教師資格考試高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力試題【科目三】模擬卷(5)及答案解析

教師資格考試高中數(shù)學(xué)科目三模擬題及答案解析中小學(xué)教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力試題（高級中學(xué)）模擬卷（5）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）要求的，請用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案字母按要求涂黑。錯選、多選和未選均無分。在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目1n2n1.極限lim1+的值是（）1+n2A.eB.11C.eD.02.下列級數(shù)中，不收斂的是（）(1)nA.nn11B.n2n11C.nn11D.n!n13.方程x2y2z21所確定的二次曲面是（）A.橢球面B.旋轉(zhuǎn)雙曲面C.旋轉(zhuǎn)拋物面D.圓柱面4.若函數(shù)fx所上01，黎曼可積，則fx在01，上（）A.1教師資格考試高中數(shù)學(xué)科目三模擬題及答案解析B.單調(diào)C.可導(dǎo)D.有界1225.矩陣212的特征值的個數(shù)為（）221A.0B.1C.2D.36.二次型x23xyy是（2）A.正定的B.負(fù)定的C.不定的D.以上都不是7.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》的課程目標(biāo)提出培養(yǎng)數(shù)學(xué)基本能力，對于用幾何方法證明“直線與平面平行的性質(zhì)定理”的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)的數(shù)學(xué)基本能力有（）A.推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理B.空間想象、推理論證、抽象概括C.推理論證、數(shù)據(jù)處理、空間想象D.數(shù)據(jù)處理、空間想象、抽象概括8.創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教的表述中不適合在教學(xué)生創(chuàng)新意識的是（A.發(fā)現(xiàn)和提出問題育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。下面培養(yǎng)學(xué)）B.尋求解決問題的不同策略C.規(guī)范數(shù)學(xué)書寫D.探索結(jié)論的新應(yīng)用2教師資格考試高中數(shù)學(xué)科目三模擬題及答案解析二、簡答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）x=tsint9.設(shè)質(zhì)點在平面上的運動軌跡為，t0，求質(zhì)點在時刻t1的速度的大小。y1cost10.設(shè)球面方程為x1y1z1169，求它在點4513，，處的切平面方程。22211.在體育活動中，甲乙兩人擲一枚六面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的骰子，如果結(jié)果為奇數(shù)，則甲跑一圈；若結(jié)果為1或2，則乙跑一圈，請回答甲跑一圈和乙跑一圈兩個事件是否獨立，并說明理由。12.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》描述“知識與技能”領(lǐng)域目標(biāo)的行為動詞有“了解”、“理解”、“掌握”、“運用”，請以“等差數(shù)列”概念為例，說明“理解的含義”。13.以“余弦定理”教學(xué)為例，簡述數(shù)學(xué)定理教學(xué)的主要環(huán)節(jié)。3教師資格考試高中數(shù)學(xué)科目三模擬題及答案解析三、解答題（本大題共1小題，每題10分，共10分）11014.設(shè)A121，求子空間ARAaaR的一組正交基。33341四、論述題（本大題共1題，每題15分，共15分）15.“嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相結(jié)合”是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則。（1）簡述“嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相結(jié)合”教學(xué)原則的內(nèi)涵（3分）；（2）實數(shù)指數(shù)冪在數(shù)學(xué)上是如何引入的？（6分）；（3）在高中“實數(shù)指數(shù)冪”概念的教學(xué)中，如何體現(xiàn)“嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相結(jié)合”的教學(xué)原則？（6分）五、案例分析題（本大題共1題，每題20分，共20分）16.案例：在“等差數(shù)列”的習(xí)題課教學(xué)中，老師布置了這樣一個問題：等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，求前110項的和，兩位同學(xué)a，公差為d，則的解法如下：學(xué)生甲：設(shè)等差數(shù)列的首項為1109S10ad100109911，解得a，d502101S100a100991001d1021001110109所以S110a1101d1102列2a前n項和為SAnBn，由已知得學(xué)生乙：設(shè)等差數(shù)nn4教師資格考試高中數(shù)學(xué)科目三模擬題及答案解析11A10010AB100100，∴S11011111110102110，解得10000A10010B111100110B10針對上述解法，一些學(xué)生提出了自己的想法。學(xué)生丙：怎么剛好有SSS呢？這是一種巧合嗎？上述所得到的結(jié)論中是否隱11010010含著一般性的規(guī)律呢？老師：同學(xué)丙所說的規(guī)律是否就是：a中，若存在正整數(shù)p、q，且pq，使得Sq，Sp，則列一般地，在等差數(shù)npqSSS()，請同學(xué)們進(jìn)行驗證。pq有pq問題：生乙解法各自的特點，并解釋學(xué)生乙設(shè)SAn2Bn的理由：（1）請分析學(xué)生甲和學(xué)n（12分）（2）請驗證（*）中結(jié)論是否成立。（8分）六、教學(xué)設(shè)計題（本大題共1題，每題30分，共30分）17.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》關(guān)于“古典概型”的教學(xué)要求是：“古典概型的教學(xué)讓學(xué)生通過實例理解古典概型的特征：實驗結(jié)果的有限性和每一個實驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，讓學(xué)生初步學(xué)會把一些實際問題化為古典概型，教學(xué)中不要把重點放在如何計算上”。請完成以下任務(wù)。（1）結(jié)合上述教學(xué)要求，請設(shè)計高中“古典概型”起始課的教學(xué)目標(biāo)；（6分）（2）請設(shè)計兩個符合古典概型的正例，以及兩個不符合古典概型的反例，以便理解古典概型的特征；（12分）（3）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面分別是1、2、3、4、5、6個點），請用兩種不同解法求出現(xiàn)偶數(shù)點的概率，并說明采用兩種解法對幫助學(xué)生理解古典概型的作用。（12分）5教師資格考試高中數(shù)學(xué)科目三模擬題及答案解析答案解析一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案字母按要求涂黑。錯選、多選和未選均無分。1.A2n1n212lim1+1n2n2limnn1lim1+en21e，故選A。n【解析】2.C1+n21+n2n1n11n2發(fā)散，故該級數(shù)條件收斂；B項，n【解析】A項，該級數(shù)收斂，又1nn1n1n11是絕對收斂。故選C。n!n絕對收斂；C項，為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的；D項n1n13.Bxyz222xyz22211【解析】旋轉(zhuǎn)雙曲面的一般方程為xyz（單葉雙曲面），（雙abcabc222222xyz2222221和1（a、b、c是任意的正常數(shù)）也是abcabc葉雙曲面）。方程222222雙葉雙曲面。題中的方程x2y2z21是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，故選B。4.D【解析】根據(jù)黎曼可積定義，即黎曼可積必有界，否則函數(shù)不可積。（發(fā)散）函數(shù)黎曼可積，函數(shù)可以有限個間斷點，故函數(shù)可以不連續(xù)，不可導(dǎo)，故選D。5.D122122120212212211【解析】【解析】A，EA221221221112150451212122112所以可求得三個特征值為1，15，，故選D。6.C6教師資格考試高中數(shù)學(xué)科目三模擬題及答案解析312【解析】該二次型對應(yīng)的系數(shù)矩陣為A，可得其一階順序主子式為10，32132150，故選C。4二階順序主子式為3217.B【解析】“直線與平面平行的性質(zhì)定理”的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)空間想象、推理論證和抽象概括能力，而對于數(shù)據(jù)處理能力的提升沒有明顯的作用，故選B。8.C【解析】創(chuàng)新意識是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。所以A、B、D項適合在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，故選為C。二、簡答題（共5題，每題7分，共35分）dx1costxtsint，所以y1costdydt9.【解析】因為，則速度大小為sintdtdxdy21costsin2t，所以t1時速度大小22dtdt12sin。1cos1sin122cos122210.【解析】設(shè)Fx，y，zx1y1z1169，所以F2x1，222xFy，F(xiàn)2z1，所以在任一點處的切平面的法向量為2x1，2y1，2z1。21yz將點4513，，代入得：n6824，，，所以在點4513，，處的切平面方程為6x48y524z130，即3x4y12z1880。3111.【解析】設(shè)甲跑一圈為事件A，乙跑一圈為事件B，∵PA，PB，而6263211事件A，B同時發(fā)生只有1種情況，即出現(xiàn)點數(shù)為1的情況，∴PAB，所以67教師資格考試高中數(shù)學(xué)科目三模擬題及答案解析PAPBPAB，∴事件A與事件B為獨立事件。12.【參考答案】理解一般可以理解為了解、領(lǐng)會，但是在我們數(shù)學(xué)中通常的意思是知其然，又要知其所以然。而對于新課標(biāo)的知識與技能目標(biāo)中行為動詞“理解”一般指的是對數(shù)學(xué)中概念、定理、公式等知道其來龍去脈。例如，利用等差數(shù)列的概念，即在教學(xué)過程中不是教師通過講授的方法告訴學(xué)生什么是等差數(shù)列，也不是教師讓學(xué)生單純地生記住什么是等差數(shù)列，教師應(yīng)該通過一些學(xué)生日常生活當(dāng)中的例子，讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律，自己列的概念，只有學(xué)生經(jīng)歷了自己觀察、分析、總結(jié)的過程才有可能知道等列概念的來龍去脈，最終理解等差數(shù)13.【參考的主要環(huán)節(jié)有：（1）定理的引入；（2）定理的證明；（3）定理的運用。下面就以余弦定理為例來加以闡述：首先，從解三角形的問題出發(fā)，提出解題需要，引發(fā)認(rèn)知沖突，激起學(xué)生的求知欲望，調(diào)動了學(xué)習(xí)的積極性；在定理證明的教學(xué)歸納總結(jié)出等差數(shù)差數(shù)列的概念。答案】數(shù)學(xué)定理教學(xué)生學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從向量知識、坐標(biāo)法、平面幾何等方面進(jìn)行分類討論。其次，在給出余弦定理的三個等式和三個推論之后，對知識進(jìn)行歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，便于學(xué)生識記，同時也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學(xué)生的思維層次。最后，命題的應(yīng)用是命題教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，學(xué)習(xí)命題的重要目的是應(yīng)用命題去解決問題。所以在這一環(huán)節(jié)精選例題、講解是至關(guān)重要的。三、解答題（共1題，10分）14.【解析】取R3上一組基：e(，010)，，e(，100)，，e(，01)，，則Ae(，11，3)，11231Ae(，124)，，Ae(，101)，，則A()R3{AaaR3}(，，)，2233123110110R(，，)2，又因為，1(，，)121011，所以341000線性無關(guān)，3123123，進(jìn)行施密特正交化，可得13(，113)，，1可作為A()R的一組基，將3，311，，，3，所以子空間1111114711A()R3{AaaR3}的一組正交基為，23111(，11，3)，，，471。111111128教師資格考試高中數(shù)學(xué)科目三模擬題及答案解析四、論述題（共1題，15分）15.【參考答案】（1）嚴(yán)謹(jǐn)性涵義主要是指數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)密性及結(jié)論的精確性，在中學(xué)的數(shù)學(xué)理論中也不例外。所謂數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，就是指對數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述必須精確，結(jié)論的論證必須嚴(yán)格、周密，整個數(shù)學(xué)內(nèi)容被組織成一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬒到y(tǒng)，教材有時對有些內(nèi)容避而不談，或用直觀說明，或用不完全歸納法驗證，或不必說明的做了說明，或擴(kuò)大公理體系等，這些做法主要是考慮到學(xué)生的可接受性，故意降低內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性，方便學(xué)生更好地掌握要學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。當(dāng)前數(shù)學(xué)教育界提出的“淡化形式，注重實質(zhì)”的口號實質(zhì)上也從一個側(cè)面反映出教學(xué)必須堅持嚴(yán)謹(jǐn)性與量力性相結(jié)合原則的問題。（2）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課首先用多媒體展示圖片，讓學(xué)生完成多媒體上的任務(wù)單，體會什么叫做平方根。在上述過程的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生聯(lián)想什么叫做立方根，并讓學(xué)生填寫下列表格（已知xna，表中已知a、n的值，求x的值）提出問題①上表中，對于a4，n2，所填寫的x叫做什么？②當(dāng)n45，時，所填寫的x也可叫做什么？③當(dāng)n分別為奇數(shù)和偶數(shù)時，所填寫的x有什么區(qū)別？用這些問題引入本節(jié)課的同時也激發(fā)學(xué)生對問題的興趣。（3）學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已經(jīng)了解了整數(shù)課在學(xué)生回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)指數(shù)，再推廣到實數(shù)指數(shù)，并將冪的運算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪。在平方根和立方根的基礎(chǔ)上類比出正數(shù)的n次方根的定義的過程比較嚴(yán)謹(jǐn)，但是將其進(jìn)一步推廣的過指數(shù)冪的概念和運算性質(zhì)，因此本節(jié)程中，由于中學(xué)生的可接受性是有限的，因此在教學(xué)中有些內(nèi)容是避而不談的，這就體現(xiàn)了嚴(yán)謹(jǐn)性和量力性相結(jié)合原則。五、案例分析(共3題，共20分)nn1d來計算216.【參考答案】（1）學(xué)生甲是直接利用等差數(shù)列的求和公式Snan1的，學(xué)生乙是將學(xué)生甲等差數(shù)列求和公式變形為二次函數(shù)的形式來計算的，甲、乙同學(xué)計算公式的本質(zhì)是一樣的，但是乙同學(xué)的計算方法簡化了計算量。學(xué)生乙是通過以下方法來變形nn1ddna21dddn，設(shè)A，Ba，所以公221得到計算公式的：Snan122219教師資格考試高中數(shù)學(xué)科目三模擬題及答案解析式就變形為：SAn2Bn。nSAppBpq①2（2）由于SAnBn，由題意可知：由①②得：22SAqBqp②qn2ApqBpqqp，Apq+B1可求出，B1Apq③，將③代入①2pqpq2得，Ap2pAppqq，A④，將④代入到③得：B1，所以pqpqpqpqpqpq2ApqBpq2S1pqpqpq2