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2021-2022學(xué)年浙江省寧波市九校高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知全集,集合,,則(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)槿?,集合,,,所以,所?故選:A.2.已知弧長為的扇形圓心角為,則此扇形的面積為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)題意求出扇形的半徑,再根據(jù)扇形的面積公式即可得解.【詳解】解:設(shè)扇形的半徑為,因?yàn)榛¢L為的扇形圓心角為,所以,所以,所以此扇形的面積為.故選:C.3.已知,,則“關(guān)于的不等式有解”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解:若關(guān)于的不等式有解,當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式一定有解,此時(shí)無法確定判別式是否大于零,當(dāng)時(shí),則,則關(guān)于的不等式有解不能推出,若,當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式一定有解,當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式有解,所以能推出關(guān)于的不等式有解,所以“關(guān)于的不等式有解”是“”的必要不充分條件.故選:B.4.已知函數(shù),則其圖象可能是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】從奇偶性,特殊點(diǎn)處的函數(shù)值的正負(fù)即可判斷.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,由函數(shù)的解析式可得:,則函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,選項(xiàng)B,D錯(cuò)誤;而,選項(xiàng)A錯(cuò)誤,C正確;故選:C.5.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為,為了保障安全,根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定:血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車,及以上人定為醉酒駕車,某駕駛員喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了,如果停止飲酒后,他的血液中的酒精會(huì)以每小時(shí)25%的速度減少,那么他至少要經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)后才能駕車(參考數(shù)據(jù):,)(
)A.3 B.4 C.5 D.7【答案】B【分析】由題意可知經(jīng)過小時(shí)后,體內(nèi)的酒精含量為,令求出t的取值范圍,即可求出結(jié)果.【詳解】解:經(jīng)過t小時(shí)后,體內(nèi)的酒精含量為:,只需,∴t>==≈=3.8,∴他至少要經(jīng)過4個(gè)小時(shí)后才能駕車.故選:B.6.已知是定義在上的偶函數(shù),且在為減函數(shù),則(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】先比較、、的大小,然后再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)比較即可.【詳解】因?yàn)?,?根據(jù)是定義在上的偶函數(shù),且在為減函數(shù),則有,所以.故選:C7.已知,則函數(shù)的最大值為(
)A.-1 B.1 C. D.【答案】A【分析】由題意,然后由二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】設(shè)則所以轉(zhuǎn)化為求,則其對(duì)稱軸方程為由,則所以在上單調(diào)遞增。故當(dāng)時(shí)有最大值為故選:A8.已知函數(shù),則方程的根的個(gè)數(shù)是(
)A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【分析】作出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象,由圖即得.【詳解】方程的根的個(gè)數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),作出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象:由圖象可知,方程的根的個(gè)數(shù)是7.故選:D.二、多選題9.下列命題是真命題的是(
)A.若,則B.若,且,則C.若,則D.若,則【答案】BD【分析】舉出反例可判斷AC,利用不等式的性質(zhì)即可判斷B,利用作差法即可判斷D.【詳解】解:對(duì)于A,若,當(dāng)時(shí),,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若,且,則,所以,所以,故B正確;對(duì)于C,若,當(dāng)時(shí),,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若,則,所以,故D正確.故選:BD.10.下列等式成立的是(
)A. B.C. D.【答案】AC【分析】利用三角函數(shù)恒等變換公式分析判斷【詳解】對(duì)于A,,所以A正確,對(duì)于B,,所以B錯(cuò)誤,對(duì)于C,,所以C正確,對(duì)于D,,所以D錯(cuò)誤,故選:AC11.已知在定義在上的奇函數(shù),滿足,當(dāng)時(shí),,則下列說法正確的是(
)A.B.C.,D.方程在的各根之和為-6【答案】ACD【分析】由題意可得是以4為周期的周期函數(shù),再由,可判斷選項(xiàng)A;當(dāng)時(shí),求出可判斷選項(xiàng)B;根據(jù)題意可得出從而可判斷性選項(xiàng)C;作出的示意圖,由圖象的對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由在定義在上的奇函數(shù),則由,所以,即則,即是以4為周期的周期函數(shù).由題意,所以又,則,所以所以,故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B.當(dāng)時(shí),故選項(xiàng)B不正確.選項(xiàng)C.所以當(dāng)時(shí),均為增函數(shù),則為增函數(shù).所以在上為增函數(shù),又為奇函數(shù),且所以在單調(diào)遞增,所以,由所以,所以必存在,使得,故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D.因?yàn)闉榕己瘮?shù),根據(jù)題意先作出在上的示意圖,然后由對(duì)稱性作出在上的圖象,如圖所示.根據(jù)對(duì)稱性可知方程在的各根之和為,故選項(xiàng)D正確.故選:ACD12.對(duì),,若,使得,都有,則稱在上相對(duì)于滿足“-普希茲”條件,下列說法正確的是(
)A.若,則在上相對(duì)于滿足“2-利普希茲”條件B.若,在上相對(duì)于滿足“-利普希茲”條件,則的最小值為C.若在上相對(duì)于滿足“4-利普希茲”條件,則的最大值為D.若在非空數(shù)集上相對(duì)于滿足“1-利普希茲”條件,則【答案】BC【分析】利用特例可判斷A,利用參變分離法求函數(shù)最值可判斷BC,由題可得為增函數(shù),利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】對(duì)于A,∵的定義域?yàn)椋?,則,又,∴,即在上相對(duì)于不滿足“2-利普希茲”條件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由題知,均有成立,當(dāng)時(shí)顯然成立,不妨設(shè),則,又,,∴,,故,故B正確;對(duì)于C,由題知,均有成立,即,當(dāng)時(shí)顯然成立,當(dāng)時(shí),則恒成立,又,,∴,即,所以的最大值為,故C正確;對(duì)于D,由題可得在非空數(shù)集上恒成立,當(dāng)時(shí)顯然成立,不妨設(shè),則,∴成立,令,則函數(shù)在非空數(shù)集上單調(diào)遞增,∵,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,又單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞減,故D錯(cuò)誤.故選:BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,通過分離常數(shù)法,再求函數(shù)值域即可.三、填空題13.計(jì)算___________.【答案】1【分析】直接根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算及對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可得解.【詳解】解:.故答案為:1.14.若是方程的兩根,,則___________.【答案】【分析】由韋達(dá)理及正切兩角和得到,再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】由題知,,而,所以,所以.故答案為:15.已知,若對(duì)恒成立,則實(shí)數(shù)___________.【答案】【分析】分情況討論當(dāng)時(shí),可得,當(dāng)時(shí),可得,即求.【詳解】當(dāng),即時(shí),,又,故,則恒成立,所以,解得;當(dāng),即時(shí),,故,即恒成立,∴,解得;綜上,實(shí)數(shù).故答案為:.16.已知正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值是___________.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù),結(jié)合條件及函數(shù)的單調(diào)性可得,然后利用基本不等式即得.【詳解】設(shè),則函數(shù)為增函數(shù),∵,∴,即∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即取等號(hào).故答案為:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),從而得到,再利用基本不等式可求.四、解答題17.從①;②;③,三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并求解.已知集合___________,集合.(1)當(dāng)時(shí),求;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)選①②③結(jié)果均為.(2)選①②③時(shí)答案一致,均為實(shí)數(shù)的取值范圍為【分析】(1)先解不等式,求出集合與,進(jìn)而求出;(2)得到,利用包含關(guān)系,分類討論,得到實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)選①時(shí):,解得:,即,又因?yàn)椋?,綜上:選②時(shí):,解得:,所以選③時(shí):,解得:,所以當(dāng)時(shí),當(dāng)選①時(shí),;當(dāng)選②時(shí),;當(dāng)選③時(shí),.(2)因?yàn)?,所以,由第一問可知:選①時(shí),當(dāng)時(shí),,解得:,當(dāng)時(shí),要滿足,解得:,綜上:實(shí)數(shù)的取值范圍為選②③時(shí),答案與①一致,均為實(shí)數(shù)的取值范圍為18.已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)將的圖象向左平移個(gè)單位,再將此時(shí)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)保持不變,得到的圖象,求圖象的對(duì)稱軸方程.【答案】(1)的最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為(2)圖象的對(duì)稱軸方程【分析】(1)利用三角恒的變形公式化簡(jiǎn)的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得答案.(2)根據(jù)函數(shù)的圖像變換先求出的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得答案.(1)所以,則的最小正周期為由,解得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)將的圖象向左平移個(gè)單位,得從而由,得所以圖象的對(duì)稱軸方程19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可得,整理即可得解;(2)利用定義法可得函數(shù)在上遞減,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可將不等式對(duì)恒成立,轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,求出的最大值即可得解.(1)解:因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù),所以,即,所以,所以;(2)解:由(1)得,任取,則,即,所以函數(shù)在上遞減,若不等式對(duì)恒成立,則不等式對(duì)恒成立,即不等式對(duì)恒成立,即不等式對(duì)恒成立,所以對(duì)恒成立,由,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以.20.如圖,某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(直角三角形三條邊,是直角頂點(diǎn))來處理污水,管道越長,污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點(diǎn),分別落在線段上(含線段兩端點(diǎn)),已知米,米,記.(1)試將污水凈化管道的總長度(即的周長)表示為的函數(shù),并求出定義域;(2)問取何值時(shí),污水凈化效果最好?并求出此時(shí)管道的總長度.【答案】(1),(2)或時(shí),L取得最大值為米.【分析】(1)解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式,再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數(shù)解析式,并注明θ的范圍.(2)設(shè)sinθ+cosθ=t,根據(jù)函數(shù)L=在[,]上是單調(diào)減函數(shù),可求得L的最大值.同時(shí)也可求得值.(1)由題意可得,,,由于,,所以,,,即,(2)設(shè),則,由于,由于在上是單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí),即或時(shí),L取得最大值為米.21.已知函數(shù).(1)若在單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根,求的取值范圍.【答案】(1);(2).【分析】(1)由題可得,即得;(2)由題可得,然后通過換元構(gòu)造函數(shù),再求函數(shù)的值域即得.(1)∵,在單調(diào)遞減,∴在上,且單調(diào)遞減,∴,所以,即實(shí)數(shù)的取值范圍為;(2)由,可得,即,∴,∴令,則,令,由,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,,所以方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根,的取值范圍為.22.已知函數(shù).(1)若,寫出的單調(diào)遞增區(qū)間(不要求寫出推證過程);(2)若存在,使得對(duì)任意都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)結(jié)合函數(shù)的解析式,直接寫出其單調(diào)增區(qū)間即可;(2)分類討論,討論與區(qū)間的位置關(guān)系,將存在,使得對(duì)任意都有的問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的最值問題.(1)當(dāng)時(shí),,單調(diào)增區(qū)間為;(2)由題意可知即,而,當(dāng)即時(shí),對(duì)任意,為增函數(shù),對(duì)任意都有,故只需,即,整理得,要使b存在,需,即,與矛盾,故此時(shí)不合題意;當(dāng)即時(shí),,,,,又,,若時(shí),,所以,所以,整理得,要使b
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