2021-2022學(xué)年湖南省A佳大聯(lián)考高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年湖南省A佳大聯(lián)考高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．集合，則（

）A． B．C． D．．【答案】D【分析】分別解三角不等式、二次不等式，化簡(jiǎn)集合A，B，求交集即可.【詳解】因?yàn)?,所以故選：D2．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)兩個(gè)集合，根據(jù)充分性、必要性的定義及集合間的關(guān)系判斷即可.【詳解】由題意，，或，所以或故“”能推出“”，充分性成立；但“”不能推出“”，必要性不成立；則“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．已知的終邊上有一點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】因?yàn)榈慕K邊上有一點(diǎn)，所以，所以，故選：C4．設(shè)函數(shù)，則的值等于（

）A． B． C． D．10【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分別求出，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，，，則；故選：C5．若，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，得到答案.【詳解】，，.故.故選：B.6．函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，進(jìn)而做出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合和求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖像如圖所示，所以函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，.故選：C7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是A． B．C． D．【答案】A【解析】【詳解】試題分析：，排除C選項(xiàng)；，排除D選項(xiàng)；，排除B，故選A．【解析】函數(shù)圖象與解析式．8．若關(guān)于x的函數(shù)在上的最大值為M，最小值為N，且，則實(shí)數(shù)t的值為（

）A． B．505 C．1010 D．2020【答案】B【分析】將函數(shù)進(jìn)行變形，然后構(gòu)造，利用奇函數(shù)的定義以及性質(zhì)分析求解即可．【詳解】函數(shù)，令，則，所以為奇函數(shù)，因?yàn)殛P(guān)于的函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，且，則的最大值為，最小值為，所以，則．故選：B二、多選題9．下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．若，則有最小值2【答案】BC【分析】取，計(jì)算得到A錯(cuò)誤，根據(jù)不等式性質(zhì)得到B正確，化簡(jiǎn)得到C正確，利用均值不等式得到D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】取，滿(mǎn)足，不滿(mǎn)足，A錯(cuò)誤；若，故，故，則，B正確；，即，成立，C正確；，，，當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，等號(hào)成立條件不滿(mǎn)足，D錯(cuò)誤；故選：BC.10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼CD【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到A正確，計(jì)算定義域得到B錯(cuò)誤，取解方程得到C正確，，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到D正確，得到答案.【詳解】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，A正確；定義域滿(mǎn)足：，解得或，B錯(cuò)誤；，即，解得或，C正確；，故，D正確.故選：ACD.11．定義：若對(duì)于定義域內(nèi)任意x，總存在正常數(shù)a，使得恒成立，則稱(chēng)函數(shù)為“a距”增函數(shù)，以下判斷正確的有（

）A．函數(shù)是“a距”增函數(shù)B．函數(shù)是“1距”增函數(shù)C．若函數(shù)是“a距”增函數(shù)，則a的取值范圍是D．若函數(shù)是“2距”增函數(shù)，則k的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)“距”增函數(shù)的定義，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，所以是“距“增函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，對(duì)任意，，因?yàn)椋?，所以，即是?距”增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，因?yàn)槭恰熬唷痹龊瘮?shù)，所以恒成立，因?yàn)椋?，所以，解得，因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，是“2距“增函數(shù)，則在時(shí)恒成立，變形可得，即在時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，所以，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，綜上可知，的范圍是，故D正確，故選：ABD三、填空題12．________．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及誘導(dǎo)公式求解.【詳解】因?yàn)?，故答案為?3．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】【分析】由題意得函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，由的解析式可得函數(shù)在單調(diào)遞減，并求出的解析式，可得，從而得到關(guān)于的不等式，即可得答案.【詳解】，關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，則關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，，中，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，且，，解得，故答案為：.14．已知扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，若其周長(zhǎng)為6，當(dāng)該扇形面積最大時(shí)，其圓心角為，則_________．【答案】【分析】根據(jù)扇形的面積公式結(jié)合均值不等式得到，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】根據(jù)題意：，故，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立..故答案為：.15．設(shè)函數(shù)，若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，且，則的取值范圍為_(kāi)___________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性作出圖象，結(jié)合圖象，得到且，求得，化簡(jiǎn)，結(jié)合換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：由題意，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，所以在與上的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，作出圖象，如圖所示，因?yàn)?，可得且，所以，所以，所以，又由，令，則原式化為，因?yàn)槠鋵?duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，所以在上單調(diào)遞增，可得，所以的取值范圍是.故答案為:．

四、解答題16．已知函數(shù)和，下列結(jié)論中正確的有（

）A．若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，則B．若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)D．若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則【答案】AD【分析】計(jì)算得到A正確，畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知B錯(cuò)誤，轉(zhuǎn)化為或，解方程得到C錯(cuò)誤，轉(zhuǎn)化為的兩個(gè)零點(diǎn)在上，解得D正確，得到答案.【詳解】沒(méi)有零點(diǎn)，故，解得，A正確；畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示，，即，故或，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即或，，解得，當(dāng)，無(wú)解，故共有1個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，需滿(mǎn)足的兩個(gè)零點(diǎn)在上，即，，且，解得，D正確.故選：AD.17．計(jì)算下列各式的值：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則直接計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則直接計(jì)算得到答案.(1).(2).18．已知函數(shù)．(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)令函數(shù)，求在區(qū)間上的值域．【答案】(1)，和(2)【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用三角函數(shù)的變換和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．(1)函數(shù)，令，整理得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，由于，，當(dāng)，1時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，和．(2)由于；由于，所以，故，故，故函數(shù)的值域?yàn)椋?9．環(huán)境污染已經(jīng)觸目驚心，環(huán)境質(zhì)量已經(jīng)成為“十三五”實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)奮斗目標(biāo)的短板和瓶頸．綿陽(yáng)某化工廠每一天中污水污染指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為其中為污水治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且（1）若，求一天中哪個(gè)時(shí)刻污水污染指數(shù)最低；（2）規(guī)定每天中的最大值作為當(dāng)天的污水污染指數(shù)，要使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過(guò)，則調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）一天中早上點(diǎn)該廠的污水污染指數(shù)最低;（2）調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在內(nèi).【解析】【詳解】試題分析：（1）時(shí)，，，令，解得即可得出；（2）利用換元法，則，故將表示成關(guān)于的分段函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出.試題解析：（1）因?yàn)?則.

當(dāng)時(shí)，,得，即.所以一天中早上點(diǎn)該廠的污水污染指數(shù)最低.

（2）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，.設(shè),則,

顯然在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則,

因?yàn)?則有，解得，

又，故調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在內(nèi).

20．已知函數(shù)的最大值與最小值分別為3和．(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)a的最大值為b，，且有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求c的取值范圍．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，令，可得，由的最小值為可確定，從而可得的取值范圍，再由的最大值為3及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解的取值范圍；（2）由題意可得，令，可得，，，由題意可得在，上有兩個(gè)不同的實(shí)根，結(jié)合判別式大于0，對(duì)稱(chēng)軸和端點(diǎn)的函數(shù)值，得到不等式組，即可求得的取值范圍．(1)由題意可知函數(shù)，令，則，當(dāng)求得最小值時(shí)，，又因?yàn)?，，所以，所以，，?dāng)求得最大值3時(shí)，由，可得或，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，即，所以，解得，即的取值范圍是，．(2)由（1）可知，則，，令，則，，則，，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，所以在，上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則，解得，即的取值范圍是，．21．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義加以證明；(2)若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）先設(shè)，然后利用作差法比較與的大小即可判斷；（2）結(jié)合單調(diào)性及奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可求．(1)函數(shù)單調(diào)遞增，證明如下：因?yàn)?，設(shè)，則，所以，所以在上單調(diào)遞增；(2)因?yàn)?，，存在，，使得不等式成立，即，所以，整理得，在，上有解，即，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，上式取得最大值，所以，所以的范圍為．22．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果存在，使得在上的值域也為，則稱(chēng)為“A佳”函數(shù)．已知冪函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)，當(dāng)?shù)淖钚≈凳?時(shí)，求m的值；(3)若函數(shù)，且是“A佳”函數(shù)，試求出實(shí)數(shù)n的取值范圍．【答案】(1)；(2)-1；(3)【分析】（1）由冪函數(shù)的定義及性質(zhì)即可求解的值；（2）求得，，，令，則函數(shù)轉(zhuǎn)化為則，，，對(duì)分類(lèi)討論，求出最小值，即可求得的值；（3）在，上單調(diào)遞減，由“佳”函數(shù)的概念可得，利用換元法可求得，再利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解的取值范圍．(1)（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為．(2)，，，令，則，，則，，，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為（1），所以，解得；當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，所以，解得（舍；當(dāng)，即時(shí)，的最小值為