常見不等式的解法歸納總結(jié)

x常不式x知點(diǎn)講一一一不式）（1若a，集為

.(2)若

a

，解集為|x

（3若a，b時解集為；當(dāng)時解集為二一一不式（

）（1），集為|.（2）

xx

，解集為

x

（3）

xx

，解集為

（4）

xx

，解集為

記憶口訣：大大取大，小小取小，大小小大中間找，小小大大解不了。三一二不式一元二次不等式

2

a，中

，x,x是方程ax1

2

bxa

的兩個根，且

x1（1當(dāng)

時，二次函數(shù)圖象開口向.（2①若解集為

x或x2②若

，解集為

xRx

.③若

，解集為

.(2)當(dāng)

時，二次函數(shù)圖象開口向.①若，集為

12

②若解集為四簡的元次等的法簡單的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具體步驟如例如，解一元高次不等式f()（1將f()（2將f()

最高次項系數(shù)化為正數(shù)分解為若干個一次因式或二次不可分因式（

）（3）每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線（注意重根情況，偶方根切而不過，奇次方根既穿又過，簡稱“奇穿偶切

（4根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的f(x)

的值的符號變化規(guī)律寫出不等式的解.如：求不等式

x2)((1)

x

的解集解化原不等式

x2)((3(2)0

如圖7-2所在數(shù)軸上標(biāo)出各根后據(jù)理畫出曲線（

x，x13

為奇次根，需穿；

x2

為偶次根，需切）由圖可，所求不等式的解集為

圖7-2五分不式（1

f(x)g)

f()x)

（2），

f(g)

f()gx)（3

fx)(x)

fx)g()(x)

（4），

fx)(x)

fx)()(x)六絕值等（1（2

fx)()[x2)]f(x()(g()f()g或f(x)f(xg(g(xfgx)；

；（3含有兩個或兩個以上絕對符號的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解題歸及路醒題1不式的法思提解有理不等式的思路是：先求出其相應(yīng)方程根，將根標(biāo)在x軸，結(jié)合圖象，寫出其解集、含參數(shù)的根需對參數(shù)分類討論后再寫解集例7.14（1解關(guān)于

x

的不等式

x2a23aR)（2知集合ax求實數(shù)的取值范圍.分

由于含參不等式中，其原方程的兩根大小不確定，故要進(jìn)行分類討.解

由已知得

)(

2

①當(dāng)

，得

a

時，解集為或

x|x|

，得

a，時解集為

x時解集為

③當(dāng)aa

，得

0

時，解集為或x（2axaB)(a①若

，即

，則a

（等號不能同時取得圖7-3所示a

，此時無解.

3

0

1②若

3a

，即

，由

B

圖，則（號不能同時取得7-4示a

綜上所述，實數(shù)的值范圍是

a

.a

0

1評

圖7-4本題考查一元二次不等式（含參）的解法，需要討論兩根的大小，進(jìn)而確定不等式的變1）

則關(guān)于x的等式a(xx

的解集為（）

1|x|aa

xx

（2若不等式組

的解集不是空集，則實數(shù)a取值范圍（）

(

[

[4,20]

D.

[例7.15

已知關(guān)于

的等式

bx

的解集為

xxx

，求關(guān)于

的不等式

bx

的解集分析

解法一：關(guān)于

的不等式

的解集為

xxx

，得

a

，

1111

bx0

5c25xxba2a

c（a0)

，關(guān)于x的等式ax

2

a

x

可變形為2x

x

，故解集為

.解二因為方程2bx

與方程2

的根互為相反數(shù)，若不等式ax

的解集為

xxx以，方程2bx

的兩根為xx12

，因此方程ax

bx兩x1

x2

，不等式

的解集為

x|

變1已

，則關(guān)于

x

的不等式cx

bx0

的解集為例7.16已知

a013

，則使得)2i

（i1,2,3

）都成立的x的值范圍是（）

(0,

1

)

(0,1

(0,)3

(0,)3解

由x)i

，得

i

，即

axi

得

0a2i

，又

a0(i1,2,3)i

，則ii

，不等式均成立，且

aa13

，故

x

1

，故選B變1若于x的等式

2

2

的解集中整數(shù)恰好有3個，則實的取值范圍是變2設(shè)

，若關(guān)于

x

的不等式

())

的解集中整數(shù)恰好有3個，則（）.B.0C.1D例7.17解列不等式（1(x1)(1)(x（2（3分

x(x(2x2)利“根”基步求.解（1化不式

(x0

，圖7-5所示在軸標(biāo)各根，后據(jù)理畫出曲線.

xx212

為奇次根，需穿，可知所求不等式的解集為.

1

2圖x3)(x2（2化原不等式為如圖所在軸上標(biāo)出各根然后畫出曲線x213需切，可知所求不等式的解集為：

為奇次根需，

x2

為偶次根，

2圖2)(x(x2（3化原不等式為如圖所，在數(shù)軸上標(biāo)出各個根，然后畫出曲線13

為奇次根，需穿，

x4

為偶次根，需切，可知所求不等式的解集為x

1圖

變1不式

x

x

的解集為（）x

B.x

x

D.變2不式

xx2

的解集為（）

(2,1)

(2,

(2,1)(2,

D.

(例7.18

不等式

xx

的解集為（）

.

11.[,1]([1,.(][1,22分

將式等轉(zhuǎn)為式等解由

x1)(2x得x2x

解得x

.故選A變1不等式

xx

的解集是變2不式

x(

的解集是（）.

11[].[C.[,1)(1,3]D[22變3若

f()xxx，則(x)

的解集為（）

(0,

(1,0)

(2,

D.

(題2絕值不式解思提求解絕對值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對值符號，而去掉絕對值符號的方法有等價轉(zhuǎn)換法、零點(diǎn)分法和數(shù)形結(jié)合法等.例7.19

若不等式的解集為

，則實數(shù)k=分

利用絕對值不等式的解法求解解

因為

，所以

得

2kx

，又不等式的解集為

，得

k

.變1若等式

3

的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，則b的值范圍例7.20（1若不等式

對一切實數(shù)

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍（2若不等式

x

的解集在

上不是空集，求實數(shù)

的取值范圍分

若f()

對于一切實數(shù)恒成立，只需滿足

f

min

即可；若f()a的集在上非空，只要

f

min

a

即可.解（1等式

對一切實數(shù)

恒成立由對值的幾何意義可知，

x

表示數(shù)軸上點(diǎn)

到3和4距離之和，那么對任意

恒成立，利用三角不等式可得x(x，故(x所以實數(shù)的取值范圍是(

min

，(xx

min

，故a，（2）由題意可知只需

axx

min

即可，而

(

min

，所以

a

，所以實數(shù)

的取值范圍是(1,

評絕值的幾何意義對于求解含參數(shù)的絕對值不等式參數(shù)的范圍有著化繁為簡的作用現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想在求解含參不等式方面的應(yīng).變1）不等式

對一切實數(shù)

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍（2若不等式

x

對一切實數(shù)

恒成立，求實數(shù)

的取值范圍最效練1．不等式組

的解集為（）

0

2．設(shè)函數(shù)

x

,x1x2

，則滿足f()2的的值范圍是（）

[

[0,2]

D.

[0,3．不等式

(x)

的解集是（）0

且

D.4．若集合

0

的值的集合是（）x

05．在上定義運(yùn)算：xx(1)..0C

，若不等式(x(x)D2

對任意實數(shù)成立，則（

）6．已知不等式

成立的充分不必要條件是

，則

的取值范圍是（）.

[,]

.

[

4]3

.

.

[,7．不等式

xx

的解集為8．不等式

x