直線的斜率與直線方程

直線的斜率與直線方程第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六完全與教材同步，主干知識精心提煉。素質(zhì)和能力源于基礎(chǔ)，基礎(chǔ)知識是耕作“半畝方塘”的工具。視角從【考綱點擊】中切入，思維從【考點梳理】中拓展，智慧從【即時應(yīng)用】中升華?？茖W的訓練式梳理峰回路轉(zhuǎn)，別有洞天。去盡情暢游吧，它會帶你走進不一樣的精彩！第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六三年3考高考指數(shù):★★1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；2.掌握確定直線位置的幾何要素；3.掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六1.直線的斜率、直線方程是高考的重點；2.本部分內(nèi)容常與圓錐曲線綜合命題，重點考查函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想；3.多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題目.第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六1.直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角①一個前提：直線l與x軸_______；一個基準：取______作為基準；兩個方向：x軸正方向與直線l向上方向.②當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定：它的傾斜角為_____.相交x軸0°第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六(2)直線的斜率①定義：若直線的傾斜角θ不是90°,則斜率k=_______;②計算公式：若由A(x1,y1),B(x2,y2)確定的直線不垂直于x軸，則k=______________.tanθ第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【即時應(yīng)用】(1)過點M(-2,m)，N(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為___________；(2)直線的傾斜角為____________.第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【解析】(1)由斜率公式得：，解得m=1.(2)∵的斜率即傾斜角α的正切值tanα=又∵0≤α＜π，∴α=.答案：(1)1(2)第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六2.直線方程的幾種形式斜率k與點（x1,y1）斜率k與直線在y軸上的截距b兩點（x1,y1）

，（x2,y2）直線在x軸、y軸上的截距分別為a、b名稱條件方程適用范圍點斜式斜截式兩點式截距式一般式不含直線x=x1不含垂直于x軸的直線不含直線x=x1（x1=x2)和直線y=y1(y1=y2)不含垂直于坐標軸和過原點的直線平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用y-y1=k(x-x1)y=kx+bAx+By+C=0(A2+B2≠0)第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【即時應(yīng)用】(1)思考：過A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點的直線方程能否寫成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)？提示：能寫成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).當x1≠x2且y1≠y2時，直線方程為：可化為上式；當x1≠x2，y1=y2時，直線方程為：y=y1也適合上式；當y1≠y2，x1=x2時，直線方程為：x=x1也適合上式；綜上可知：過A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點的直線方程能寫成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六(2)已知直線l經(jīng)過點P(-2,5),且斜率為，則直線l的方程為___________.【解析】由直線的點斜式方程得，直線l的方程為：y-5=(x+2)，即3x+4y-14=0.答案：3x+4y-14=0第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六(3)經(jīng)過兩點M(1,-2)，N(-3,4)的直線方程為___________.【解析】經(jīng)過兩點M(1,-2)，N(-3,4)的直線方程為即3x+2y+1=0.答案：3x+2y+1=0第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六例題歸類全面精準，核心知識深入解讀。本欄目科學歸納考向，緊扣高考重點?！痉椒c睛】推門只見窗前月：突出解題方法、要領(lǐng)、答題技巧的指導(dǎo)與歸納；“經(jīng)典例題”投石沖破水中天：例題按層級分梯度進行設(shè)計，層層推進，流暢自然，配以形異神似的變式題，幫你舉一反三、觸類旁通。題型與方法貫通，才能高考無憂！第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六 直線的傾斜角與斜率【方法點睛】1.斜率的求法(1)定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值,一般根據(jù)k=tanα求斜率；(2)公式法：若已知直線上兩點A(x1,y1),B(x2,y2)，一般根據(jù)斜率公式求斜率.第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六2.直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系0k＞0不存在kα0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k＜0第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【提醒】對于直線的傾斜角α，斜率k=tanα(α≠90°)，若已知其一的范圍可求另一個的范圍.第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【例1】(1)已知兩點A(m,n)，B(n,m)(m≠n)，則直線AB的傾斜角是_________.(2)已知點A(2,-3)，B(-3,-2)，直線l過點P(1,1)且與線段AB有交點，則直線l的斜率k的取值范圍為_________.(3)(2012·西安模擬)直線y=tanθ·x+1(θ∈［］)的傾斜角的取值范圍是_________.第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【解題指南】(1)先由公式法求出斜率，再求傾斜角；(2)直線l的斜率的取值范圍，可由直線PA、PB的斜率確定；也可先寫出直線l的方程，再由點A、B在直線l的異側(cè)(或一點在l上)求解;(3)直線傾斜角與直線的斜率有關(guān)，可先求直線斜率的取值范圍，再求直線傾斜角的取值范圍.【規(guī)范解答】(1)因為A(m,n)，B(n,m)(m≠n)，所以直線AB的斜率所以直線的傾斜角為；答案：第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六(2)方法一：因為A(2,-3)、B(-3,-2)、P(1,1)，所以如圖所示：因此，直線l斜率k的取值范圍為k≤-4或第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六方法二：依題設(shè)知，直線l的方程為：y-1=k(x-1)，即kx-y+1-k=0,若直線l與線段AB有交點，則A、B兩點在直線l的異側(cè)(或A、B之一在l上)故(2k+4-k)·(-3k+3-k)≤0，即(k+4)(4k-3)≥0,解得：k≤-4或k≥答案：k≤-4或k≥第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六(3)直線的斜率k=tanθ,設(shè)直線的傾斜角為α，∵θ∈［］,∴k∈［］.∵α∈［0,π),∴α∈［］.答案：［］第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【互動探究】本例(3)中θ的取值范圍改為“θ∈［］”，結(jié)果如何？【解析】由直線的傾斜角和斜率的關(guān)系知，θ就是直線的傾斜角，∴直線的傾斜角的取值范圍為［］.第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【反思·感悟】1.直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系是重要的解題線索，如本例第(3)題由直線斜率的取值范圍可求出直線傾斜角的取值范圍，但一定要注意傾斜角的取值范圍為［0，π)；2.已知傾斜角的取值范圍，求斜率的取值范圍，實質(zhì)上是求k=tanα的值域問題；已知斜率k的取值范圍求傾斜角的取值范圍，實質(zhì)上是在［0，)∪(，π)上解關(guān)于正切函數(shù)的三角不等式問題.由于函數(shù)k=tanα在［0，)∪(，π)上不單調(diào)，故一般借助函數(shù)圖像來解決此類問題.第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【變式備選】已知兩點A(-1,2)，B(m,3)，且求直線AB的傾斜角α的取值范圍.【解析】①當直線AB的斜率不存在時，m=-1，此時傾斜角α為②當直線AB的斜率存在時，m≠-1，由題意知直線AB的斜率第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六又∵∴∴∴直線AB的傾斜角α的取值范圍為綜上所述，直線AB的傾斜角α的取值范圍為第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六 直線的方程及應(yīng)用【方法點睛】直線方程綜合問題的類型及解法(1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中的x、y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的某函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決；(2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(如方程解的個數(shù)、根的存在問題，不等式的性質(zhì)、基本不等式等)來解決.第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【例2】已知直線l過點P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點,如圖所示,(1)若△ABO的面積為12，求直線l的方程；(2)求△ABO的面積的最小值及此時直線l的方程.第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【解題指南】先設(shè)出AB所在的直線方程，再求A、B兩點的坐標，(1)根據(jù)△ABO的面積為12列方程組求解；(2)寫出表示△ABO的面積的表達式，最后利用相關(guān)的數(shù)學知識求出最值.【規(guī)范解答】(1)方法一：設(shè)直線l的方程為(a>0,b>0),∴A(a,0),B(0,b),∴解得∴所求直線l的方程為即2x+3y-12=0.第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六方法二：設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3),令y=0，得直線l在x軸的正半軸上的截距a=3-,令x=0,得直線l在y軸的正半軸上的截距b=2-3k,∴(3-)(2-3k)=24,解得k=-.∴所求直線l的方程為y-2=-(x-3),即2x+3y-12=0.第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六(2)方法一：由題可設(shè)A(a,0),B(0,b)(a＞0,b＞0),則直線l的方程為∵l過點P(3,2),∴且a>3,b>2.從而第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六故有S△ABO=當且僅當即a=6時,(S△ABO)min=12,此時∴此時直線l的方程為即2x+3y-12=0.第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六方法二：由題可設(shè)直線方程為(a＞0,b＞0),代入P(3,2),得得ab≥24,從而S△ABO=ab≥12,當且僅當時,等號成立,S△ABO取最小值12，此時∴此時直線l的方程為2x+3y-12=0.第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六方法三：依題意知,直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3)(k＜0),則有A(3-,0),B(0,2-3k),∴S△ABO=(2-3k)(3-)=[12+(-9k)+]≥第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六=×(12+12)=12,當且僅當即時,等號成立，S△ABO取最小值12.此時，直線l的方程為2x+3y-12=0.第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六方法四：如圖所示,過P分別作x軸,y軸的垂線PM,PN,垂足分別為M,N.設(shè)θ=∠PAM=∠BPN,顯然θ∈(0,)，則S△ABO=S△PBN+S四邊形NPMO+S△PMA=×3×3×tanθ+6+×2×2×=第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六當且僅當即tanθ=時,S△ABO取最小值12,此時直線l的斜率為-,其方程為2x+3y-12=0.第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【反思·感悟】1.此題是直線方程的綜合應(yīng)用，解題時，可靈活運用直線方程的各種形式，以便簡化運算.2.以直線為載體的面積、距離的最值問題，一般要結(jié)合函數(shù)、不等式的知識或利用對稱性解決.

第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【變式訓練】已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)證明：直線l過定點；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍;(3)若直線l交x軸負半軸于A,交y軸正半軸于B,△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程.第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【解析】(1)直線l的方程是：k(x+2)+(1-y)=0,令解得∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(-2,1).(2)由方程知，當k≠0時直線在x軸上的截距為在y軸上的截距為1+2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有解之得k>0;當k=0時，直線為y=1，符合題意，故k≥0.第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六(3)由l的方程，得B(0,1+2k).依題意得解得k>0.∵S=·|OA|·|OB|=·||·|1+2k|≥×(2×2+4)=4,“=”成立的條件是k>0且4k=,即k=∴Smin=4,此時l的方程為:x-2y+4=0.第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六把握高考命題動向，體現(xiàn)區(qū)域化考試特點。本欄目以最新的高考試題為研究素材，解析經(jīng)典考題，洞悉命題趨勢，展示現(xiàn)場評卷規(guī)則。對例題不僅僅是詳解評析，更是從命題層面評價考題，從備考角度提示規(guī)律方法，拓展思維，警示誤區(qū)?！究碱}體驗】讓你零距離體驗高考，親歷高考氛圍，提升應(yīng)戰(zhàn)能力。為你順利穿越數(shù)學高考時空增添活力，運籌帷幄、決勝千里。第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【創(chuàng)新探究】與直線方程有關(guān)的創(chuàng)新命題【典例】(2011·安徽高考)在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(x,y)為整點，下列命題中正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【解題指南】存在性問題，只需舉出一種成立情況即可，恒成立問題應(yīng)根據(jù)推理論證后才能成立；注意數(shù)形結(jié)合，特例的取得與一般性的檢驗應(yīng)根據(jù)命題的特點選擇合適的情形.【規(guī)范解答】①正確.例如當x是整數(shù)時,y是無理數(shù),(x,y)不是整點；②不正確,如過整點(1,0)；③設(shè)y=kx(k≠0)是過原點的直線，若此直線過兩個整點(x1,y1),(x2,y2)，則有y1=kx1，y2=kx2，兩式相減得y1-y2=k(x1-x2)，則點(x1-x2,y1-y2)也在直線y=kx上，通過這種第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六方法可以得到直線l經(jīng)過無窮多個整點，通過上下平移y=kx知對于y=kx+b也成立，所以③正確；④不正確,如當x為整數(shù)時,y不是整數(shù),此直線不經(jīng)過無窮多個整點；⑤正確,如直線只經(jīng)過整點(0,0).答案：①③⑤第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六【閱卷人點撥】通過對本題的深入研究，可以得到以下創(chuàng)新點撥和備考建議：

創(chuàng)新點撥本題有三處創(chuàng)新點：(1)本題為新定義問題，題目的結(jié)構(gòu)形式、設(shè)問方式都有創(chuàng)新；(2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新，在考查直線的斜率、傾斜角、充要條件等知識的基礎(chǔ)上，還考查了學生的發(fā)散思維，思維方向與習慣思維不同；(3)考查方式的創(chuàng)新，對直線方程的考查，由常規(guī)方式轉(zhuǎn)換為以整點為載體考查直線方程的確定方式.第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六備考建議解決與直線方程有關(guān)的創(chuàng)新問題時，要注意以下幾點：(1)充分理解直線的傾斜角、斜率的意義；(2)掌握確定直線的兩個條件；(3)注意數(shù)形結(jié)合的運用，在平時的學習和解題中，多思考一些題目的幾何意義；(4)注意逆