第一中學(xué)2020學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精重慶市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含解析2020年重慶一中高2022級(jí)高一上期期末考試數(shù)學(xué)測(cè)試試題卷注意事項(xiàng):1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫在答題卡上.2．作答時(shí),務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結(jié)束后,將答題卡交回.一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求。1。已知集合，則()A. B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合,按照并集的定義，即可求解?！驹斀狻?，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2。已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，函數(shù)一定有零點(diǎn)的是（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】判斷選項(xiàng)中區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值是否異號(hào),即可得出結(jié)論.【詳解】在是連續(xù)的增函數(shù)，，函數(shù)一定有零點(diǎn),且在區(qū)間上。故選:B【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)的存在性定理,屬于基礎(chǔ)題。3.計(jì)算的結(jié)果是（)A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)，再用二倍角公式，即可求解。【詳解】。故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題.4.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(）A. B。C. D。【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可?！驹斀狻緼選項(xiàng)中故不是奇函數(shù),B選項(xiàng)中故不是奇函數(shù)，C選項(xiàng)中故不是奇函數(shù),D選項(xiàng)中，是奇函數(shù)，故選D?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了奇函數(shù)的判定，屬于中檔題。5。要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖象(）A。把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個(gè)單位B.把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,再向左平移個(gè)單位C.把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，再向右平移個(gè)單位D.把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，再向左平移個(gè)單位【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像伸縮、平移關(guān)系，即可求解?！驹斀狻亢瘮?shù)的圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到函數(shù)的圖像，再將圖像再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像間的變換關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式是（）A。 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖像的最大值和最小值得到，根據(jù)圖像得到周期,從而求出，再代入點(diǎn)得到的值.【詳解】由圖像可得函數(shù)的最大值為2，最小值為—2，故根據(jù)圖像可知，所以，代入點(diǎn)得所以，因?yàn)?所以所以，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)圖像求函數(shù)的解析式，屬于簡(jiǎn)單題。7.已知,，，則，，的大小關(guān)系是（)A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用換底公式化簡(jiǎn)，而，利用在單調(diào)性比較與的大小關(guān)系，即可求解.【詳解】，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查比較數(shù)的大小關(guān)系,涉及到對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題。8。已知函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為，求出在上的最小值,而為或,解不等式組，即可求解?！驹斀狻?，當(dāng)時(shí)最小值為-1對(duì)任意，總存在,使得成立，只需，即,而為或,只需，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查不等式存在成立和恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.9.已知函數(shù)的值域?yàn)?則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】令，要使已知函數(shù)的值域?yàn)?需值域包含，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分類討論,結(jié)合二次函數(shù)圖像，即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，不合題意;當(dāng)時(shí)，，此時(shí),滿足題意;當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t函數(shù)值域包含，，解得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是。故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)值域,屬于中檔題.10。函數(shù)在區(qū)間上的圖像大致為（)A. B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】結(jié)合選項(xiàng)對(duì)和函數(shù)分類討論去絕對(duì)值，即可求解?！驹斀狻?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)求圖像，化簡(jiǎn)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題。11.已知函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：①最小正周期為；②在上的值域?yàn)椋虎鄣膱D像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；④的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】化簡(jiǎn)，根據(jù)函數(shù)的周期，值域,對(duì)稱性逐項(xiàng)驗(yàn)證，即可求得結(jié)論.【詳解】周期為，①正確;的值域?yàn)?，②正確；，③正確；為的最大值,④正確。故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.12。已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，,使得且，則的取值范圍是（)A。 B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】做出函數(shù)圖像，尋求，關(guān)系，,關(guān)系，以及，的范圍，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的函數(shù)，即可求解?！驹斀狻孔龀龊瘮?shù)圖像如下圖所示：，，，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性，+=12，且,=，。故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)有關(guān)零點(diǎn)關(guān)系式的取值范圍，解題關(guān)鍵要確定零點(diǎn)間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把最簡(jiǎn)答案寫在答題卡相應(yīng)位置上.13。已知，，則___________;【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式，先求出，再根據(jù)的范圍，判斷符號(hào)，即可求解?！驹斀狻?，。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)求值問題，熟記公式是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。14.已知,，則的值為．【答案】3【解析】【詳解】,故答案為3。15.若函數(shù)滿足：在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立,則稱函數(shù)為“階馬格丁香小花花"函數(shù)．給出下列四個(gè)函數(shù)：①;②；③；④．其中是“階馬格丁香小花花”函數(shù)的所有函數(shù)的序號(hào)是___________；【答案】②④【解析】【分析】判斷函數(shù)是否為“階馬格丁香小花花”,只需判斷方程是否有實(shí)數(shù)解，逐個(gè)函數(shù)代入驗(yàn)證，即可求解?！驹斀狻竣?，方程為，整理得,無實(shí)根,①不是“階馬格丁香小花花”函數(shù)；②,方程為，整理得解得，②是“階馬格丁香小花花"函數(shù)；③,方程為，整理得，方程無實(shí)根，③不是“階馬格丁香小花花”函數(shù)；④，方程為,整理得，④是“階馬格丁香小花花”函數(shù)。故答案為：②④【點(diǎn)睛】本題考查新定義問題，要認(rèn)真審題,轉(zhuǎn)化為判斷方程是否有實(shí)數(shù)解，屬于中檔題。16。定義在上的函數(shù)滿足是偶函數(shù)，且對(duì)任意恒有，又，則___________?！敬鸢浮?【解析】【分析】根據(jù)已知條件推導(dǎo)出是周期函數(shù)，即可求解?！驹斀狻渴桥己瘮?shù)，所以，,的周期為12,.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，屬于較難題。三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。17。(1）若，求值：；（2）計(jì)算:。【答案】（1）（2)0【解析】【分析】(1）根據(jù)誘導(dǎo)公式,化為齊次分式，即可求解；（2)根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、換底公式、對(duì)數(shù)恒等式即可求解?！驹斀狻拷猓?1）原式；(2）原式．【點(diǎn)睛】（1）考查三角函數(shù)的求值，化弦為切是解題的關(guān)鍵,屬于基本運(yùn)算；（2）考查對(duì)數(shù)計(jì)算，熟記有關(guān)對(duì)數(shù)計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.18.已知集合，集合（1）當(dāng)時(shí)，求;（2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)集合,即求函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)集合，即解一元二次不等式，按交集定義即可求解；(2）由可得，對(duì)集合一元二次不等式分類討論，即可求解.【詳解】解：（1），當(dāng)時(shí)，因此；（2）而，故：1°當(dāng)時(shí)，因此滿足題意；2°當(dāng)時(shí)；3°當(dāng)時(shí)；綜上的取值范圍．【點(diǎn)睛】本題考查集合間的關(guān)系，考查函數(shù)的定義域,和一元二次不等式的解法，屬于中檔題.19。已知函數(shù)(1）求；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間。【答案】（1）(2），．【解析】分析】（1）利用兩角和正弦公式，降冪公式,輔助角公式化簡(jiǎn)，即可求解；(2）運(yùn)用整體思想結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得出結(jié)論.【詳解】解：(1），因此;（2）令，由，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，以及函數(shù)的性質(zhì)，熟記公式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題。20.已知函數(shù)的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為,若將的圖像先向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，所得的函數(shù)為奇函數(shù)．（1)求的解析式；（2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相鄰兩對(duì)稱軸間的距離求出值，由函數(shù)圖像的變換關(guān)系，求出函數(shù),再結(jié)合是奇函數(shù)，即可求出參數(shù)；(2)設(shè)，，原方程在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)僅有一個(gè)根，且另一個(gè)根，轉(zhuǎn)化一元二次方程根的分布求參數(shù),或分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)勾函數(shù)與直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍，即可求解.【詳解】解：（1)由題意知的周期,故,而為奇函數(shù)，則，且，而，故，因此；（2）由(1）知,題意等價(jià)于在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根,令，,則題意方程在內(nèi)僅有一個(gè)根，且另一個(gè)根．法一：令，則題意或；法二:顯然不是該方程的根,題意與的圖像在內(nèi)僅有一個(gè)交點(diǎn)且另一個(gè)交點(diǎn)不為,由于對(duì)勾函數(shù)在上單減，在上單增，故有或，因此．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的變換關(guān)系，考查函數(shù)的零點(diǎn)分布常用的方法，一是直接研究函數(shù)與軸交點(diǎn)范圍，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求出參數(shù)范圍；二是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍.21.定義二元函數(shù),，，如．已知二次函數(shù)過點(diǎn)，且對(duì)恒成立．（1）求的值，并求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù),求在上的值域．【答案】（1）—4,（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知設(shè),由新定義得，已知不等式轉(zhuǎn)化為，恒成立，得出，求出關(guān)系，結(jié)合已知轉(zhuǎn)化的不等式恒成立，求出值，即可求解;（2）求出，利用換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域?！驹斀狻拷猓海?）設(shè)，，由，令,得，由得，于是，由題：，，檢驗(yàn)知此時(shí)滿足，，故；（2）由題知，令,顯然在上單增,故當(dāng)時(shí)，，則，，因此也即在上的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)，認(rèn)真審題領(lǐng)會(huì)題意，考查一元二次不等式恒成立求參數(shù)，考查換元法等價(jià)轉(zhuǎn)化求二次函數(shù)的值域，屬于較難題.22。已知定義在的奇函數(shù)滿足：①；②對(duì)任意均有；③對(duì)任意，均有。（1）求的值；（2）利用定義法證明在上單調(diào)遞減；（3)若對(duì)任意，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）0（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）用賦值法令,即可求解;(2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義，設(shè)，比較大小，做差，利用條件等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)值，或?qū)Π匆阎仁劫x值將函數(shù)值的差轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)值,判斷該函數(shù)值的正負(fù)，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)已知條件求出或，利用函數(shù)的單調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意,不等式或者恒成立，令，，則,，則不等式等價(jià)于……①或……②對(duì)任意恒成立，,，轉(zhuǎn)化二次函數(shù)最值的不等量關(guān)系,即可求解?！驹斀狻拷猓海?）在中,令；（2）由題知：對(duì)任意都有,且對(duì)任意均有證一：任取，則，因?yàn)?，所?所以，即即，也即在單調(diào)遞減；證二:任取,設(shè)，，，，則，因?yàn)?所以,即，也即在單調(diào)遞減;(3）在中令，令，，而為奇函數(shù)，故,又在及上均單調(diào)遞減,因此原不等式等價(jià)于對(duì)任意，不等式或者恒成立，令，，則，，則不等式等價(jià)于……①或……②對(duì)任意恒成立,法一：令,立,開口向上，則不等式①;對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，由，即必不存在滿足②。綜上，。法二:令，，開口向上，對(duì)稱