概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件(完整)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一1.確定性現(xiàn)象和不確定性現(xiàn)象.2.隨機(jī)現(xiàn)象:在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性,在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.第一章概率論的基本概念前言3.概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的廣泛應(yīng)用.2現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§1.隨機(jī)試驗(yàn)

E1:拋一枚硬幣，觀察正(H)反(T)面的情況.E2:將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.

E3:將一枚硬幣拋三次，觀察出現(xiàn)正面的情況.舉例:我們將對(duì)自然現(xiàn)象的一次觀察或進(jìn)行一次科學(xué)試驗(yàn)稱(chēng)為試驗(yàn)。E4:電話(huà)交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù).E5:在一批燈泡中任取一只,測(cè)試它的壽命.3現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一隨機(jī)試驗(yàn):(1)可在相同的條件下重復(fù)試驗(yàn);(2)每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè),且能事先明確所有可能的結(jié)果;(3)一次試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果.4現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§2.樣本空間與隨機(jī)事件(一)樣本空間:定義隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱(chēng)為E的樣本空間,記為S.樣本空間的元素稱(chēng)為樣本點(diǎn)，用表示.樣本空間的分類(lèi):1.離散樣本空間:樣本點(diǎn)為有限個(gè)或可列個(gè).例E1,E2等.2.無(wú)窮樣本空間:樣本點(diǎn)在區(qū)間或區(qū)域內(nèi)取值.例燈泡的壽命{t|t≥0}.5現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(二)隨機(jī)事件

定義樣本空間S的子集稱(chēng)為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱(chēng)事件.在一次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱(chēng)這一事件發(fā)生.基本事件:復(fù)合事件:必然事件:不可能事件：由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.如:{H},{T}.由兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本事件復(fù)合而成的事件為復(fù)合事件.如:E3中{出現(xiàn)正面次數(shù)為奇數(shù)}.樣本空間S是自身的子集，在每次試驗(yàn)中總是發(fā)生的，稱(chēng)為必然事件?？占詹话魏螛颖军c(diǎn),它在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生，稱(chēng)為不可能事件。6現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例1.

試確定試驗(yàn)E2中樣本空間,

樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù),

并給出如下事件的元素:

事件A1=“第一次出現(xiàn)正面”、事件A2=“恰好出現(xiàn)一次正面”、事件A3=“至少出現(xiàn)一次正面”.7現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一（三）事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算1.包含關(guān)系和相等關(guān)系:ABS若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱(chēng)件B包含事件A,記作AB.若AB且AB,即A=B,則稱(chēng)A與B相等.8現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一BAS2.和事件:3.積事件：事件AB={x|x

A且x

B}稱(chēng)A與B的積，即事件A與B同時(shí)發(fā)生.AB可簡(jiǎn)記為AB.類(lèi)似地,事件為可列個(gè)事件A1,A2,...的積事件.BAS9現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一4.差事件:事件A-B={x|xA且xB}稱(chēng)為A與B的差.當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生,B不發(fā)生時(shí)事件A-B發(fā)生.即:顯然:A-A=,A-=A,A-S=ABs10現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一AB5.事件的互不相容(互斥):11現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一6.對(duì)立事件(逆事件)：SAB12現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一7.事件的運(yùn)算律:交換律:結(jié)合律:對(duì)偶律:分配律:證明對(duì)偶律.13現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例.甲、乙、丙三人各射擊一次，事件A1,A2,A3分別表示甲、乙、丙射中，試說(shuō)明下列事件所表示的結(jié)果：14現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§3.概率的概念一.古典定義：等可能概型的兩個(gè)特點(diǎn):例如:擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).(1)樣本空間中的元素只有有限個(gè);(2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.概率的古典定義:對(duì)于古典概型,樣本空間S＝{1,2,…,n},設(shè)事件A包含S的

k

個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率定義為15現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一古典概型概率的計(jì)算步驟:(1)選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻gS,使它滿(mǎn)足有限等可能的要求,且把事件A表示成S的某個(gè)子集.(2)計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù)n及事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)k.(3)用下列公式計(jì)算:16現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例1.袋中裝有4只白球和2只紅球.從袋中摸球兩次,每次任取一球.有兩種式:(a)放回抽樣;(b)不放回抽樣.求:(1)兩球顏色相同的概率;(2)兩球中至少有一只白球的概率.例2.設(shè)一袋中有編號(hào)為1,2,…,9的球共9只,現(xiàn)從中任取3只,試求:(1)取到1號(hào)球的概率,（事件A）(2)最小號(hào)碼為5的概率.（事件B）17現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例3.某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪,且都是在周二和周四來(lái)訪.問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的?實(shí)際推斷原理:“小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是不可能發(fā)生的”.注18現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一二、幾何定義:定義19現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一定義當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意一點(diǎn)落在度量(長(zhǎng)度,面積,體積)相同的子區(qū)域是等可能的,則事件A的概率可定義為說(shuō)明當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無(wú)窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概率.20現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例1

甲、乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過(guò)時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不相關(guān).求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.會(huì)面問(wèn)題21現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一蒲豐投針試驗(yàn)例21777年,法國(guó)科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗(yàn)問(wèn)題.平面上畫(huà)有等距離為a(>0)的一些平行直線(xiàn),現(xiàn)向此平面任意投擲一根長(zhǎng)為l(<a)的針,試求針與任一平行直線(xiàn)相交的概率.22現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一

幾何概型的概率的性質(zhì)(1)

對(duì)任一事件A,有23現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一三.統(tǒng)計(jì)定義:(一)頻率1.在相同的條件下,共進(jìn)行了n次試驗(yàn),事件A發(fā)生的次數(shù)nA,稱(chēng)為A的頻數(shù),nA/n稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻率,記為fn(A).3.頻率的特性:波動(dòng)性和穩(wěn)定性.24現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一1.定義:設(shè)S是樣本空間,E是隨機(jī)試驗(yàn).對(duì)于E的每個(gè)事件A對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),稱(chēng)為事件A的概率,其中集合函數(shù)P(.)滿(mǎn)足下列條件:(1)對(duì)任一事件A,有P(A)≥0;(非負(fù)性）(2)P(S)=1;（規(guī)范性)(3)設(shè)A1,A2,…是兩兩互不相容的事件,則有

P(A1

A2

…)=P(A1)+P(A2)+…(可列可加性)四.概率公理化定義:25現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.概率的性質(zhì)：一般地有:

P(B-A)=P(B)-P(AB).26現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一推廣27現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例4.設(shè)P(A)=p,P(B)=q,P(AB)=r,用p,q,r表示下列事件的概率:28現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§5.條件概率(一)條件概率:

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A,B是事件,要考慮在A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,這就是條件概率問(wèn)題.例1.老王的妻子一胎生了3個(gè)孩子,已知老大是女孩，求另兩個(gè)也都是女孩的概率(假設(shè)男孩、女孩出生率相同).1.定義:設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(A)>0,稱(chēng)為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.29現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.性質(zhì):條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件,即此外,條件概率具有無(wú)條件概率類(lèi)似性質(zhì).例如：30現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一注當(dāng)A＝S時(shí),P(B｜S)=P(B),條件概率化為無(wú)條件概率,因此無(wú)條件概率可看成條件概率.計(jì)算條件概率有兩種方法:1.公式法：31現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.縮減樣本空間法：在A發(fā)生的前提下,確定B的縮減樣本空間,并在其中計(jì)算B發(fā)生的概率,從而得到P(B|A).例2.在1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)碼中,每次取一個(gè)數(shù)碼,取后不放回,連取兩次,求在第1次取到偶數(shù)的條件下,第2次取到奇數(shù)的概率.32現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(二)乘法公式:P(AB)>0,則有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般,設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)>0,則有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).推廣33現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一r只紅球○t只白球○例3.每次任取一只球觀察顏色后,放回,再放回a只同色球在袋中連續(xù)取球4次,試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.34現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(三)全概率公式和貝葉斯公式:1.樣本空間的劃分SB1B2B3...Bn注(1)若B1,B2,…,Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分,則每次試驗(yàn)中,事件B1,B2,…,Bn中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.35現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.全概率公式:稱(chēng)為全概率公式.3.貝葉斯公式:36現(xiàn)在是36頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例4.某電子設(shè)備廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的,數(shù)據(jù)如下:元件制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05(1)任取一只晶體管,求它是次品的概率.(2)任取一只,若它是次品,則由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少?37現(xiàn)在是37頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例5.對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí),產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí),其合格率為30%,每天早晨機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí)機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%,試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí),機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少?38現(xiàn)在是38頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§1.6獨(dú)立性設(shè)A,B是試驗(yàn)E的兩事件,當(dāng)P(A)>0,可以定義P(B|A).一般地,P(B|A)≠P(B),但當(dāng)A的發(fā)生對(duì)B的發(fā)生的概率沒(méi)有影響時(shí),有P(B|A)=P(B),由乘法公式有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).例如設(shè)試驗(yàn)E為擲甲、乙兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)情況.設(shè)A—“甲幣出現(xiàn)H”,B—“乙?guī)懦霈F(xiàn)H”,試求:B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率；A發(fā)生的概率.1.定義:設(shè)A,B是兩事件,如果滿(mǎn)足等式

P(AB)=P(A)P(B),則稱(chēng)事件A與事件B是相互獨(dú)立的事件.39現(xiàn)在是39頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一由定義可知:1)零概率事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.2)由對(duì)稱(chēng)性,A,B相互獨(dú)立,必有B,A相互獨(dú)立.2.定義推廣:設(shè)A1,A2,…,An是任意的1≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),則稱(chēng)這n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立.如果對(duì)于任意的k(k≤n),任意的1≤i1<i2<…<ik≤n都有:P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),則稱(chēng)這n個(gè)事件相互獨(dú)立.40現(xiàn)在是40頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一3.定理:設(shè)A,B是兩事件,且P(A)>0,則A,B相互獨(dú)立的充要條件是:P(B|A)=P(B).有關(guān)結(jié)論:41現(xiàn)在是41頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一三.利用獨(dú)立性計(jì)算古典概率:1.計(jì)算相互獨(dú)立的積事件的概率：若已知n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)2.計(jì)算相互獨(dú)立事件的和的概率：若已知n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則例1.兩架飛機(jī)依次輪番對(duì)同一目標(biāo)投彈,每次投下一顆炸彈,每架飛機(jī)各帶3顆炸彈,第1架扔一顆炸彈擊中目標(biāo)的概率為0.3,第2架的概率為0.4,求炸彈未完全耗盡而擊中目標(biāo)的概率。42現(xiàn)在是42頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例2.設(shè)有8個(gè)元件,每個(gè)元件的可靠性均為p(元件能正常工作的概率),按如下兩種方式組成系統(tǒng),試比較兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性.

A1

B1

A2

B2

B3

B4

A3

A4系統(tǒng)二:先并聯(lián)后串聯(lián)系統(tǒng)一:先串聯(lián)后并聯(lián)A1B1A2B2A3B3A4B443現(xiàn)在是43頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例3.100件樂(lè)器,驗(yàn)收方案是從中任取3件測(cè)試(相互獨(dú)立的),3件測(cè)試后都認(rèn)為音色純則接收這批樂(lè)器,測(cè)試情況如下:經(jīng)測(cè)試認(rèn)為音色純認(rèn)為音色不純樂(lè)器音色純0.990.01樂(lè)器音色不純0.050.95若100件樂(lè)器中恰有4件音色不純,試問(wèn):這批樂(lè)器被接收的概率是多少?44現(xiàn)在是44頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一第一章習(xí)題課一、主要內(nèi)容:樣本空間隨機(jī)事件概率定義及性質(zhì)古典概型條件概率全概率公式Bayes公式事件的獨(dú)立性45現(xiàn)在是45頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一二、課堂練習(xí):1.選擇題:(1)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生,事件C必發(fā)生,則有()(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A∪B)(C)P(C)≥P(A)+P(B)-1(D)P(C)≤P(A)+P(B)-146現(xiàn)在是46頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.填空題：(2)設(shè)兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立,A,B都不發(fā)生的概率為1/9,A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的概率與B發(fā)生而A不發(fā)生的概率相等,則P(A)=______.3.計(jì)算題：47現(xiàn)在是47頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一設(shè)甲箱中有a只白球，b只黑球，乙箱中有c只白球，d只黑球，從甲箱中任取一球放入乙箱中，然后從乙箱中任取一球，試求從乙箱中取得白球的概率。有n個(gè)不同(可辨別)的球，每個(gè)球都以同樣的概率1/N被投到N(nN)個(gè)箱子中的每一箱中，試求下列事件的概率：

(1)某指定的n個(gè)箱子中各一球(A)(2)恰有n個(gè)箱，其中各有一球(B)(3)某指定箱中恰有m(mn)個(gè)球(C)(4)恰有k個(gè)箱子，其中有m個(gè)球(D).3.在一個(gè)盒子中混有新舊兩種乒乓球，新的有白球40個(gè)，紅球30個(gè)，舊球中有白球20個(gè)，紅球10個(gè)，在這個(gè)盒子中任取一球，發(fā)現(xiàn)是新的，求這個(gè)球是白球的概率.48現(xiàn)在是48頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一第二章隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量即X(e)是定義在樣本空間S上的一個(gè)實(shí)函數(shù),對(duì)于不同的試驗(yàn)結(jié)果e,X取不同的值,由于試驗(yàn)前不能預(yù)料e的取值,因而X取1還是取0也是隨機(jī)的,故稱(chēng)X(e)為隨機(jī)變量。例2.測(cè)試燈泡壽命試驗(yàn),其結(jié)果是用數(shù)量表示的.記燈泡的壽命為X,則X是定義在樣本空間S={e}={t|t≥0}上的函數(shù),即X=X(e)=t,e=t∈S.49現(xiàn)在是49頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一X(e)ReS1.定義:設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間是S={e},若對(duì)于每一個(gè)e∈S,有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng),即X(e)是定義在S上的單值實(shí)函數(shù)，稱(chēng)為隨機(jī)變量。簡(jiǎn)記為r.v.注(1)可用隨機(jī)變量X描述事件.例擲一顆骰子,設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為X,事件A為“擲出的點(diǎn)數(shù)大于3”,則A可表示為“X>3”.反過(guò)來(lái),X的一個(gè)變化范圍表示一個(gè)隨機(jī)事件:“2<X<5”表示事件“擲出的點(diǎn)數(shù)大于2且小于5”.50現(xiàn)在是50頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.分類(lèi)：(2)隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果而取不同的值,在試驗(yàn)之前不能確切知道它取什么值,但是隨機(jī)變量的取值有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性—概率分布.(1)離散型隨機(jī)變量;(2)

非離散型隨機(jī)變量10連續(xù)型隨機(jī)變量20奇異型隨機(jī)變量若隨機(jī)變量全部可能取到的值是有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)。51現(xiàn)在是51頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§2.2離散型隨機(jī)變量的概率分布Xx1x2…xn…pkp1p2…pn...52現(xiàn)在是52頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.求分布律的步驟:(1)明確X的一切可能取值;(2)利用概率的計(jì)算方法計(jì)算X取各個(gè)確定值的概率,即可寫(xiě)出X的分布律.例1.設(shè)一汽車(chē)在開(kāi)往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)四盞信號(hào)燈,每盞信號(hào)燈以概率p禁止汽車(chē)通過(guò),以X表示汽車(chē)首次停下時(shí)已通過(guò)信號(hào)燈的盞數(shù),求X的分布律.(設(shè)各信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的).例2.袋中裝有4只紅球和2只白球,從袋中不放回地逐一地摸球,直到第一次摸出紅球?yàn)橹?設(shè)X表示到第一次摸出紅球時(shí)所摸的次數(shù),求X的分布律.53現(xiàn)在是53頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一3.幾種重要的離散型r.v.的分布律：

X01pk1-pp其中0<p<1,P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1.(一)0--1分布(二)貝努利試驗(yàn)(二項(xiàng)分布)54現(xiàn)在是54頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例1.設(shè)X是n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),成功的概率為p,則X是一個(gè)隨機(jī)變量,我們來(lái)求它的分布律.若n=4,求:P{X=k}，k=0,1,2,3,4.當(dāng)n=1時(shí),P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,即為0-1分布.結(jié)論:稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記為X~b(n,p).設(shè)X是n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),成功的概率為p,則它的分布律為：注55現(xiàn)在是55頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例2.某種電子元件的使用壽命超過(guò)1500小時(shí)為一級(jí)品,已知一大批該產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2,從中隨機(jī)抽查20只,求這20只元件中一級(jí)品只數(shù)X的分布律.例3.某人進(jìn)行射擊,每次命中率為0.02,獨(dú)立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.56現(xiàn)在是56頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(三)泊松分布(Poisson)(2)泊松分布有很多應(yīng)用.注(3)二項(xiàng)分布與泊松分布之間的關(guān)系.57現(xiàn)在是57頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一泊松(Poisson)定理：泊松定理的意義：1.在定理的條件下,二項(xiàng)分布的極限分布是泊松分布.2.當(dāng)n很大且p又較小時(shí),58現(xiàn)在是58頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例5.設(shè)有同類(lèi)型設(shè)備300臺(tái),各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,設(shè)一臺(tái)設(shè)備的故障由一個(gè)人處理,問(wèn)至少需配備多少工人,才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?59現(xiàn)在是59頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(四)幾何分布進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn),設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p,失敗的概率為1-p=q(0<p<1),將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù),則X的分布律為:

P{X=k}=qk-1p,k=1,2,…稱(chēng)為X服從參數(shù)為p的幾何分布.例設(shè)某種社會(huì)定期發(fā)行的獎(jiǎng)券,每券1元,中獎(jiǎng)率為p,某人每次購(gòu)買(mǎi)1張獎(jiǎng)券,如果沒(méi)有中獎(jiǎng)下次繼續(xù)再買(mǎi)1張,直到中獎(jiǎng)止,求購(gòu)買(mǎi)次數(shù)X的分布律.若該人共準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)10次共10元錢(qián),即如果中獎(jiǎng)就停止,否則下次再購(gòu)買(mǎi)1張,直到10元共花完為止,求購(gòu)買(mǎi)次數(shù)Y的分布律.60現(xiàn)在是60頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.定義：設(shè)r.v.X,xR1,則F(x)=P{X≤x}稱(chēng)為X的分布函數(shù).(2)無(wú)論是離散型r.v.還是非離散型r.v.,分布函數(shù)都可以描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.注(1)P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1).2.性質(zhì):(1)F(x)是單調(diào)不減函數(shù).x2>x1,F(x2)-F(x1)=P{x1<X≤x2}0.(2)0≤F(x)≤1,F(-)=0,F(+)=1.(3)F(x)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn),而在其間斷點(diǎn)上也是右連續(xù)的,F(x+0)=F(x).61現(xiàn)在是61頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例1.離散型r.v.,已知分布律可求出分布函數(shù).

X-123pk1/41/21/4

求：X的分布函數(shù),并求P{X≤1/2},P{3/2<X≤5/2}.結(jié)論反之，若已知分布函數(shù)求分布律用如下公式求解：62現(xiàn)在是62頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一63現(xiàn)在是63頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§4.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度則稱(chēng)X為連續(xù)型r.v.f(x)稱(chēng)為X概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度.連續(xù)型r.v.的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù),這種r.v.的取值是充滿(mǎn)某個(gè)區(qū)間的.注64現(xiàn)在是64頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例1.一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤(pán),設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比,并設(shè)射擊都能擊中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求X的分布函數(shù).65現(xiàn)在是65頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一定義注負(fù)指數(shù)分布3.關(guān)于連續(xù)型r.v.的一個(gè)重要結(jié)論:定理:設(shè)X為連續(xù)型r.v.它取任一指定的實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即P{X=a}=0.66現(xiàn)在是66頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一4.幾個(gè)常用的連續(xù)型r.v.分布(一)均勻分布:則稱(chēng)隨機(jī)變量X在(a,b)上服從均勻分布,記作X~U(a,b).分布函數(shù)為:67現(xiàn)在是67頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(二)正態(tài)分布:68現(xiàn)在是68頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一性質(zhì):(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:69現(xiàn)在是69頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一引理:結(jié)論70現(xiàn)在是70頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例設(shè)某商店出售的白糖每包的標(biāo)準(zhǔn)全是500克,設(shè)每包重量X(以克計(jì))是隨機(jī)變量,X~N(500,25),求:(1)隨機(jī)抽查一包,其重量大于510克的概率;(2)隨機(jī)抽查一包,其重量與標(biāo)準(zhǔn)重量之差的絕對(duì)值在8克之內(nèi)的概率;(3求常數(shù)c,使每包的重量小于c的概率為0.05.注(1)由(x)=0.05怎樣查表求x的值?(2)服從正態(tài)分布N(,2)的r.v.X之值基本上落入[-2,+2]之內(nèi),幾乎全部落入[-3,+3]內(nèi).特別強(qiáng)調(diào)N(0,1)的情況在計(jì)算中的應(yīng)用.71現(xiàn)在是71頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一z(x)0(3)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn):z0.05=1.645,z0.025=1.96(∵(x)=P(X≤x))72現(xiàn)在是72頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(三)負(fù)指數(shù)分布:1.定義:如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為:則稱(chēng)X服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布,記為X~().73現(xiàn)在是73頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.特例:(1,)是參數(shù)為的指數(shù)分布.3.伽瑪函數(shù)的性質(zhì):(i)(+1)=();(ii)對(duì)于正整數(shù)n,(n+1)=n!;(四)伽瑪分布:如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為:1.定義:74現(xiàn)在是74頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§5.隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、X為離散型r.v.例1.設(shè)X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:

X-1012pk0.20.30.10.475現(xiàn)在是75頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(2)若g(x1),g(x2),…中不是互不相等的,則應(yīng)將那些相等的值分別合并,并根據(jù)概率加法公式把相應(yīng)的pi相加,就得到了Y的概率分布律.1.離散r.v.分布函數(shù)的概率分布的求法:設(shè)X的概率分布如下表:

Xx1x2…xk…P{X=xi)p1p2…pk...(1)記yi=g(xi)(i=1,2,…)yi的值也是互不相同的,則Y的概率分布如下表:

Yy1y2…yk…P{Y=yi)p1p2…pk...76現(xiàn)在是76頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一二、X為連續(xù)型r.v.1.“分布函數(shù)法”:(1)先求出Y的分布函數(shù):

FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{XG},其中

G={x:g(x)≤y},轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的事件,再利用X

的分布函數(shù)表示.(2)對(duì)y求導(dǎo)得到Y(jié)的概率密度:fY(y)=FY’(y).77現(xiàn)在是77頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一78現(xiàn)在是78頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(1)若f(x)在有限區(qū)間[a,b]以外等于零,則只需假設(shè)在[a,b]上g(x)嚴(yán)格單調(diào),選取

=min(g(a),g(b)),=max(g(a),g(b)).2.公式法：定理:設(shè)X是連續(xù)型r.v.,具有概率密度f(wàn)(x),設(shè)y=g(x)是x的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),且反函數(shù)x=h(y)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)g(x)嚴(yán)格增加時(shí),記=g(-),=g(+);

當(dāng)g(x)嚴(yán)格減少時(shí),記=g(+),=g(-),則Y的概率密度為:說(shuō)明(2)定理中條件y=g(x)是X的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是相當(dāng)苛刻的,許多常見(jiàn)的函數(shù)都不能滿(mǎn)足,因此,求隨機(jī)變量的函數(shù)的分布時(shí),只能按“分布函數(shù)法”直接求解.79現(xiàn)在是79頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例4.r.v.X~N(,2),證明X的線(xiàn)性函數(shù)Y=aX+b(a≠0)也服從正態(tài)分布.80現(xiàn)在是80頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一第二章習(xí)題課一.主要內(nèi)容二.課堂練習(xí)1.甲，乙兩名籃球隊(duì)員獨(dú)立地輪流投籃，直到某人投中為止，今設(shè)甲投中的概率為0.4,乙投中的概率為0.6,求甲隊(duì)員投籃次數(shù)的分布律(設(shè)甲先投).81現(xiàn)在是81頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一82現(xiàn)在是82頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一第三章多維隨機(jī)變量及其分布§1二維隨機(jī)變量1.二維r.v.定義:設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),樣本空間是S={e},設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的r.v.,由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X,Y),叫做二維r.v.2.二維r.v.(聯(lián)合)分布函數(shù):83現(xiàn)在是83頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一若將(X,Y)看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),則分布函數(shù)F(x,y)的值為(X,Y)落在陰影部分的概率(如圖1)圖1圖2二維r.v.的分布函數(shù)的基本性質(zhì)與一維r.v.的分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)類(lèi)似,此處從略.84現(xiàn)在是84頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一3.下面分別討論二維離散型和連續(xù)型r.v.

(一)二維離散型r.v.85現(xiàn)在是85頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例1.設(shè)r.v.X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值,r.v.Y則在1~X中等可能地取一整數(shù),試求(X,Y)的分布律.結(jié)論86現(xiàn)在是86頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(二)二維連續(xù)型r.v.87現(xiàn)在是87頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一二維連續(xù)型r.v.(X,Y)落在平面G上概率,就等于密度函數(shù)f(x,y)在G上的積分,這就將概率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為一個(gè)二重積分的計(jì)算了.注88現(xiàn)在是88頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§2.邊緣分布

一、邊緣分布函數(shù)：二、邊緣分布律：89現(xiàn)在是89頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例1(續(xù))X

Y1234p?j

11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16

pi?1/41/41/41/425/4813/487/483/48190現(xiàn)在是90頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一三、邊緣概率密度:91現(xiàn)在是91頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一92現(xiàn)在是92頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§3.條件分布

一、二維離散型r.v.的情況:93現(xiàn)在是93頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一94現(xiàn)在是94頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例1.設(shè)(X,Y)的分布律為:

X5713182010.080.0100.020.1420.110.100.090.010.0430.030.070.150.060.09求在X=2時(shí)Y的條件分布律.Y例2一射擊手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),射擊到擊中目標(biāo)兩次為止,設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)進(jìn)行的射擊次數(shù),以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù),試求X和Y的聯(lián)合分布律和條件分布律.95現(xiàn)在是95頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一二、二維連續(xù)型r.v.首先引入條件分布函數(shù),然后得到條件概率密度.96現(xiàn)在是96頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一進(jìn)一步可以化為:97現(xiàn)在是97頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例3.設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)上隨機(jī)地取值,當(dāng)觀察到X=x(0<x<1)時(shí),數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機(jī)地取值,求Y的概率密度.98現(xiàn)在是98頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§4.相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

1.定義:2.等價(jià)定義:99現(xiàn)在是99頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例:設(shè)X和Y都服從參數(shù)=1的指數(shù)分布且相互獨(dú)立,試求P{X+Y≤1}.3.命題：設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X,Y相互獨(dú)立的充要條件是=0.4.一個(gè)重要定理:設(shè)(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…Yn)相互獨(dú)立,則Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互獨(dú)立,又若h,g是連續(xù)函數(shù),則h(x)和g(y)相互獨(dú)立.100現(xiàn)在是100頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§5.兩個(gè)r.v.的函數(shù)的分布(一)和(Z=X+Y)的分布:已知(X,Y)的聯(lián)合密度是f(x,y),求Z=X+Y的分布密度.結(jié)論101現(xiàn)在是101頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例1.設(shè)X和Y相互獨(dú)立,且都服從N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.注結(jié)論:102現(xiàn)在是102頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(二)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:設(shè)X,Y相互獨(dú)立,分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y).求M=max(X,Y)的分布:推廣設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,分布函數(shù)分別為F1(x),F(x),…,Fn(x),則M=max(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)為FM(z)=F1(z)·F2(z)…Fn(z)N=min(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)為

FN(z)=1-(1-F1(z))·(1-F2(z))…(1-Fn(z)).當(dāng)X1,X2,…,Xni.i.d.時(shí),設(shè)分布函數(shù)為F(x),則

FM(z)=(F(z))n,FN(z)=1-(1-F(z))n.注103現(xiàn)在是103頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(三)利用“分布函數(shù)法”導(dǎo)出兩r.v.和的分布函數(shù)或密度函數(shù)的公式,其要點(diǎn)為:104現(xiàn)在是104頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(四)對(duì)于離散型r.v.的函數(shù)的分布:設(shè)X,Y是離散型r.v.且相互獨(dú)立,其分布律分別為:P{X=i}=pi,i=0,1,2,3,…,P{Y=j}=qj,j=0,1,2,3,…,求Z=X+Y的分布律.為Z=X+Y的分布律.結(jié)論例設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的r.v.,分別服從參數(shù)為1,2的泊松分布,試證明Z=X+Y也服從泊松分布.105現(xiàn)在是105頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一第三章習(xí)題課一.主要內(nèi)容：(1)二維r.v.的分布函數(shù),離散型r.v.的聯(lián)合分布,連續(xù)型r.v.的聯(lián)合概率密度.(2)邊緣分布函數(shù);邊緣分布律;邊緣概率密度.(3)條件分布律;條件概率密度.(4)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立.(5)兩個(gè)r.v.函數(shù)的分布.二.課堂練習(xí)：106現(xiàn)在是106頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一1.設(shè)某人從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中依次取出兩個(gè)數(shù),記X為第一次所取出的數(shù),Y為第二次所取出的數(shù),若第一次取后不放回,求X和Y的聯(lián)合分布律.107現(xiàn)在是107頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一5.設(shè)離散型隨機(jī)變量X與Y的分布律分別為X012Y01pk1/23/81/8pk

1/32/3且X與Y相互獨(dú)立,求:(1)Z=X+Y的分布律;(2)(X,Y)的聯(lián)合分布律;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).108現(xiàn)在是108頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§1.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一.問(wèn)題引入：例：某車(chē)間生產(chǎn)某種產(chǎn)品，檢驗(yàn)員每天隨機(jī)地抽取n件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，查出的廢品數(shù)Ｘ是一個(gè)隨機(jī)變量，它的可能取值為0,1,…,n.設(shè)檢驗(yàn)員共查了N天，出現(xiàn)廢品為0,1,2,…,n的天數(shù)分別為m0,m1,…,mn,問(wèn)Ｎ天出現(xiàn)的廢品的平均值為多少？109現(xiàn)在是109頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例1.甲,乙兩人進(jìn)行打靶,所得分?jǐn)?shù)分別記為X1,X2,它們的分布律分別為:X1012X2012pk00.20.8pk

0.60.30.1試評(píng)定他們的成績(jī)好壞.110現(xiàn)在是110頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一111現(xiàn)在是111頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式:112現(xiàn)在是112頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一1.在已知Y是X的連續(xù)函數(shù)前提下,當(dāng)我們求E(Y)時(shí)不必知道Y的分布,只需知道X的分布就可以了.2.上述定理可以推廣到多維r.v.函數(shù).說(shuō)明113現(xiàn)在是113頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一4.均值的性質(zhì):(1)E(c)=c;(c為常數(shù))(2)E(cX)=cE(X);(c為常數(shù))(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,則E(XY)=E(X)E(Y);(5)|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2).(許瓦爾茲不等式)例3.設(shè)商店經(jīng)銷(xiāo)某種商品的每周需求量X服從區(qū)間[10，30]上的均勻分布，而進(jìn)貨量為區(qū)間[10，30]中的某一個(gè)整數(shù)，商店每售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧損100元，若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每售出一單位商品僅獲利300元，求此商店經(jīng)銷(xiāo)這種商品每周進(jìn)貨量為多少，可使獲利的期望不少于9280元114現(xiàn)在是114頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例.二項(xiàng)分布的均值的計(jì)算.將X分解成數(shù)個(gè)r.v.之和,然后利用r.v.和的數(shù)學(xué)期望等于r.v.的數(shù)學(xué)期望之和來(lái)求解.這個(gè)方法具有一定的普遍意義.說(shuō)明115現(xiàn)在是115頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§2.方差

一.定義：116現(xiàn)在是116頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一若X為離散型r.v.其分布律為P{X=xk}=pk,k=1,2,…,則117現(xiàn)在是117頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例1.設(shè)隨機(jī)變量X具有(0--1)分布,其分布律為P{X=0}=1-p,P{X=1}=p,求:D(X).118現(xiàn)在是118頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一二、方差的性質(zhì)及切比雪夫不等式：1.性質(zhì):10設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;20設(shè)X是r.v.,C是常數(shù),則有D(CX)=C2D(X);30設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有

D(X+Y)=D(X)+D(Y);40

D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C,

即P{X=C}=1.119現(xiàn)在是119頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.切比雪夫不等式:120現(xiàn)在是120頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§3.幾種重要r.v.的數(shù)學(xué)期望及方差

1.一些常用的離散型r.v.的均值及方差的計(jì)算:100--1分布:(參見(jiàn)例1).121現(xiàn)在是121頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.一些常用的連續(xù)型r.v.的均值及方差的計(jì)算:122現(xiàn)在是122頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§4.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)123現(xiàn)在是123頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(i)XY是一個(gè)無(wú)量綱的量.(ii)Var(X)=XX.(iii)對(duì)于任意的兩個(gè)r.v.X和Y,有

D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).(iv)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).注124現(xiàn)在是124頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(二)協(xié)方差的性質(zhì):10

Cov(X,Y)=Cov(Y,X);20

Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y),其中a1,a2,b1,b2是常數(shù);30

Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);40|Cov(X,Y)|2≤D(X)·D(Y);50

若X,Y相互獨(dú)立,則Cov(X,Y)=0.125現(xiàn)在是125頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(三)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):126現(xiàn)在是126頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一定義:若隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)XY=0,則稱(chēng)X與Y不相關(guān).對(duì)于隨機(jī)變量X和Y,下列事實(shí)等價(jià):(1)

Cov(X,Y)=0;X與Y不相關(guān);E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=DX+DY.127現(xiàn)在是127頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一相關(guān)系數(shù)XY刻劃了X,Y之間的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,當(dāng)XY=0時(shí),X,Y不相關(guān)指它們之間沒(méi)有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,而不是說(shuō)它們之間沒(méi)有任何關(guān)系.說(shuō)明128現(xiàn)在是128頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X,Y相互獨(dú)立的充要條件是=0.知X與Y不相關(guān)與X和Y相互獨(dú)立是等價(jià)的.結(jié)論129現(xiàn)在是129頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§5.矩、協(xié)方差矩陣一.定義:設(shè)X和Y是隨機(jī)變量,顯然,E(X),E(Y)為一階原點(diǎn)矩,D(X),D(Y)為二階中心矩,XY為二階中心混合矩.(1)若E(Xk),k=1,2,…存在,則稱(chēng)它為X的k階原點(diǎn)矩.(2)若E{[X-E(X)]k},k=1,2,…存在,則稱(chēng)它為X的k階中心矩.(3)若E{Xk?Yl},k,l=1,2,…存在,則稱(chēng)它為X和Y的k+l階混合矩.(4)若E{[X-E(X)]k?[Y-E(Y)]l},k,l=1,2,…存在,則稱(chēng)它為X和Y的k+l階中心混合矩.130現(xiàn)在是130頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一131現(xiàn)在是131頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一三.協(xié)方差陣的性質(zhì):10

C是對(duì)稱(chēng)的;(由協(xié)方差的性質(zhì)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),ij=ji可得)

20

ii=D(Xi),i=1,2,3,…,n.30ij2≤ii

jj,i,j=1,2,…,n.(由許瓦爾茲不等式可得)40

C是非負(fù)定的,即對(duì)任意的n維向量

a=(a1,a2,…,an)T,都有aTCa≥0.|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2).(許瓦爾茲不等式)132現(xiàn)在是132頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一四.n維正態(tài)變量:133現(xiàn)在是133頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.性質(zhì):20n維r.v.(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布的的充要條件是X1,X2,…,Xn的任一線(xiàn)性組合l1X1+l2X2+…+lnXn服從一維正態(tài)分布.30若(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布,設(shè)Y1,Y2,…,Yn是Xj(j=1,2,…,n)的線(xiàn)性函數(shù),則(Y1,Y2,…Yn)也服從多維正態(tài)分布.40若(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布,則“X1,X2,…,Xn”相互獨(dú)立與“X1,X2,…,Xn”兩兩不相關(guān)是等價(jià)的.10

n維r.v.(X1,X2,…,Xn)的每一個(gè)分量Xi,i=1,2,…,n都是正態(tài)分布；反之，若X1,X2,…,Xn的都是正態(tài)分量,且相互獨(dú)立，則(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布.134現(xiàn)在是134頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一135現(xiàn)在是135頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一第四章習(xí)題課一.主要內(nèi)容:1.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；性質(zhì).2.方差定義;性質(zhì);3.幾類(lèi)常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望，方差.5.相關(guān)系數(shù)的定義;性質(zhì).4.協(xié)方差定義;性質(zhì).6.幾類(lèi)矩的定義.二.課堂練習(xí):136現(xiàn)在是136頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一1.一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成,在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率分別為0.1,0.2和0.3,假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立,以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù),試求X的數(shù)學(xué)期望和方差.137現(xiàn)在是137頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一138現(xiàn)在是138頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一第五章大數(shù)定律及中心極限定理§1.大數(shù)定律

一.問(wèn)題的提出:提法一:當(dāng)n足夠大時(shí),頻率與概率p有較大偏差的概率很小.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)講,就是要證明:對(duì)于任意>0,139現(xiàn)在是139頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一提法二:強(qiáng)大數(shù)定律,即證明：1.切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況設(shè)r.v.X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:140現(xiàn)在是140頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.貝努利定理:

設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則性質(zhì):141現(xiàn)在是141頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一3.切比雪夫大數(shù)定律:設(shè)X1,X2,…,Xn,…,是由兩兩互不相關(guān)的r.v.所構(gòu)成的序列,每一個(gè)r.v.都有有限的方差,并且它們有公共的上界.4.辛欽定理:設(shè)r.v.X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望142現(xiàn)在是142頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§2.中心極限定理一.問(wèn)題提出:對(duì)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列1,2,…,n,…,假定Ei,Di存在,令143現(xiàn)在是143頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一1.獨(dú)立同分布的中心極限定理:設(shè)r.v.Xk(k=1,2,…)相互獨(dú)立,服從同一分布(i.i.d.)且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差:144現(xiàn)在是144頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2.李雅普諾夫定理:145現(xiàn)在是145頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一3.德莫佛--拉普拉斯定理:146現(xiàn)在是146頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例2.設(shè)某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床,每臺(tái)車(chē)床由于種種原因出現(xiàn)停車(chē),且每臺(tái)車(chē)床開(kāi)車(chē)的概率為0.6,假定每臺(tái)車(chē)床?；蜷_(kāi)車(chē)是相互獨(dú)立的.若每臺(tái)車(chē)床開(kāi)車(chē)時(shí)需消耗1000W電能,問(wèn)要以99.9%的概率保證這個(gè)車(chē)間不致因供電不足而影響生產(chǎn)，需供應(yīng)多少電能？147現(xiàn)在是147頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一練習(xí):1.抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受，問(wèn)應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)到0.9?(147個(gè))2.

一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)部件的可靠度為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作，問(wèn)n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠度為0.95?(25個(gè))3.設(shè)某電話(huà)總機(jī)要為2000個(gè)用戶(hù)服務(wù)，在最忙時(shí)，平均每戶(hù)有3%的時(shí)間占線(xiàn)，假設(shè)各戶(hù)是否打電話(huà)是相互獨(dú)立的，問(wèn)若想以99%的可能性滿(mǎn)足用戶(hù)的要求，最少需要多少條線(xiàn)路？(79條)148現(xiàn)在是148頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一第六章樣本及抽樣分布

§1.隨機(jī)樣本一.定義:在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,我們把所研究的全部元素組成的集合稱(chēng)作母體或總體,總體中的每一個(gè)元素稱(chēng)為個(gè)體.(可分為有限總體和無(wú)限總體).二.定義:設(shè)X是具有分布函數(shù)F的r.v.,若X1,X2,…,Xn是具有同一分布函數(shù)F的相互獨(dú)立的r.v.,則稱(chēng)為從分布函數(shù)F(或總體F或總體X)得到的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,簡(jiǎn)稱(chēng)樣本,它們的觀察值x1,x2,…,xn稱(chēng)為樣本值,又稱(chēng)為X的n個(gè)獨(dú)立的觀察值.149現(xiàn)在是149頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一若總體X是離散型r.v.其分布律為pk={X=ak},k=1,2,…,則樣本X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布:P{X1=ai1,X2=ai2,…,Xn=ain}=pi1pi2…pin.結(jié)論150現(xiàn)在是150頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§2.抽樣分布

一.定義:設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本,又設(shè)g(X1,X2,…,Xn)是一個(gè)連續(xù)函數(shù),如果g中不含有未知參數(shù),則稱(chēng)g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計(jì)量.統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量,如果x1,x2,…,xn是一組樣本值,則g(x1,x2,…,xn)是統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,…,Xn)的一個(gè)觀察值.說(shuō)明151現(xiàn)在是151頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一二.常用的統(tǒng)計(jì)量:152現(xiàn)在是152頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一定義：統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù),它是一個(gè)隨機(jī)變量.統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布.注結(jié)論153現(xiàn)在是153頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一三.幾種常用的統(tǒng)計(jì)分布:2.分布與2(n)分布的關(guān)系：154現(xiàn)在是154頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一注3.2(n)分布的性質(zhì)：155現(xiàn)在是155頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一0yf(y)156現(xiàn)在是156頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(二)t-分布:說(shuō)明157現(xiàn)在是157頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一f(t)t0注158現(xiàn)在是158頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一(四)F分布:159現(xiàn)在是159頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一y0160現(xiàn)在是160頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例題0.1161現(xiàn)在是161頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一四.正態(tài)總體樣本的均值與樣本方差的分布:結(jié)論重要定理162現(xiàn)在是162頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一163現(xiàn)在是163頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一第七章參數(shù)估計(jì)

§1.點(diǎn)估計(jì)一.問(wèn)題的提法:164現(xiàn)在是164頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一二.矩估計(jì)法:165現(xiàn)在是165頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一樣本矩Ak依概率收斂于相應(yīng)的總體矩,而樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù).依據(jù)166現(xiàn)在是166頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一三.極大似然估計(jì)方法:說(shuō)明167現(xiàn)在是167頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一理論依據(jù)168現(xiàn)在是168頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一極大似然估計(jì)的求解方法:169現(xiàn)在是169頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一例2.設(shè)X服從[a,b]區(qū)間上的均勻分布,求a和b的極大似然估計(jì)和矩估計(jì)量.極大似然估計(jì)的性質(zhì):170現(xiàn)在是170頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§2.估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)

1無(wú)偏性:(2)例子S2是D(X)的無(wú)偏估計(jì)量.(3)有偏估計(jì)向無(wú)偏估計(jì)的轉(zhuǎn)化：----一般化方法。171現(xiàn)在是171頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一2有效性:172現(xiàn)在是172頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一3一致性:結(jié)論切比雪夫不等式，大數(shù)定律173現(xiàn)在是173頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§3.區(qū)間估計(jì)一.問(wèn)題引入:1.定義:174現(xiàn)在是174頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一說(shuō)明1.置信區(qū)間的直觀含義.175現(xiàn)在是175頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一二.求置信區(qū)間的一般思路:1.設(shè)法構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量Z=Z(X1,X2,…,Xn;),除參數(shù)外,Z不包含其他任何未知參數(shù),Z的分布已知(或可求出),并且不依賴(lài)于參數(shù),也不依賴(lài)于其他任何未知參數(shù).176現(xiàn)在是176頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§4.正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)一.單個(gè)正態(tài)總體的均值與方差的區(qū)間估計(jì):177現(xiàn)在是177頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一二.兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì):178現(xiàn)在是178頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一179現(xiàn)在是179頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一三.兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間:180現(xiàn)在是180頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§5.(0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)例設(shè)自一大批產(chǎn)品的100個(gè)樣品中,得一級(jí)品60個(gè),求這批產(chǎn)品的一級(jí)品率p的置信度為0.95的置信區(qū)間.181現(xiàn)在是181頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一§6.單側(cè)置信區(qū)間1.定義:182現(xiàn)在是182頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一第八章假設(shè)檢驗(yàn)§1.假設(shè)檢驗(yàn)一.基本思想:例1.某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖,包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從正態(tài)分布.當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值為0.5公斤,標(biāo)準(zhǔn)差為0.015公斤.某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)地抽取它所包裝的9袋,稱(chēng)得凈重為(公斤)0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512問(wèn)機(jī)器是否正常?183現(xiàn)在是183頁(yè)\一共有199頁(yè)\編輯于星期一假設(shè)檢驗(yàn)所采用的方法是一種反正法:先假設(shè)結(jié)論成立,然后在這個(gè)結(jié)論成立的條件下進(jìn)行推