在教材中滲透數(shù)學實驗的思考與實踐

在教材中滲透數(shù)學實驗的思考與實踐

談起實驗，我們自然會與物理、化學、生物等學科產(chǎn)生聯(lián)系.其實，數(shù)學的發(fā)展與學習也離不開實驗.數(shù)學家歐拉曾說過：“數(shù)學這門科學需要觀察，也需要實驗”.著名數(shù)學家、數(shù)學教育家G.波利亞也曾精辟地指出：“數(shù)學有兩個側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看，數(shù)學像是一門系統(tǒng)的演繹科學；但另一方面，它是創(chuàng)造過程中的數(shù)學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學”，指出“抽象的道理很重要，但要用一切辦法使它們能看得見摸得著”.在發(fā)達國家，數(shù)學實驗已經(jīng)成為常見的教學形式，美國的中學里有專門的數(shù)學實驗室，英國的中學教材中有許多數(shù)學實驗材料.美國2000年《學校數(shù)學的原則和標準》中要求，教師在課堂教學中有責任構(gòu)建良好的智力環(huán)境，促進學生進行認真的數(shù)學思考.教師應(yīng)該選擇和使用合適的課程材料、恰當?shù)墓ぞ?、先進的教學技術(shù)，以便支持學生的數(shù)學學習，組織適當?shù)膶嶒?，讓學生在實驗與操作的過程中理解數(shù)學.進入21世紀，“數(shù)學實驗”在我國也引起了廣大教師的積極關(guān)注，并在一些學校得以探索性的實施.《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（修改稿）》（以下簡稱《課標（修改稿）》）在基本理念、課程目標及內(nèi)容的設(shè)定、教材內(nèi)容的選取及呈現(xiàn)、教學資源的建設(shè)等方面都提出了數(shù)學實驗的相關(guān)要求，為我們開展數(shù)學實驗教學提供了新的發(fā)展空間：在基本理念中提出了“除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數(shù)學的重要方式”“學生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”，提出了“把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學生學習數(shù)學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學活動中去”；在總體目標中提出了在繼承我國數(shù)學教育注重“雙基”傳統(tǒng)的同時，增加了基本思想和基本活動經(jīng)驗，在強調(diào)發(fā)展學生分析問題和解決問題能力的基礎(chǔ)之上，增加了發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的課程目標，突出了培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力的改革方向.《課標（修改稿）》提出“教材應(yīng)選用合適的學習素材，介紹知識的背景；設(shè)計必要的數(shù)學活動，讓學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應(yīng)用.”另外，《課標（修改稿）》在課程資源開發(fā)與利用建議中還明確地提到了開展數(shù)學實驗教學的相關(guān)要求：教師應(yīng)當努力開發(fā)制作簡便實用的教具和學具，有條件的學校可以建立“數(shù)學實驗室”供學生使用，以拓寬他們的學習領(lǐng)域，培養(yǎng)他們的實踐能力，發(fā)展其個性品質(zhì)與創(chuàng)新精神，使不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.數(shù)學教材為學生的數(shù)學學習活動提供的學習主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源.因此，如何選取適合的數(shù)學內(nèi)容呈現(xiàn)數(shù)學實驗，理應(yīng)成為教材編寫者認真考量的一個重要方面.一、關(guān)于數(shù)學實驗的基本認識數(shù)學實驗是讓學生借助于一定的物質(zhì)儀器或技術(shù)手段，并在數(shù)學思想和數(shù)學理論的指導下，借助于對實驗素材進行數(shù)學化的操作來學（理解）數(shù)學、用（解釋）數(shù)學或做（建構(gòu)）數(shù)學的一類數(shù)學學習活動.數(shù)學實驗一般具有可操作性和實踐性，注重實測與直觀，讓數(shù)學在實驗的過程中對所研究的內(nèi)容“可視化”，讓學生從中獲得對數(shù)、形的理解，并逐步對其適度抽象，進行更高層次上的“再實驗”，進而體會數(shù)學的研究方法和構(gòu)成體系，使學生在活動中認識并改造自己的數(shù)學知識結(jié)構(gòu).因此，數(shù)學實驗可以使學生逐步學會數(shù)學思維的物質(zhì)實踐方法，掌握數(shù)學研究的規(guī)律，培養(yǎng)理性思考問題的習慣，能夠解決學科和實際生活的問題，并檢驗和論證問題的結(jié)果.數(shù)學實驗大致可以分成以下三種類型：1.實物驗證型——建立在實物直觀上的數(shù)學理解有些數(shù)學實驗，可以幫助學生通過實驗檢測、驗證已解結(jié)論或猜想的正確性，從而在實物直觀的基礎(chǔ)上獲得數(shù)學的理解.例如“三角形的三個內(nèi)角和等于180°”，可以設(shè)計以下操作實驗讓學生獲得初步結(jié)論：方法1：畫一個三角形，用量角器量出它的三個內(nèi)角，求其和；方法2：將一個三角形的三個角剪下來，拼成一個平角.在數(shù)學教學中所運用的測量、手工制作、實物或教具演示等形式屬于實物驗證型的數(shù)學實驗，其主要目的在于幫助學生獲得、理解和把握數(shù)學概念、定理，其形式可以是教師示范式，也可以是學生動手操作式.2.操作思考型——建立在實物模擬下的數(shù)學思考從認識的過程來說，直觀是在事物的作用下，學生在頭腦中形成感性知識的過程.盡管直觀只能形成感性知識，但它是思維的起點，是感性知識轉(zhuǎn)化為理性認識的開端.這里的事物，不一定是事物本身，也可以是模型、圖表、幻燈、電影等，借助直觀（不一定是讓學生用手摸，用眼看，也可以是通過對具體事例的描述、演示，讓學生在頭腦中恢復和建立起事物的形象）來幫助學生進行思維，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學事實，進而揭示數(shù)學規(guī)律或問題解決的本質(zhì).例如，“三角形的三個內(nèi)角和等于180°”，可以設(shè)計以下的實驗幫助學生進行思考和理解.用鉛筆在紙上所畫的一個△ABC上做實驗：首先將筆尖指向A點（鉛筆與AC邊平行）；第1次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為∠A后，筆尖指向點A（鉛筆與AB邊平行）；第2次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為∠B后，筆尖指向點C（鉛筆與BC邊平行）；第3次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為∠C后，筆尖指向點C（鉛筆與AC邊平行）.經(jīng)過三次旋轉(zhuǎn)后，筆尖正好調(diào)轉(zhuǎn)一個方向，這說明∠A+∠B+∠C=180°.這類設(shè)計本質(zhì)上為學生提供所要學的數(shù)學知識與已有的經(jīng)驗建立內(nèi)部聯(lián)結(jié)的實踐機會，其價值體現(xiàn)在它既能使經(jīng)驗材料經(jīng)過數(shù)學抽象得以升華和結(jié)晶，又可以讓數(shù)學概念事實有了現(xiàn)實經(jīng)驗背景，利于理解和記憶.3.探索發(fā)現(xiàn)型——建立在信息技術(shù)平臺上的數(shù)學探究計算機的使用正在改變數(shù)學的性質(zhì)，數(shù)學正在成為一門“實驗科學”.借助于計算機（包括圖形計算器）的快速運算功能和圖形處理能力，模擬再現(xiàn)問題情境，可以引導學生開展自主探究數(shù)學知識、檢驗數(shù)學結(jié)論（或假設(shè)）的學習活動.在技術(shù)中介的參與下，學生可以進行“發(fā)現(xiàn)”或“再發(fā)現(xiàn)”.現(xiàn)今適宜用作中學數(shù)學實驗教學軟件平臺的專門軟件很多，主要有以下幾種：①“幾何畫板”，它幾乎涵蓋了整個中學數(shù)學課程的全部內(nèi)容，操作也較為簡單；②“Z+Z智能教育平臺”，其融合了“幾何畫板”的優(yōu)勢，軟件所提供的各種功能可以像在超級市場購物一樣進行隨意組合；③由美國Wolfram研究所開發(fā)的“Mathematica”，雖然初衷是為大學和科研機構(gòu)服務(wù)，但它良好的表現(xiàn)使得它在中學數(shù)學實驗中的應(yīng)用前景也比較樂觀.數(shù)學實驗以動手實踐為基點，數(shù)學思維為主線，問題解決為目標.因此，在選取某個數(shù)學內(nèi)容開展數(shù)學實驗活動時，設(shè)計者需要考慮該數(shù)學內(nèi)容是否具備以下三個條件：①可以選取適當?shù)奈镔|(zhì)工具（實物模型、儀器或技術(shù)等）數(shù)學化地描述該數(shù)學內(nèi)容或過程；②實驗的物質(zhì)工具能被學生有目的地使用，實驗的方法與過程具有可操作性；③經(jīng)歷數(shù)學實驗活動的過程，有利于學生更好地理解和掌握數(shù)學，發(fā)展數(shù)學思維，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.二、數(shù)學實驗的課程價值數(shù)學實驗是通過動手動腦“做”數(shù)學的一種數(shù)學學習活動，學生運用有關(guān)工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等），在數(shù)學思維活動的參與下進行的一種以學生人人參與的實際操作為特征的數(shù)學驗證或探究活動.因此，“數(shù)學實驗”形象直觀地再現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)生過程，學生通過實驗獲得的是真正的數(shù)學經(jīng)驗，而不僅僅是一些抽象的數(shù)學結(jié)論，充分體現(xiàn)了新的數(shù)學課程所追求的理念和目標.1.數(shù)學實驗可以激發(fā)學生的興趣，從而引導學生主動參與學習過程愛因斯坦在1935年的一次演講中這樣說：“做同樣的工作，它的出發(fā)點，可以是恐怖和強制，可以是追求威信和榮譽的好勝心，也可以是對于對象的誠摯的興趣和追求真理的愿望，因此也可以是每個健康兒童都具有的好奇心.”借助數(shù)學實驗，學生可以通過觀察、操作、實驗等實踐活動來進行數(shù)學學習，在這樣的學習過程中，學生不是被動接受課本上的或教師敘述的現(xiàn)成結(jié)論，而是從自己的“數(shù)學現(xiàn)實”出發(fā)，通過自己動手、動腦，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得經(jīng)驗，逐步建構(gòu)并發(fā)展為自己的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).因此，在數(shù)學實驗中，學生由于親自動手操作，從一個旁觀者和聽眾變成了一個主動參與者，所以更容易對實驗結(jié)果、產(chǎn)生結(jié)果的原因、新的知識、新的學科以及新的方法等產(chǎn)生強烈的好奇心.2.數(shù)學實驗可以使抽象數(shù)學形象化，讓學生容易理解數(shù)學的本質(zhì)意義數(shù)學概念是抽象的，但許多抽象概念是來源于現(xiàn)實的生活實踐，是從現(xiàn)實中概括出來的.因此在概念學中，教師應(yīng)注意從現(xiàn)實中尋找實物模型或通過演示實驗幫助學生對概念形成感性認識.例如，關(guān)于函數(shù)概念的學習，可以借助“函數(shù)發(fā)生器”的實驗活動來幫助學生建立函數(shù)的概念：輸入一個x，輸出一個唯一的y.利用“函數(shù)發(fā)生器”，既可以幫助學生直觀地了解函數(shù)概念的本質(zhì)，又可以避免抽象語言帶來的理解上的困難.直觀和具體是理解數(shù)學概念的重要方法和手段，教學中教師應(yīng)努力通過生動形象的數(shù)學實驗解釋抽象的數(shù)學理論，讓學生真正理解數(shù)學概念的本質(zhì)意義，增強概括抽象能力.3.數(shù)學實驗可以幫助學生學會思考，尋求到解決問題的途徑與方法在數(shù)學課堂教學中，常常會碰到學生解題時因為找不到突破口而困惑，此時我們可以引導學生通過數(shù)學實驗來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而獲得解決問題的途徑和方法.例如：客車和貨車分別在兩條平行的鐵軌上行駛，客車長150米，貨車長250米.如果兩車相向而行，那么從兩車車頭相遇到車尾離開共需10秒鐘；如果客車從后面追貨車，那么從客車車頭追上貨車車尾到客車車尾離開貨車車頭共需1分40秒.求兩車的速度.本題中由于兩車同時在運動，且有相向與同向兩種運動方式，學生的思維容易混亂.教學時可以就地取材，讓學生拿出計算器和文具盒，模擬兩車的行駛方向進行實驗，借助模擬實驗，學生就容易發(fā)現(xiàn)：相向行駛時，客車行駛的路程與貨車行駛的路程之和等于兩車車身長之和；同向行駛時，客車行駛的路程減去貨車行駛的路程等于兩車車身長之和.這時問題就迎刃而解了.4.數(shù)學實驗可以讓學生手腦結(jié)合，在體驗的過程中積累活動經(jīng)驗《課標（修改稿）》將傳統(tǒng)的“雙基”發(fā)展成“四基”，首次將基本活動經(jīng)驗與基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想一起作為學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志之一.數(shù)學活動經(jīng)驗是指在數(shù)學目標的指引下，對具體的數(shù)學對象進行操作和探究時所獲得的一種認識.從靜態(tài)看，數(shù)學活動經(jīng)驗是知識，是對數(shù)學活動產(chǎn)生的認識；從動態(tài)看，數(shù)學活動經(jīng)驗是過程、是經(jīng)歷，主體性、動態(tài)性、活動性是其主要特征.獲得的途徑主要包括：在“做數(shù)學”的過程中獲得；在“數(shù)學化”的過程中獲得；在“數(shù)學探究”中獲得.因此，“數(shù)學實驗”也是學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗的一種重要途徑.5.數(shù)學實驗可以讓學生享受成功，培養(yǎng)學生的積極的學習情感有調(diào)查顯示，學生對數(shù)學的評價是抽象、枯燥、傷心、離實際遠等.數(shù)學實驗的有效開展，使學生認知方式有所改變，認知途徑得到拓展，許多科學結(jié)論不再以完成、完滿的形式出現(xiàn)在學生面前，他們需要參與實驗活動，親身體驗數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程，每個學生都可以自由地、大膽地猜想和實驗驗證，享受數(shù)學發(fā)現(xiàn)的喜悅，感知數(shù)學思想形成的生動歷程，實現(xiàn)了從“學數(shù)學”到“做數(shù)學”再到“玩數(shù)學”，從被動學習到主動學習再到創(chuàng)造性學習的飛躍.隨之而來的是學習態(tài)度的轉(zhuǎn)變和由靜態(tài)的、絕對的機械反映論的數(shù)學觀向動態(tài)的、（擬）經(jīng)驗的、模式論的數(shù)學觀的轉(zhuǎn)變.因此，數(shù)學實驗教學對發(fā)展學生的積極數(shù)學情感是大有裨益的.三、數(shù)學實驗的教材設(shè)計初中數(shù)學中，有許多內(nèi)容與“數(shù)學實驗”有關(guān)，特別是在初中數(shù)學中改造了傳統(tǒng)的幾何，引進了幾何變換、直觀幾何等內(nèi)容，在傳統(tǒng)的代數(shù)中強調(diào)了“過程”，使得可供學生參與實驗活動的材料非常豐富.蘇科版教材在設(shè)計之初，就將數(shù)學實驗引進教材.例如在每一章都設(shè)計了章頭活動，依據(jù)學生已經(jīng)具備的數(shù)學知識、活動經(jīng)驗，結(jié)合本章將要學習的內(nèi)容，設(shè)計了一個數(shù)學活動；在知識發(fā)生階段，設(shè)置了“做一做”“操作”“實踐與思考”等欄目，設(shè)計了適合學生觀察、操作、實驗、歸納等形式的活動材料，讓學生在“做”數(shù)學的過程中“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學規(guī)律、數(shù)學結(jié)論，獲得數(shù)學思想和方法，學會學習、學會思考；專門設(shè)置了“數(shù)學實驗室”，并且每章一個“數(shù)學活動”、每冊一個“課題學習”……經(jīng)過8年的實踐與完善，逐步形成了蘇科版教材“做數(shù)學”的特色，為教師在教學過程中開展數(shù)學實驗提供了幫助.1.設(shè)計教材導游圖，讓學生感受到動手實踐也是數(shù)學學習的一種重要方式蘇科版教材第一章設(shè)計了“生活、數(shù)學”“活動、思考”兩節(jié)作為全套教材的導游圖，用以讓學生初略感受本套教材將要學習的基本內(nèi)容——數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、概率統(tǒng)計、綜合與實踐，感受本套教材的主要特色之一——教材以“生活、數(shù)學”和“活動、思考”為主線展開課程內(nèi)容，注重體現(xiàn)生活與數(shù)學的聯(lián)系、引導學生在活動中思考、探索，促進學生學習方式的轉(zhuǎn)變.教材在第二節(jié)“活動、思考”中，設(shè)計了4個實踐活動：①通過剪紙活動感受圖形性質(zhì)；②通過搭火柴棒活動發(fā)現(xiàn)圖形與數(shù)字規(guī)律；③通過月歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解決問題；④通過調(diào)查、數(shù)據(jù)統(tǒng)計作出判斷.在觀察、操作、想象、推理、交流等數(shù)學活動中，學生經(jīng)歷動手實踐、自主探索、合作交流，增進了對數(shù)學的理解，感受到動手操作、調(diào)查研究等也是數(shù)學學習的一種重要并且有效的方法與途徑.同時，根據(jù)這些實驗內(nèi)容的教學活動，可以引導教師關(guān)注創(chuàng)設(shè)能引發(fā)學生興趣和思考的操作性活動作為教學情境，以更好地實現(xiàn)數(shù)學課程目標.2.設(shè)計章頭活動，在實驗活動中激發(fā)學生興趣以及對后續(xù)學習的愿望各章的“章頭”中，教材編寫者結(jié)合本章內(nèi)容設(shè)計一些的簡單問題，引導學生借助生活經(jīng)驗或已有知識，通過“做”（操作、實驗等）來探索解決問題的途徑和方法，從而激發(fā)學生學習本章的興趣.例如，在八年級第十章《圖形的相似》中，教材編寫者設(shè)計了如下兩個操作活動來引入本章內(nèi)容：首先，借助于方格紙，嘗試學生熟悉的畫圖游戲——將可愛的熊貓放大，從生活中感受“對應(yīng)”與“放大”的含義；其次，通過對抽象的數(shù)學圖形（多邊形）的放大，并通過問題“這兩個多邊形的形狀相同嗎？”進一步體會數(shù)學圖形放大所發(fā)生的本質(zhì)變化；然后再通過度量這兩個多邊形的對應(yīng)邊和角具體感受圖形放大后的“變”與“不變”.由此引入本章的研究內(nèi)容與研究方法，在動手操作中激發(fā)學生后續(xù)學習的愿望與興趣.3.設(shè)計“做”數(shù)學欄目，引導學生經(jīng)歷實驗探究揭示“事例”的數(shù)學本質(zhì)在知識發(fā)生階段，教材較多地采用“學生‘做’——在‘做’中感受和體驗——主動獲取數(shù)學知識”的方式呈現(xiàn)，并在學生通過“做”獲得感受的基礎(chǔ)上，揭示“事例”的數(shù)學本質(zhì)，然后明晰有關(guān)知識.例如，在“探索三角形全等的條件”中，教材設(shè)計了“做一做”欄目：首先，用一張長方形紙剪一個直角三角形（剪下一個角）.怎樣能使全班學生剪下的直角三角形都全等？其次，觀察圖中的三角形，先猜一猜，再量一量，哪兩個三角形是全等三角形？然后，畫出一個已知兩邊與夾角的具體數(shù)值的三角形，剪下后與同學所畫的三角形進行比較，能重合嗎？由此得到三角形全等的判定方法之一.在各章節(jié)的教學內(nèi)容，除了“做一做”，教材還設(shè)置了“操作”“實踐與思考”等多種形式的欄目，設(shè)計適合學生觀察、操作、實驗、歸納等形式的活動材料，讓學生在“做”數(shù)學的過程中“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學規(guī)律、數(shù)學結(jié)論，獲得數(shù)學思想和方法，學會學習、學會思考.根據(jù)初中各年段學生的知識基礎(chǔ)和認知水平，三個年級的欄目也有所變化：七年級設(shè)置了“做一做”“試一試”“議一議”“想一想”“練一練”等欄目；八年級設(shè)置了“實驗”“操作”“交流”“討論”“嘗試”“探索”“猜想”“思考”等欄目；九年級設(shè)置了“實踐與探索”“操作與思考”“思考與探索”“觀察與思考”“嘗試與交流”“猜想與證明”“拓展與延伸”等欄目.這樣，便于教師根據(jù)學生的年齡特征和思維水平以及教學內(nèi)容的不斷深入，恰當?shù)亟M織、開展教學活動.另外，教材還專門設(shè)置了“數(shù)學實驗室”，引導學生通過數(shù)學實驗感受數(shù)學、探索知識和結(jié)論、應(yīng)用所學知識解決問題.例如，“數(shù)據(jù)在我們周圍”一章中是通過設(shè)計了一個關(guān)于“環(huán)保小衛(wèi)士”的選舉活動的數(shù)學實驗室，在實驗中體會并引入頻數(shù)與頻率的概念；又如，學生在學習完反比例函數(shù)內(nèi)容后，教材設(shè)計了“用計算機探索函數(shù)y=圖象隨k值的變化情況”，引導學有余力的學生借助于現(xiàn)代信息技術(shù)，繼續(xù)對反比例函數(shù)的性質(zhì)開展探究活動，加深對反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的理解和把握.根據(jù)學生的知識與經(jīng)驗基礎(chǔ)以及心理與認知的特點，“數(shù)學實驗室”在不同的年級設(shè)定了相應(yīng)的層次要求：七年級——感受（知識、方法、價值）和體驗，會描述實驗過程中的數(shù)學現(xiàn)象，能尋找解決問題的方法；八年級——感受和體驗、驗證和發(fā)現(xiàn)一些簡單的規(guī)律或結(jié)論，會表述實驗過程和結(jié)果；九年級——探索實驗現(xiàn)象的聯(lián)系和規(guī)律，在實驗過程中能反思和質(zhì)疑，發(fā)展推理能力.4.設(shè)計“課題學習”與“數(shù)學活動”，將數(shù)學實驗活動由課內(nèi)延伸到課外本套教材在每一章設(shè)置了“數(shù)學活動”，在每一冊后設(shè)計了“課題學習”，為學生提供更多的“做”數(shù)學的機會，將數(shù)學實驗由課內(nèi)引申至課外.例如，教材在“位置變化與數(shù)量變化”一章的數(shù)學活動中，設(shè)計了如下的一個實踐活動：確定藏寶地小明在一本課外讀物中看到這樣一段文字和一幅圖：圖4是尋寶者得到的一幅藏寶地圖，荒涼的海島上沒有藏匿寶藏的任何標志，