爾米特插值分段線性插值函數(shù)的導數(shù)是間斷的，若在節(jié)點上除已知函數(shù)值外還給出導數(shù)值，這樣就可構造一個導數(shù)連續(xù)的分段插值函數(shù),滿足:

代表區(qū)間上一階導數(shù)連續(xù)的函數(shù)集合),2.3.在每個小區(qū)間上是三次多項式.

第29頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六由兩點三次Hermite插值多項式可知,在區(qū)間上

的表達式為若在整個區(qū)間上定義一組分段三次插值基函數(shù)及,則可表示為第30頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六其中分別表示為第31頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六同樣可導出分段三次Hermite插值的誤差估計為：

其中,

.分段三次Hermite插值函數(shù)是插值區(qū)間上的光滑函數(shù)，它與函數(shù)在節(jié)點處密合程度較好。

第32頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六§6三次樣條插值問題的提出:分段低次插值函數(shù)雖都有一致收斂性，但光滑性較差.早期工程師制圖時,把富有彈性的細長木條(所謂樣條)用壓鐵固定在樣點上,在其它地方讓它自由彎曲，然后畫下長條的曲線，稱為樣條曲線.

它實際上是由分段三次曲線拼接而成，在連接點，即樣點，上要求二階導數(shù)連續(xù)，從數(shù)學上加以概括就得到“數(shù)學樣條”這一概念.第33頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六三次樣條函數(shù):定義:是給定節(jié)點，若(1);(2)在每個小區(qū)間上是三次多項式，則稱是節(jié)點上的三次樣條函數(shù).

若在節(jié)點上給定函數(shù)值

并成立

則稱為三次樣條插值函數(shù).第34頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六在區(qū)間上為三次多項式,故要確定4個待定系數(shù),共有n個小區(qū)間,故應確定4n個參數(shù).

由知,在節(jié)點處應滿足連續(xù)性條件:共有3n-3個條件，再加上滿足插值條件

共有4n-2個條件,故還需要2個條件才能確定.第35頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六通常可在區(qū)間端點上各加一個條件(稱為邊界條件),可根據實際問題的要求給定.常見的有以下三種：

1°已知兩端的一階導數(shù)值，即2°已知兩端的二階導數(shù)值，即自然邊界條件:

第36頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六3°當是以為周期的周期函數(shù)時，則要求也如此,這時邊界條件應滿足

此時,這樣確定的樣條函數(shù)稱為周期樣條函數(shù).第37頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六三轉角方程:構造滿足:(1)(2)連續(xù)性條件+邊界條件.

若假定則由分段三次埃爾米特插值公式可得其中是插值基函數(shù)。

第38頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六現(xiàn)需確定，可利用及某一邊界條件來確定。為了求出，我們考慮在上的表達式(這里:)第39頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六于是,對求二次導數(shù)得從而,

同理，可得在區(qū)間上的表達式:第40頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六及

由條件可得用除全式,并注意

上面方程可簡化為:第41頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六其中

此方程是關于未知數(shù)的n-1個方程，邊界條件(1)：,則方程變?yōu)橹缓膎-1個方程，寫成矩陣形式便是:第42頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六第43頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六邊界條件(2):，則得兩個方程

自然邊界條件:

,則得兩個方程:第44頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六矩陣形式為:第45頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六邊界條件(3):周期性條件,則得到化簡為其中

用矩陣形式表示為第46頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六每個方程都聯(lián)系三個在力學上解釋為細梁在截面處的轉角，故稱為三轉角方程.這些方程的系數(shù)矩陣對角元素均為2，非對角元素均為,故系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu),從而可逆，方程組解唯一,求得各,從而得到.

第47頁，共53頁，2023年，2月20日，星期六三彎矩方程:三次樣條插值函數(shù)有時用二階導數(shù)值來表達