基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

一、何謂APOS理論？APOS理論是由美國數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基（Dubinsky）在20世紀(jì)80年代提出的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新理論，是一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，被譽(yù)為近年來數(shù)學(xué)教育界最大的理論成果之一.它分別是由英文action（操作）、process（過程）、object（對象）和schema（圖式）的第一個(gè)字母所組合而成.這種理論認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念必須要進(jìn)行心理建構(gòu)，這一建構(gòu)過程要經(jīng)歷四個(gè)階段：（1）活動(dòng)階段：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，操作運(yùn)算行為是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)性行為.學(xué)生與數(shù)學(xué)家一樣，要親自投入，通過實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來獲得知識.（2）過程階段：不斷重復(fù)這種操作，學(xué)生從中得到不斷反思，于是就會在大腦中進(jìn)行一種內(nèi)部的心理建構(gòu)，即形成一種過程模式.這種過程模式使得操作呈現(xiàn)出自動(dòng)化的表現(xiàn)形式，而不再借助于外部的不斷刺激.（3）對象階段：當(dāng)學(xué)生意識到可以把這個(gè)過程看作是一個(gè)整體，并意識到可以對這個(gè)整體進(jìn)行轉(zhuǎn)換和操作的時(shí)候，其實(shí)已經(jīng)把這個(gè)過程作為一個(gè)一般的數(shù)學(xué)對象，形成一個(gè)“實(shí)體”.這時(shí)不但可以具體地去指明它所具有的各種性質(zhì)，也可以此為對象具體地去實(shí)施各種特定的數(shù)學(xué)演算.（4）圖式階段：個(gè)體對操作、過程、對象以及他自己頭腦中的原有的相關(guān)方面的問題圖式進(jìn)行相應(yīng)的整合、精選就會產(chǎn)生出新的問題圖式，這種圖式的作用和特點(diǎn)就是可以決定某些問題或某類問題是否屬于這個(gè)圖式，從而就會作出不同的反應(yīng).顯然，個(gè)體的思維和認(rèn)識狀況在這種持續(xù)建構(gòu)中已經(jīng)上升到更高的層次.即對有關(guān)概念進(jìn)行了更高層次的加工和心理表征.二、APOS理論下的基本不等式教學(xué)策略1.基于APOS理論的基本不等式的教學(xué)策略教材中，對基本不等式內(nèi)容的編排符合APOS理論對于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理建構(gòu)過程，因此運(yùn)用此理論能設(shè)計(jì)出更好的基本不等式教學(xué)策略.下面以基本不等式的教學(xué)為例.要使大部分學(xué)生達(dá)到操作階段，在教學(xué)中對此階段不可馬虎，因?yàn)樗菍W(xué)生掌握性質(zhì)的第一階段.為了讓學(xué)生在一步步的操作中獲得對基本不等關(guān)系的初步認(rèn)識，我們可選取一個(gè)與生活聯(lián)系密切的問題（天平稱物重問題），并讓學(xué)生思考如何合理地表示物體的質(zhì)量？同時(shí)通過Excel計(jì)算，讓學(xué)生通過取一些具體數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，作出猜想，以加深其對與大小關(guān)系的直觀印象.在通過猜想得到與大小關(guān)系后，引導(dǎo)學(xué)生如何來論證此猜想.從而進(jìn)一步歸納證明不等式的基本方法，然后揭示基本不等式的本質(zhì)：描述的是兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的關(guān)系，再讓學(xué)生完成一個(gè)對具體數(shù)學(xué)問題的解決，以鞏固這一知識.這種根據(jù)實(shí)際問題逐步抽象，用語言或解析式來表示基本不等式的過程即達(dá)到了APOS理論中的過程階段.最后一環(huán)節(jié)“圖式”階段.盡管大量的習(xí)題對學(xué)生鞏固基本不等式是有效的，但不可效仿傳統(tǒng)的“題海式”，而應(yīng)考慮例題的特點(diǎn)，以生活中的實(shí)例（回到開始天平稱物重的實(shí)例），讓學(xué)生從具體到抽象進(jìn)一步體會運(yùn)用基本不等式解決函數(shù)的最值問題及不等式的證明問題，通過對基本不等式的多種幾何解釋，完成最后的圖式階段，從另一個(gè)角度加深對基本不等式的認(rèn)識.2.基于APOS理論的基本不等式的教案基本不等式在高中數(shù)學(xué)中的重要性不僅在于它的概念理解，還體現(xiàn)在利用基本不等式解決函數(shù)的最值問題和不等式的證明問題.根據(jù)筆者對APOS理論的理解設(shè)計(jì)出以下基本不等式的教學(xué)方案.第一階段：觀察與操作（活動(dòng)階段）——表現(xiàn)活動(dòng)為主的感性認(rèn)識問題1用一個(gè)天平稱一件物品，如何操作方能合理地表示物體的重量？：把砝碼放在一邊，物體放在另一邊就行了?。翰粚?，天平可能不等臂，為些要左右各秤一次，將兩次所稱重量a，b相加后除以2就可以了.師：的做法合理嗎？請大家討論，給出理由?。翰缓侠恚@樣的做法仍然存在偏差，根據(jù)物理學(xué)科的杠桿原理，在的基礎(chǔ)上可求出物體的真實(shí)重量，應(yīng)該為.設(shè)計(jì)意圖由生活情境引入新課，激發(fā)興趣.在APOS理論中達(dá)到操作階段，對于一個(gè)未知（是否等臂）的天平而言，簡單的操作顯然可能導(dǎo)致出現(xiàn)偏差.通過小組的討論能找出最佳的稱物重的方法，并發(fā)現(xiàn)與的大小關(guān)系，為基本不等式提供了視覺支撐和數(shù)學(xué)符號支撐.第二階段：綜合分析（過程階段）——思維活動(dòng)為主的理性思考師：非常好，能自我修正！那么在數(shù)學(xué)中，驗(yàn)證能替代證明嗎？有沒有更加嚴(yán)格的論證方法呢？問題2上述不等式成立嗎？請說明理由！學(xué)生活動(dòng)，小組討論部分：師：這就是證明不等式的基本方法之一：作差法.這種證法大家很容易發(fā)現(xiàn).問題3如何理解“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義？：就是兩者等價(jià)的意思！師：說得能否再明白點(diǎn)呢？師：這種證法的特點(diǎn)是怎樣的呢？：從結(jié)果出發(fā)，一步一步倒推到已知的結(jié)論（或條件）！師：這種“執(zhí)果索因”的證明方法稱為“分析法”.其書寫格式是：（1）要證，即證（或用表示即證）.（2）上述各步均可逆.（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.）這種證法顯然與分析法過程恰恰相反，是由已知結(jié)論（或條件）出發(fā)，一步一步推導(dǎo)結(jié)果.師：這種由因索果的證明方法我們稱之為“綜合法”.教師點(diǎn)評①比較法（比差、比商法）、分析法、綜合法是證明不等式的基本方法.②強(qiáng)調(diào)“當(dāng)且僅當(dāng)”的重要作用.③比較上述兩個(gè)不等式的特征（強(qiáng)調(diào)它們的限制條件，并舉反例加以說明）.設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在頭腦中對反復(fù)的不等式的證明活動(dòng)作出嘗試，并不斷進(jìn)行分析、反思，通過思維的內(nèi)化、整合與壓縮，形成過程模式，抽象出基本不等式的概念，即“活動(dòng)”內(nèi)化為“過程”.此時(shí)個(gè)體能夠?qū)静坏仁降母拍钸M(jìn)行一般化，認(rèn)識其實(shí)質(zhì)，由此對概念的認(rèn)識從感性上升到理性，從而為第三階段形成概念做好鋪墊.第三階段：建構(gòu)理論（對象階段）——數(shù)學(xué)表示與應(yīng)用問題4你能用準(zhǔn)確的文字語言表述基本不等式嗎？：兩個(gè)正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù).問題5我們能否將基本不等式的條件進(jìn)一步完善呢？設(shè)計(jì)意圖在APOS理論中達(dá)到對象階段，把a(bǔ)和b看成一個(gè)整體，對其進(jìn)行分析.著重體現(xiàn)運(yùn)用基本不等式的條件（非負(fù)實(shí)數(shù)）和定值（和定積最大，積定和最?。?師：非常好！我們不妨分組來解決大家提出的問題！設(shè)計(jì)意圖通過學(xué)生互動(dòng)，感受利用基本不等式來求解函數(shù)的最值問題，需要注意的有三點(diǎn)：一正二定三相等.在教學(xué)實(shí)踐中，教師要充分利用實(shí)際問題、變式問題、開放問題以及學(xué)生自己的反例等具有啟發(fā)性和探索性的問題，組織生動(dòng)有趣的操作活動(dòng)，將概念作為一個(gè)已知對象應(yīng)用到它生存的土壤和背景中，并把它作為一個(gè)工具、一個(gè)新的對象來對待，力求從不同角度來加深學(xué)生對概念的認(rèn)識，豐富學(xué)生對概念的理解，促進(jìn)學(xué)生對概念的建構(gòu).第四階段：形成圖式（圖式階段）——辨析與反思問題9我們學(xué)習(xí)了基本不等式及其簡單應(yīng)用，那么我們能否換個(gè)角度來欣賞基本不等式呢？比如通過形的角度來解釋此不等式呢？大家開始討論，各小組內(nèi)成員均發(fā)表自己的見解！師：很好！剛才的這個(gè)圖標(biāo)是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽圖案.這個(gè)會議是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會”.這個(gè)圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的“趙爽弦圖”.點(diǎn)評從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義；從數(shù)的角度來看，基本不等式揭示了“和”與“積”這兩種結(jié)構(gòu)間的不等關(guān)系.設(shè)計(jì)意圖通過圖形的認(rèn)識，加深學(xué)生對重要不等式的認(rèn)識和理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學(xué)思想，多方面思考問題的能力.完成最后圖式階段，使學(xué)生從數(shù)和形兩方面掌握完整的基本不等式的內(nèi)涵和其他概念的區(qū)別和聯(lián)系，并能在解決問題時(shí)創(chuàng)設(shè)與概念相關(guān)的問題情境.三、教學(xué)感悟上述案例圍繞著“活動(dòng)”、“過程”、“對象”和“圖式”四個(gè)階段實(shí)施概念教學(xué)，環(huán)環(huán)相扣，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生在自己的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)本質(zhì)之間不斷對話，在連續(xù)性地回顧與反思過程中提升、擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)識，深化對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，使學(xué)生明確了：（1）概念的發(fā)生、發(fā)展過程及其產(chǎn)生的背景；（2）概念中有哪些規(guī)定和限制條件，它們與以前學(xué)過的哪些知識有著怎樣的聯(lián)系；（3）概念的名稱和表示方法有何特點(diǎn)；（4）概念有沒有等價(jià)的敘述；（5）運(yùn)用概念能解決哪些數(shù)學(xué)問題.從而實(shí)現(xiàn)了真正意義上的概念建構(gòu)，取得了較好的教學(xué)效果.但運(yùn)用APOS理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)時(shí)需要注意以下幾點(diǎn).（1）數(shù)學(xué)概念的建立應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則，不能一蹴而就.這就需要經(jīng)過多次反復(fù)，螺旋上升，直至學(xué)生真正理解.同時(shí)APOS理論的四個(gè)階段并非一定體現(xiàn)在一堂數(shù)學(xué)課當(dāng)中，也不是每一課都必須遍歷四個(gè)階段，它適用于數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的一段時(shí)期，并不局限于某一堂課.（2）A-P-O-S四階段是一個(gè)相對連續(xù)的過程.四個(gè)階段也可認(rèn)為代表著概念在學(xué)生腦海中建立起來的四個(gè)必經(jīng)路段，并且它們是相對連續(xù)的過程.如果忽略P階段直接由A階段跳躍到O階段，或是跨越O階段直至S階段都是不現(xiàn)實(shí)的.概念在學(xué)生大腦建立期間，任一階段都是不可缺少的.缺少其中任一階段建立起來的數(shù)學(xué)概念要么現(xiàn)實(shí)根基不牢，要么缺乏抽象、提升或是成熟應(yīng)用.（3）不能將APOS絕對化，實(shí)際操作時(shí)，往往“活動(dòng)”與“思考”可以穿插進(jìn)行，活動(dòng)中