第7講 一般數(shù)列的通項(xiàng)-特征方程法

nn第7（講列通項(xiàng)求法—特征方程法一、一線遞數(shù)nn定理1知數(shù)列

{}項(xiàng)滿足ab,a1

n

其中cn

,稱程x

為數(shù)列

{}

的特征方程，設(shè)特征方程的根為

x

，則1）當(dāng)

x'a

時(shí)數(shù)列{}

為常數(shù)數(shù)列）

x'時(shí),{'}是為比的等比數(shù)列。例1．知數(shù)列

{}

滿足：

，

a

，求

.解：應(yīng)特征方程為

13則征根'4.32所以數(shù)列

311111{a}是首項(xiàng)為，比為的比數(shù)列所以()22323

n二、形

pa

qa(p,q

是常數(shù)的列形如

mama

(pq

是常數(shù)的階推列可特根求得通a其特方為

x

px

…①若①有二異根

，則可令

n

2

(,c12

是待定常數(shù)）若①有二重根

，則可令

cnc)n(c,n122

是待定常數(shù)）再利用

m,am22

可求得

c,

，進(jìn)而求得

例2已知數(shù)列

{}

滿足

12n

3n

2n*)n

，數(shù)列

{}

的項(xiàng)解：特征方程為

x

，得xx，a2n1

2

n

，1

12211221由

a112a2

，得

，

an

n例已知列

{}足aa

4n

Nn

*

數(shù)列

{}通項(xiàng)a解：特征方程為

4x

x

，解得

x12

12

，令an12

n

，c)2由cc)

，得，2

n

2n變式訓(xùn)練已知數(shù)列

{}足2,4

4an

Nn

*

，數(shù)列

{}

的項(xiàng)已數(shù)列

{}

滿足

2,4a12

4an

N*n

，數(shù)列

{}

的通項(xiàng)2

（陜西卷文）已知數(shù)列

}n

滿足，

a12,1’2

＝＋

an2

nn

*

，證明：

{}

是等比數(shù)列；

(Ⅱ求

}n

的項(xiàng)式。（1）

為，

12

為公比的等比數(shù)列。（）

a

51()N*)3

。（廣東理科壓軸

q

為實(shí)數(shù)程x2

的個(gè)根列

{}滿足

xpx2

2

，

qx

（

，

）求數(shù)列

{}

的通項(xiàng)公式）

，

q

14

，求

{}

的前

項(xiàng)和

S

．3

nannannannan三、形

a

BnD

的數(shù)列對(duì)于數(shù)列

a

BD

，*(A,B,,1

是常數(shù)且CAD

）特征方程為

CxD

，變形為

Cx

D)x

…②若②有二異根

，則可令

aanaann

（其

是待定數(shù)入

a2

的值可求得值。樣數(shù)列首項(xiàng)為

a1a1

，公比為

的等比數(shù)列，于是這樣可求得

若②有二重根

，則可令

11aann

（其中

是待定常數(shù)入

a2

的值可求得

11值。這樣數(shù)列項(xiàng)為，公差為aan1

的差列于這可求得

例已知

{}

滿足

a1n

an(2n

，求

{}

的通項(xiàng)

解：其特征方程為

2x

，簡(jiǎn)得

x

，解得

xx2

，令aanaan

由

2,

得

a

41，可得53

，

數(shù)列

aa3

為首項(xiàng)以

13

a11為公比的等比數(shù)列na33n

n

，n

3nn4

nn2a1nannn2a1nan例已知數(shù)列

{}足aa

2an(N4an

*

)

，求數(shù)列

{}通項(xiàng)an解：其特征方程為

x

2x4x

，即

x

x解得

1

12

，令111a2

由

3得a，求得c14

數(shù)列

1n2

是以

1152

為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，12n，a1552變式訓(xùn)練

1311.已知數(shù){a}中，=3，

a

n

4nan

，求{a的通項(xiàng)。競(jìng)賽題例1、列

a

，

a

n

116

1a。n

。解：構(gòu)建新數(shù)列

ban5

22nn22nn則

，

bn

24a

n

，即

an

b2n24

b2416

1

b24

化簡(jiǎn)得

n

n

b

，即

1bbn

數(shù)列

是以2為項(xiàng)，

12

為公比的等比數(shù)列。b2

12

2

即

bn

2

n

22nn32n

例2、列

{}

滿足

a1

512

，且

2a

求數(shù)列

{}

的項(xiàng)。解：

a2a

4a

…①令

294

，解得

1

254

，將它們代回①得，a

2924

……②，

25

……③，③÷②，得

4an

2

,6

nnnn，則nnnnn，則n或12則

lg

25a44aann

，∴數(shù)列

成等比數(shù)，項(xiàng)為1，比q

=2所以

lg

25aa4ann

2

，n

25410【解析）求根公式，不妨設(shè)

，得

p2qpq,2

2p2

p

，

pqp2

2

q

q（）設(shè)

xn

(x

)，x)x

n

，由

x

qx得

pst

，消，得

s

，是方程

x

的根，由題意可知，s①當(dāng)，此時(shí)方程組

st

的解記為tt12

x

),

),即

n

xn2n

比為

s

、

s

的比列，由等比數(shù)列性質(zhì)可得

xnn

)2

xnn

)21

7

nnn2n23n232222223nnn2n23n232222223兩式相減，得

n

21

)21x21

，x2

，

x(21

，

21

n

，xn

，x②當(dāng)

時(shí)，即方程

x2

有重根，p2q

，即

()

，(

，不妨設(shè)

s

，①知xnn

)21

，

，xnn

)2即xnn

，等式兩邊同時(shí)除以n，

n

n

，即

n

n

數(shù)

列

{

nn

}

是

以

為

公

差

的

等

差

數(shù)

列

，

n

1

,n

綜上所述，（）把，q

1代入2