借對(duì)稱(chēng)求最短距離

萬(wàn)變不離其宗

---借軸對(duì)稱(chēng)求最短距離B·lA·B′C現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六最短距離問(wèn)題考查知識(shí)點(diǎn)：“兩點(diǎn)之間線段最短”,“點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”。生活中的原型：“建奶站問(wèn)題”，“牧馬人飲馬問(wèn)題”等。出題背景變式：有角、三角形、菱形、正方形、圓、坐標(biāo)軸、雙曲線、拋物線等。解題總思路：（不變的“宗”）：找點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”.

現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六在北師版七年級(jí)數(shù)學(xué)（下）的第123頁(yè)上：如圖，要在街道旁修建一個(gè)奶站，分別向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使A、B到它的距離之和最短？數(shù)學(xué)模型1現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六數(shù)學(xué)問(wèn)題1

已知：直線L和L的同側(cè)兩點(diǎn)A、B求作：點(diǎn)C，使C在直線L上，并且AC＋CB最小。現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六∴BC+AC

<BC’+AC’，即AC+BC最小．LBACA'C'∵直線L是點(diǎn)A、A’的對(duì)稱(chēng)軸，

點(diǎn)C、C’在對(duì)稱(chēng)軸上，∴AC=A’C，AC’=A’C’．在△BA

’C’中，BA’<

BC’+A

’C’，∴BC+AC

=A’C+BC

=

A’B．∴AC’+BC’=A’C’+BC’做法：作點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B與直線L相交于點(diǎn)C，連接AC，則AC+BC最短。則點(diǎn)C就是奶站的位置依據(jù)？：以此題為“宗”的題目可以說(shuō)層出不窮，如：現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六1.在正方形中探求線段和的最小值例1：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DN＋MN的最小值為

N連接BM交AC于N，連接DN，可得BN=DN，因此DN+MN=BN+MN=BM.現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六變式1：如圖所示，正方形ABCD的面積為36，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD＋PE的和最小，則這個(gè)最小值為()

面積為36，所以AB=BE=6現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六變式2：如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC＋ED的最小值為_(kāi)______現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六2.在圓背景下探求線段和的最小值例2：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=2，OC是⊙O的半徑，OC⊥AB，點(diǎn)D在AC上,弧AD=2弧CD，點(diǎn)P是半徑OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么AP+PD的最小值是

.PADCOB現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六變式：已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是弧AD的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．2.在圓背景下探求線段和的最小值現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六3.在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值例3：在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，－2），B（4，2）兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C（1，n），當(dāng)n=___時(shí),AC+BC的值最?。F(xiàn)在是11頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六3.在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值

變式1：一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六令X=0得，Y=1，所以P點(diǎn)（0.1）現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六變式2：已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與Y軸交于點(diǎn)C。且對(duì)稱(chēng)軸為直線X=-1，其中A點(diǎn)（-3,0），C點(diǎn)（0，-2）（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）已知在對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最小．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．ACxyBO現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六（2）已知在對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最?。?qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六4、在角的背景下探求線段和的最小值例4：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六變式：如圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，且∠AOB=45°,OP=2cm,在射線OA、OB上找點(diǎn)C、D，使PC+CD+DP之和最小。思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小為多少嗎？現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六數(shù)學(xué)模型2如圖：C處為馬棚，D處為帳篷，牧馬人某一天要從馬棚牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定所走的最短路線?，F(xiàn)在是19頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六

數(shù)學(xué)問(wèn)題2如圖：C、D在∠AOB的內(nèi)部，在OA、OB上分別找點(diǎn)G、H，使得CG+GH+DH最短作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線

OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)F,2.作點(diǎn)D關(guān)于直線OB

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)E,

3.連接EF分別交直線OA.OB于點(diǎn)G.H，則CG+GH+DH最短FAOBD

··CEGH現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六例題：在直線m、n上分別求點(diǎn)M、N,使得四邊形PQMN的周長(zhǎng)最小現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六變式1:如圖點(diǎn)A（a，1）、B（－1，b）都在雙曲線(x<0)上，點(diǎn)P、Q分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PABQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，PQ在直線的解析式是（）.A.y＝xB.y＝x＋1C.y＝x＋2D.y＝x＋3現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六變式2：(2016貴陽(yáng))25.如圖，直線y=5x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過(guò)A，C兩點(diǎn)的二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象交x軸于另一點(diǎn)B.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M（4，m）是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，在x軸、y軸上分別找點(diǎn)F，E，使四邊形HEFM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)F，E的坐標(biāo).現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六我的收獲：現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六[課堂小結(jié)]1、構(gòu)建“對(duì)稱(chēng)模型”實(shí)現(xiàn)折轉(zhuǎn)直P(pán)NPP2.關(guān)鍵：作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)將線段轉(zhuǎn)化，從而利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解決現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有29頁(yè)\編輯于星期六測(cè)試題：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的