【例題講解】與相似有關(guān)的最值問題 例2

例

如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點(diǎn)D是線段BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合）．在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=45°．（1）求證：△ABD∽△DCE

；（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出當(dāng)BD為何值時(shí)，AE取得最小值．分析：（1）11∠BAC=90°，AB=AC∠BAD=∠CDE△ABD∽△DCE∠B=∠C=45°∠ADE=45°例

如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點(diǎn)D是線段BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合）．在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=45°．（1）求證：△ABC∽△DCE

；（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出當(dāng)BD為何值時(shí)，AE取得最小值．證明：（1）∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°∴∠B=

∠C=45°

在△ABD中，∠ADB+∠BAD+∠B=180°∴∠ADB+∠BAD=135°又∵∠ADB+∠EDC+∠ADE=180°且∠ADE=45°∴∠ADB+∠EDC=135°∴

∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE例

如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點(diǎn)D是線段BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合）．在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=45°．（1）求證：△ABC∽△DCE

；（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出當(dāng)BD為何值時(shí)，AE取得最小值．分析：（2）11-yBC=△ABD∽△DCExy∠BAC=90°，AB=AC=1DC=-xCE=1-y化為二次函數(shù)求最值例

如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點(diǎn)D是線段BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合）．在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=45°．（1）求證：△ABC∽△DCE

；（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出當(dāng)BD為何值時(shí)，AE取得最小值．解：（2）小結(jié)：將幾何問題中兩條線段關(guān)系表達(dá)成了一個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系，研究線段的最小值問題，就轉(zhuǎn)化到了研究二次函數(shù)的最值問題.∵∠BAC=90°，AB=AC=1∴BC=∵BD=x，AE=y∴CD=，CE=當(dāng)即BD=時(shí)，