數(shù)學實驗與數(shù)學建模淺談分形

數(shù)學實驗與數(shù)學建模淺談分形第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六海岸線有長度嗎？法國的Mandelbrot.B開創(chuàng)了分形幾何1967年的論文：“英國海岸線的長度不確定”（fractalgeometry）的研究（1）具有無限嵌套層次的精細結構對自然幾何形態(tài)的數(shù)學研究海岸線的長度隨測量尺度變化（2）在不同尺度下具有某種相似特性第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六Koch雪花曲線設E0為單位直線段三等分后，中間一段用與其組成等邊三角形的另兩邊代替，得到E1對E1的4條線段的每一條重復以上做法，得到E2以此方法重復，可得En當n趨于無窮，得到的極限曲線就是Koch曲線第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六用Mathematica畫koch曲線第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六redokoch[ptlist_List]:=Block[{tmp={},i,pnum=Length[ptlist]},For[i=1,i<pnum,i=i+1,tmp=Join[tmp,{ptlist[[i]],ptlist[[i]]*2/3+ptlist[[i+1]]/3,(ptlist[[i]]+ptlist[[i+1]])/2+{ptlist[[i]][[2]]-ptlist[[i+1]][[2]],ptlist[[i+1]][[1]]-ptlist[[i]][[1]]}*Sqrt[3]/6,ptlist[[i]]/3+ptlist[[i+1]]*2/3,ptlist[[i+1]]}]];tmp]Inko01={{0,0},{1,0}};Show[Graphics[Line[Nest[redokoch,Inko01,4]],AspectRatio->Sqrt[3]/6]]第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六自相似性精細結構：復雜性不隨尺度減小而消失處處不光滑，每一點是尖點長度：En的長度＝(4/3)n趨于無窮本身定義方式簡單Koch曲線的特點Koch曲線在有限區(qū)域卻長度無限，它是否一維的？問題第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六單參數(shù)的函數(shù)曲線是一維的嗎？設是平面上邊長為1/2的正三角形，構造fnf1f2f3以此方式得到fn，在[0,1]一致收斂到極限函數(shù)f的象將為整個三角形第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六分形維數(shù)將單位邊長的線段，正方形，立方體分成邊長為1/2的同樣幾何物體，得到21，22，23個小線段，正方形，立方體注意指數(shù)給出了幾何物體的維數(shù)若將幾何物體的長度（線度）縮小為1/r，定義分形維數(shù)得到N個相似小幾何物體，那么維數(shù)d滿足N=rdd=logN/logrKoch曲線的維數(shù)？約1.2618第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六分形的數(shù)學實例Cantor集Sierpinski集合從單位區(qū)間[0,1]出發(fā)，三分去中段，得E1，E1兩個區(qū)間三分去中得E2，極限集合為Cantor集數(shù)學名例：完備，完全不連通，長度0自相似，精細結構，簡單定義三角形四等分去中間小三角形所得極限圖形維數(shù)＝？第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六redosierpinski[ptlist_List]:=Block[{tmp={},i,pnum=Length[ptlist]/3},For[i=0,i<pnum,i=i+1,tmp=Join[tmp,{ptlist[[3i+1]],(ptlist[[3i+1]]+ptlist[[3i+2]])/2,(ptlist[[3i+1]]+ptlist[[3i+3]])/2,(ptlist[[3i+1]]+ptlist[[3i+2]])/2,ptlist[[3i+2]],(ptlist[[3i+2]]+ptlist[[3i+3]])/2,(ptlist[[3i+1]]+ptlist[[3i+3]])/2,(ptlist[[3i+2]]+ptlist[[3i+3]])/2,ptlist[[3i+3]]}]];tmp]Showsierpinski[ptlist_List]:=Block[{tmp={},i,pnum=Length[ptlist]/3},For[i=0,i<pnum,i=i+1,AppendTo[tmp,Polygon[{ptlist[[3i+1]],ptlist[[3i+2]],ptlist[[3i+3]]}]]];Show[Graphics[tmp],AspectRatio->1/GoldenRatio]]po1={{-1,0},{1,0},{0,Sqrt[3]}};Showsierpinski[Nest[redosierpinski,po1,3]]第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六Weierstrass函數(shù)W(x)=(s－2)ksin(kx),>1,1<s<2

數(shù)學分析中的著名例子：處處連續(xù)，但無處可微lambda=2;nmax=20;s=1.2;Plot[Sum[lambda^((s-2)k)Sin[(lambda^k)x],{k,1,nmax}],{x,-1,1}]使用Mathematica給s以不同的值的函數(shù)，自仿射第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六S=1.2S=1.5S=1.99S=1.7第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六復變函數(shù)的迭代Julia集：固定考慮Zk+1=Zk2+給定復數(shù)初值Z0,

，得到無窮復數(shù)序列{Zk}J={Z0序列{Zk}有界}Mandelbrot集：固定Z0MZ＝{

序列{Zk}有界}若Zk=xk+iyk,=p+iqxk＋1＝xk2－yk2,＋pyk＋1＝2xkyk,＋q第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六制作Mandelbrot集設定最大迭代次數(shù)N，圖形分辨率a,b,使用顏色數(shù)K設定一個上界M設將矩形域{－M≤x,y

≤

M}分成ab網(wǎng)格以每個網(wǎng)格點作為（p,q）,以原點作初值作迭代若對所有n

≤

N，xn2+yn2≤

M2,將迭代的所有

點用黑色顯示；而若從迭代某m步起xn2+yn2≤

M2

則將迭代所有點用第m(modK)種顏色顯示第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六iter[x_,y_,lim_]:=Block[{c,z,ct},c=x+I*y;z=c;ct=0;While[(Abs[z]<2.0)&&(ct<lim),++ct;z=z*z+c;];Return[ct];]Mandelbrot1=DensityPlot[iter[x,y,50],{x,-2.0,1.0},{y,-1.5,1.5},PlotPoints->120,Mesh->False]Mandelbrot2=Show[Mandelbrot1,Graphics[Line[{{-0.9,-0.25},{-0.7,-0.25},{-0.7,-0.05},{-0.9,-0.05},{-0.9,-0.25}}]]]Mandelbrot3=DensityPlot[iter[x,y,50],{x,-0.9,-0.7},{y,-0.25,-0.05},PlotPoints->1