研究生入學(xué)考試《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》課后習(xí)題解答

第一章事件與概率

1.2在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生，令事件A表示被選學(xué)生是男生，事件?B表示被選學(xué)生是三年級(jí)

學(xué)生，事件C表示該生是運(yùn)動(dòng)員。

(1)敘述ABC的意義。

(2)在什么條件下ABC=C成立？

(3)什么時(shí)候關(guān)系式CuB是正確的？

(4)什么時(shí)候,=8成立？

解(1)事件ABC表示該是三年級(jí)男生，但不是運(yùn)動(dòng)員。

(2)ABC=C等價(jià)于CuA6,表示全系運(yùn)動(dòng)員都有是三年級(jí)的男生。

(3)當(dāng)全系運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生時(shí)。

(4)當(dāng)全系女生都在三年級(jí)并且三年級(jí)學(xué)生都是女生時(shí)，

1.3一個(gè)工人生產(chǎn)了n個(gè)零件，以事件表示他生產(chǎn)的第i個(gè)零件是合格品(1Wi<〃用A,表

示下列事件：

(D沒(méi)有一個(gè)零件是不合格品；

(2)至少有一個(gè)零件是不合格品；

(3)僅僅只有一個(gè)零件是不合格品；

(4)至少有兩個(gè)零件是不合格品。

解⑴仆4；(2)］；⑶0區(qū)(14)］；

i=l/=1i=li=lj=l

加

n

(4)原事件即“至少有兩個(gè)零件是合格品”，可表示為；

7=1

i*j

1.5在分別寫(xiě)有2、4、6、7、8、11、12、13的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)

分?jǐn)?shù)，求所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)的概率。

解樣本點(diǎn)總數(shù)為府=8X7。所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)必須分子分母或?yàn)?、11、13中的兩個(gè)，或?yàn)?、

4、6、8、12中的一個(gè)和7、11、13中的一個(gè)組合，所以事件A“所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)”包含

A；+2A；xA；=2x3x6個(gè)樣本點(diǎn)。于是

2x3x69

P(A)=

8x7L4

1.8在中國(guó)象棋的棋盤(pán)上任意地放上一只紅“車(chē)”及一只黑“車(chē)”，求它們正好可以相互吃掉的概率。

解任意固定紅“車(chē)”的位置，黑“車(chē)”可處于9x10—1=89個(gè)不同位置，當(dāng)它處于和紅“車(chē)”同

行或同列的9+8=17個(gè)位置之一時(shí)正好相互“吃掉”。故所求概率為

17

P(A)=—

89

1.9一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起

離開(kāi)電梯，假設(shè)每位乘客在哪一層離開(kāi)電梯是等可能的，求沒(méi)有兩位及兩位以上乘客在同一層離開(kāi)的概率。

解每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開(kāi)電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為9’。事件

A“沒(méi)有兩位及兩位以上乘客在同一層離開(kāi)”相當(dāng)于“從9層中任取7層，各有一位乘客離開(kāi)電梯”。所

1.10某城市共有10000輛自行車(chē)，其牌照編號(hào)從00001到10000。問(wèn)事件“偶然遇到一輛自行車(chē),

其牌照號(hào)碼中有數(shù)字8”的概率為多大？

-94r9Y

解用A表示“牌照號(hào)碼中有數(shù)字8"，顯然P(A)=--------=—，所以

10000<ioj

P(A)=1-P(A)=1-

10000

L11任取一個(gè)正數(shù)，求下列事件的概率：

(2)該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1；

(3)該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1；

42

解(2)當(dāng)該數(shù)的末位數(shù)是1、3、7、9之一時(shí)，其四次方的末位數(shù)是1,所以答案為一=一

105

(3)一個(gè)正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字，所以樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)。

用事件A表示“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1"，則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是1,設(shè)最后第二位數(shù)字

為a,則該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字為1和3a的個(gè)位數(shù)，要使3a的個(gè)位數(shù)是1,必須a=7,因此A所

包含的樣本點(diǎn)只有71這一點(diǎn)，于是

1.12一個(gè)人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。然后請(qǐng)另一個(gè)人把6個(gè)頭兩兩相接，6個(gè)

尾也兩兩相接。求放開(kāi)手以后6根草恰好連成一個(gè)環(huán)的概率。并把上述結(jié)果推廣到2"根草的情形。

解(1)6根草的情形。取定一個(gè)頭，它可以與其它的5個(gè)頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它

未接過(guò)的3個(gè)之一相接，最后將剩下的兩個(gè)頭相接，故對(duì)頭而言有5?31種接法，同樣對(duì)尾也有5?3?1種

接法，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為(5?3?。用A表示“6根草恰好連成一個(gè)環(huán)”,這種連接，對(duì)頭而言仍有5-3-1

種連接法，而對(duì)尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。再取另一尾，它只能

和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為4-2。所以A包

(531)(4?2)8

含的樣本點(diǎn)數(shù)為(5.3-1)(4-2),于是P(A)=一』，'=—

(5-3-1)

(2)2〃根草的情形和(1)類似得

幾—]]

1.15在A48C中任取-點(diǎn)P,證明AA8P與AABC的面積之比大于——的概率為二。

nn

解截取CD'=LC。，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸落入△C4'8'之內(nèi)時(shí)A48尸與A4BC的面積之比大于

萬(wàn)

fl—IAA'B'C有面積CDr3

——，因此所求概率為尸(A)

的面積^5CD'〃

1.16兩艘輪船都要?？客粋€(gè)泊位，它們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá)。設(shè)兩船?？坎次坏臅r(shí)間分

別為1小時(shí)與兩小時(shí)，求有一艘船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的概率。

解分別用表示第一、二艘船到達(dá)泊位的時(shí)間。?一艘船到達(dá)泊位時(shí)必須等待當(dāng)且僅當(dāng)

242--X232--X222

0<x-y<2,0<y-x<L因此所求概率為P(A)=-------~———------0.121

1.17在線段上任取三點(diǎn)尤九2,無(wú)3，求：

(1)%2位于匹與尤3之間的概率。

(2)4玉,A%2,A%3能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。

;1，—3?x-1x-1.

解(1)P(A)=-(2)P(B)=------C

312

1.20甲、乙兩人從裝有a個(gè)白球與人個(gè)黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都

有不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)停止。試描述這一隨機(jī)現(xiàn)象的概率空間，并求甲或乙先取到白球

的概率。

史

解均表示白，02表示黑白，例表示黑黑白，…你+］表示黑?一黑白，

則樣本空間。=｛。1，@，…，七+J,并且P(｛0j)=，一，

a+b

a、、bb-\a

--------，尸(｛仆｝)=---------------------------，…，

。+〃一1a+ba+h-ia+b—2

b-1/？-(/-2)a

p(⑷戶總

a+b-1a+b—(i-2)a+b-(i-l)

bla

P({%})=

{a+b\a+b-X)--?a

甲取勝的概率為P({0j)+P({03})+P({05})+-

乙取勝的概率為P({02})+尸({汲,})+P({0})+…

1.21設(shè)事件A,8及AD8的概率分別為p、g及r,求P(AB),P(AB),P(AB),P(AB)

解由P(A。8)=P(A)+P(B)-P(AB)得

P(AB)=P(4)+P(6)-P(Au8)=p+q-r

P(Ag)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=r-q,P(AB)^r-p

P(AB)=P(AuB)=1一尸(Au8)=1-r

1.22設(shè)A2為兩個(gè)隨機(jī)事件，證明:

⑴P(A[4)=1-p(A)—P(A2)+P(A,A2)；

(2)尸(])-(月)<(U

1-PP44)<P(A,A2)<P(A,)+P(A2).

證明(1)uu

P(AA2)=P(A,A,)=1-P(A,A2)=1-P(A,)-P(A2)+P(AtA2)

(2)由(1)和P(1可)>0得第一個(gè)不等式，由概率的單調(diào)性和半可加性分別得第二、三個(gè)不等式。

1.24在某城市中共發(fā)行三種報(bào)紙：甲、乙、丙。在這個(gè)城市的居民中，訂甲報(bào)的有45樂(lè)訂乙報(bào)的

有35%,訂丙報(bào)的有30%,同時(shí)訂甲、乙兩報(bào)的有10%,同時(shí)訂甲、丙兩報(bào)的有8%,同時(shí)訂乙、丙兩報(bào)的有

5%,同時(shí)訂三種報(bào)紙的有3%,求下述百分比：

(1)只訂甲報(bào)的；

(2)只訂甲、乙兩報(bào)的：

(3)只訂一種報(bào)紙的；

(4)正好訂兩種報(bào)紙的；

(5)至少訂一種報(bào)紙的；

(6)不訂任何報(bào)紙的。

解事件A表示訂甲報(bào)，事件8表示訂乙報(bào)，事件C表示訂丙報(bào)。

(1)P(ABC)=P(A-(ABuAC))=P(A)-P(ABuAC)=30%

(2)P(ABC)=P(AB-ABC)=7%

(3)P(BAC)=P(B)一[P(AB)+P(BC)-尸(ABC)]=23%

P(CAB)=P(C)-[P(AC)+P(BC)-P(ABC)]=20%

P(ABCU+BAC+CAB)=P(A8C)+P(BAC)+尸(CAB)=73%

(4)P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14%

(5)P(A+8+C)=90%

(6)P(ABC)=\-P(A+B+C)=1-90%=10%

1.26某班有“個(gè)學(xué)生參加口試，考簽共N張，每人抽到的考簽用后即放回，在考試結(jié)束后，問(wèn)至少

有一張考沒(méi)有被抽到的概率是多少？

N

解用4表示“第，張考簽沒(méi)有被抽到"，i=l,2,…，N。要求P(Ud)。

i=l

P(A，)=(M)'"44)=(寫(xiě))’……，P(A…A")=(空)=°

%展1與1

N-2]

~N~)

NN

所以p（Ua）=z（-i）i

1=1I=I(M

1.29已知一個(gè)家庭中有三個(gè)小孩，且其中一個(gè)是女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率（假設(shè)一個(gè)小孩是

男孩或是女孩是等可能的）。

解用仇g分別表示男孩和女孩。則樣本空間為:

Cl={(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(,b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}

其中樣本點(diǎn)依年齡大小的性別排列。A表示“有女孩”，B表示"有男孩”，則

P(AB)_6/8_6

P(B|A)=

P(A)7/87

1.30設(shè)M件產(chǎn)品中有機(jī)件是不合格品，從中任取兩件，

（1）在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。

（2）在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。

解（1）設(shè)A表示“所取產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”，8表示“所取產(chǎn)品都是不合格品”，則

（2）設(shè)C表示“所取產(chǎn)品中至少有一件合格品”，。表示“所取產(chǎn)品中有一件合格品，一件不合格品”。

則

m(znYM一舟(M2-nAj

P(C)=P(O)=

MM

2m

M+m-l

1.31〃個(gè)人用摸彩的方式?jīng)Q定誰(shuí)得一張電影票，他們依次摸彩，求:

⑴已知前2—1伏<〃）個(gè)人都沒(méi)摸到，求第k個(gè)人摸到的概率;

⑵第攵（％<n）個(gè)人摸到的概率。

解設(shè)A,表示“第i個(gè)人摸到“，i=l,2,???，〃。

--I1

（1）

〃一女+1

——H—1n-21_1

⑵尸（&）=p（%…Aj4）=——

nn-\n-k+\n

1.32已知一個(gè)母雞生及個(gè)蛋的概率為一eT（/l>0）,而每一個(gè)蛋能孵化成小雞的概率為p,證

K\

明：一個(gè)母雞恰有r個(gè)下一代（即小雞）的概率為二即。

r!

解用4人表示“母雞生攵個(gè)蛋”，3表示“母雞恰有r個(gè)下一代”，則

88夕女。一2（攵、

P（B）=￡P(guān)（A）P（BIA?）=Z-P'Q-P）j

k=rk-r

_（4P）'U（1-PH"'_（4P）—/l（l-p）

r!￡（k-ry.r!

■P）'c”

1.35某工廠的車(chē)床、鉆床、磨床、刨床的臺(tái)數(shù)之比為9:3:2:1,它們?cè)谝欢〞r(shí)間內(nèi)需要修理的概率

之比為1:2:3:1。當(dāng)有一臺(tái)機(jī)床需要修理時(shí)，問(wèn)這臺(tái)機(jī)床是車(chē)床的概率是多少？

9321

解則p（A,）=—,P（4）=—，尸（43）=話，^4）=—

1231

P（B\Ai）=~,P（B\A2）=~,P⑻4）=亍，P（B\A4）=-

由貝時(shí)葉斯公式得p（AjB）=P（A）P（8IA）=9

火p（4）尸⑻4）22

*=|

1.36有朋友自遠(yuǎn)方來(lái)訪，他乘火車(chē)、輪船、汽車(chē)、飛機(jī)來(lái)的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4.如果

他乘火車(chē)、輪船、汽車(chē)來(lái)的話，遲到的概率分別是,、

,而乘飛機(jī)不會(huì)遲到。結(jié)果他遲到了，試

4312

問(wèn)他是乘火車(chē)來(lái)的概率是多少？

解用4表示“朋友乘火車(chē)來(lái)”，A2表示“朋友乘輪船來(lái)”，A,表示“朋友乘汽車(chē)來(lái)”，A,表示“朋

友乘飛機(jī)來(lái)”，8表示“朋友遲到了”。

則P（AIB）=⑻"」

之P（4）P（8|4）2

hl

1.41一個(gè)人的血型為。,A,8,A3型的概率分別為0.46、0.40、0.11、0.03,現(xiàn)在任意挑選五個(gè)人,

求下列事件的概率

(1)兩個(gè)人為。型，其它三個(gè)人分別為其它三種血型;

⑵三個(gè)人為。型，兩個(gè)人為A型；

(3)沒(méi)有一人為A3。

解(從個(gè)人任選人為。型，共有種可能，在其余人中任選一人為A型，共有三種可能,

1)52⑵3

在余下的2人中任選一人為B型，共有2種可能，另一人為A3型，順此所求概率為：

⑶2

x3x2x0.462x0.40x0.llx0.13=0.0168

(2)f5>|x0.462x0.402?0.1557

(3)(1-0.03)5=0.8587

1.43做一系列獨(dú)立的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中成功的概率為p,求在成功“次之前己失敗了初次的概率。

解用A表示“在成功”次之前已失敗了機(jī)次”，8表示“在前〃+加一1次試驗(yàn)中失敗了九次”，

C表示“第”+加次試驗(yàn)成功”

貝UP(A)=P(BC)=P(B)P(C)=p"T(l_py".p

m

(〃+〃?-

=P"(l-P)"'

Im)

1.45某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴，每盒都有“根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根。

求他用完一盒時(shí)另一盒中還有r根火柴(l<r<n)的概率。

解用4表示“甲盒中尚余i根火柴”，用瑪.表示“乙盒中尚余/根火柴”，C,。分別表示“第

2〃一r次在甲盒取”，“第2〃一r次在乙盒取”，表示取了2〃一，次火柴，且第2〃一「次是

從甲盒中取的，即在前2〃一「一1在甲盒中取了〃一1,其余在乙盒中取。所以

(2〃一一1丫1丫11

由對(duì)稱性知P(A,￡)C)=，所求概率為：

“二

P(A0BrCkjArB0D)=2P(A0BrC)=\

第二章離散型隨機(jī)變量

2.3解設(shè)隨機(jī)變量J的分布列為P(4=,)=C.|-1,i=1,2,3。求C的值。

解仁如自所以c=K27

138

2.4隨機(jī)變量J只取正整數(shù)N,且尸(J=N)與成反比，求J的分布列。

解根據(jù)題意知P?=N)=1，其中常數(shù)C待定。由于2M=C.[-=1，所以c=3,即4

的分布列為?e=N)=6,N取正整數(shù)。

?！癗，

2.5一個(gè)口袋中裝有機(jī)個(gè)白球、〃一〃2個(gè)黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球，直到取出黑球時(shí)停止。

設(shè)此時(shí)取出了J個(gè)白球，求J的分布列。

解設(shè)*=k”表示前上次取出白球，第&+1次取出黑球，則J的分布列為：

P(=k)=--------7~~:--------,左=0,1,…，加

2.6設(shè)某批電子管的合格品率為不合格品率為;，現(xiàn)在對(duì)該批電子管進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第J次為首

次測(cè)到合格品，求J的分布列。

解產(chǎn)?=%)=(；)A=1,2,….

2.9兩名籃球隊(duì)員輪流投籃，直到某人投中時(shí)為止，如果第一名隊(duì)員投中的概率為0.4,第二名隊(duì)員投中的

概率為0.6,求每名隊(duì)員投籃次數(shù)的分布列。

解設(shè)"表示第二名隊(duì)員的投籃次數(shù)，則

P(J=k)=O.6"IO.4"TO.4+O.6?O.4*TO.6=0.76-0.241?=1,2,…；

P(〃=Q=0.6*0.4*T().6+0.6*04*0.4=0.760.6*0.4*-',A:=1,2,…。2.10設(shè)隨機(jī)變量

J服從普哇松分布，且P(J=1)=P(J=2),求P(J=4)。

A

解P(J=k)=——e~(A>0)Z:=0,1,2,???o由于4&一'=——e",得％=2,乙=。(不

k\2

242

合要求)。所以P(J=4)=—e~2=-e'2o

2.11設(shè)某商店中每月銷(xiāo)售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的普哇松分布，問(wèn)在月初進(jìn)貨時(shí)應(yīng)進(jìn)多少件此

種商品，才能保證當(dāng)月不脫銷(xiāo)的概率為0.999。

解設(shè)J為該種商品當(dāng)月銷(xiāo)售數(shù)，/為該種商品每月進(jìn)貨數(shù)，則尸(JW幻20.999。查普哇松分布

的數(shù)值表，得xN16。

2.12如果在時(shí)間，（分鐘）內(nèi)，通過(guò)某交叉路口的汽車(chē)數(shù)量服從參數(shù)與，成正比的普哇松分布。已知

在一分鐘內(nèi)沒(méi)有汽車(chē)通過(guò)的概率為0.2,求在2分鐘內(nèi)有多于一輛汽車(chē)通過(guò)的概率。

解設(shè)j為時(shí)間r內(nèi)通過(guò)交叉路口的汽車(chē)數(shù)，則

f=l時(shí)，P(J=0)=e"=0.2,所以?l=ln5；f=2時(shí)，At—21n5,因而

P?>1)=1-P也=0)-P(J=1)=(24-In25)/25=0.83。

2.13一本500頁(yè)的書(shū)共有500個(gè)錯(cuò)誤，每個(gè)錯(cuò)誤等可能地出現(xiàn)在每一頁(yè)上（每一頁(yè)的印刷符號(hào)超過(guò)

500個(gè)）。試求指定的一頁(yè)上至少有三個(gè)錯(cuò)誤的概率。

解在指定的一頁(yè)上出現(xiàn)某一個(gè)錯(cuò)誤的概率p=\一,因而，至少出現(xiàn)三個(gè)錯(cuò)誤的概率為

豹500丫1丫(499丫°°"_^pOOY1丫(499丫°°"

旦％JsooJ^5ooJ=1-9攵JsooJIsooJ

利用普哇松定理求近似值，??；l=〃p=500x」一=l,于是上式右端等于

500

215

l-Y-e-1=1——-0.080301

3k!2e

2.14某廠產(chǎn)品的不合格品率為0.03,現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，若要以不小于0.9的概率保證每箱中至

少有100個(gè)合格品，那么每箱至少應(yīng)裝多少個(gè)產(chǎn)品？

解設(shè)每箱至少裝100+x個(gè)產(chǎn)品，其中有％個(gè)次品，則要求X,使

e"oo+

0.9<E|O.03A0.97100+X-\

、、3k

利用普哇松分布定理求近似值，取/1=（100+4）*0.03之3,于是上式相當(dāng)于0.9《￡T-3,查

圖k!

普哇松分布數(shù)值表，得x=5。

2.15設(shè)二維隨機(jī)變量（,〃）的聯(lián)合分布列為：

2P（1一/"—eUu>0,0<p<1）"2=0,1,…，〃〃=0,1,2,…

機(jī)!（〃一加!）

求邊際分布列。

解P（J=n）=￡P(guān)（J=〃力=m）_p，"（［一p）-m

￡〃！士加（〃-加）r

n=0,1,2,?■■

n\

1、ni-Aoo?

PQ]=m)=￡P(guān)(J=n,7j=m)=2~^—V---------p'"(l-p)"~m

?=()ml￡；加!(〃一加)！

QP)—…

=----------tn=0,1,2,…。

/n!

2.17在一-批產(chǎn)品中一等品占50%,二等品占30%,三等品占20%。從中任取4件，設(shè)一、二、三等品

的件數(shù)分別為4、n、C,求(虞7《)的聯(lián)合分布列與各自的邊際分布列。

4',

解「?=/〃,〃=〃，?=&)=――0.5m0,3"0.2x，%,〃?=0,1,2,3,4m+n+k^4.

m\n\k\

ra4m

p^=m)=^jo.5O.5->/M=0,1,2,3,4；

,,4',

p(/7=/2)=^O.3O.7'.n=0,1,23,4；

p(?=Q=0.2*0.84-*,k=0,123,4。

2.18拋擲三次均勻的硬幣，以J表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以77表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差

的絕對(duì)值，求(？,")的聯(lián)合分布列及邊際分布列。

2.21設(shè)隨機(jī)變量J與〃獨(dú)立，且P(J=1)=P(t]=1)=p>0,

又PG=0)=p(77=0)=l—p>0,定義l=p若J+〃為偶數(shù)，問(wèn)P取什么值時(shí)J與6

[()若4+〃為奇數(shù)

獨(dú)立？

解p(c=i)=pq=o)p(〃=o)+P化=1)尸(〃=i)=(i-p)2+p2

p(《=0)=PC=0)P(7=1)+P(4=0)P(7=1)=2p(l-p)

而p?=1，=1)=P4==i)=/，由PC=1,?=i)=p?=i)P《=1)得0=1

2

2.22設(shè)隨機(jī)變量J與77獨(dú)立，且PC=±l)=P(Z7=±l)=g,定義？=，證明兩

兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立。

證明p(?=D=PC=1)P⑺=1)+PC=-1)P(7=_1)=g

p(?=-1)=PC=1)尸⑺=-D+PC=-DP⑦=1)=；

因?yàn)镻(J=1,^=1)=p(J=1,77=1)=-=p(J=I)P?=1)

4

P比=1，=-1)=P(J=1,77=-i)=lp(j=i)p《=-1)

4

尸(4=_i，7=I)=PC=—I,〃=—I)=；P4=-I)P《=1)

P?=-lX=-l)=P(J=-l,Z7=l)=|P?=—1)P?=-1)

所以?,J相互獨(dú)立。同理〃與，相互獨(dú)立。

但是=1,〃=1/=1)。P(J=I)P(〃=1)尸?=i)，因而q&n不相互獨(dú)立。

2.23設(shè)隨機(jī)變量J與〃獨(dú)立，，且只取值1、2、3、4、5、6,證明J+"不服從均勻分（即不可能有

P(J+"=左)=[,左=2,3,…,12o)

證明設(shè)尸尸(〃

C=k)=Pk,=k)=qk,k=1,2,…,6o

若尸(J+77=k)=[,&=2,3,?一,12,則

PC+；7=2)=pU1='(1)

P?+〃=7)=2應(yīng)6+。2%+~+。6坊=5(2)

尸?+〃=12)=/?6必=5⑶

將（2）式減去（1）式，得：（06一PlMl<0，于是。6<Pl。同理46<0。因此

P<4<PM=—>與⑶式矛盾。

<n\

0—7T2

2.24已知隨機(jī)變量J的分布列為2,求〃=§J+2與？=cosj的分布列。

111

<424>

解〃分布列為P(7；=2)=；,P(〃=2+g)=g,尸(z7=2+g)=；；

《的分布列為尸(4=-1)=l，=0)=—,=1)=—?

-424

，一2-1013、

2.25已知離散型隨機(jī)變量J的分布列為111111，求〃=J2的分布列。

<5651530>

解P(〃=0)=:,尸(〃=1)=?，尸⑺=4)=g,P(〃=9)=g

(013、11

設(shè)離散型隨機(jī)變量。與〃的分布列為，且與〃相互獨(dú)

2.26J：131,7/：j_2J

<288>\33J

立，求6=4+〃的分布歹h

(01234、

解111J_J_

、62442412,

2.27設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量J與〃分別服從二項(xiàng)分布：b(k;n「p)與bik;%,P)，求+〃的分布列。

解設(shè)J為〃1重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)(在每次試驗(yàn)中P(A)=〃)，〃為4重貝努里試

驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)(在每次試驗(yàn)中P(A)=p),而孑與〃相互獨(dú)立，所以J+77為〃?+%重貝努

里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，因而

PG+〃=Q=('I；〃2卜4%+"廠上，z=0,1,,...,々+〃2。

2.28設(shè)J與〃為獨(dú)立同分布的離散型隨機(jī)變量，其分布列為

P(J=〃)==n)=*,〃=1,2,…

求J+〃的分布列。

〃-1n-i11n—\

解PC+Z7=〃)=ZPC=%*(〃=〃—%)=Z玄

%=1k=i222

2.29設(shè)隨機(jī)變量J具有分布：PC=A)=(,A=1,2,3,4,5,求EJ、E$及E(J+2)2。

解，二=；(1+2+3+4+5)=3,E^2=1(12+22+32+42+52)=11

E?+2尸=E^2+4+4=27

2.30設(shè)隨機(jī)變量J具有分布：P(&=k)=Lk=l,2「..,求EJ及

2K

解心=￡品立《「=2,喀=落=汽唔J"

DJ=EJ2_(咐=2

2k1

2.31設(shè)離散型隨機(jī)變量J的分布列為：。[4=(一1)"下]=9，4=1,2，一?，問(wèn)J是否有數(shù)學(xué)期

望？

82A[8[8]

解^i(-i)—I-=2L-,因?yàn)榧?jí)數(shù)2上發(fā)散，所以j沒(méi)有數(shù)學(xué)期望。

k=ik2k=ik女=1k

2.32用天平秤某種物品的重量（硅碼僅允許放在一個(gè)秤盤(pán)中），物品的重量以相同的概率為1克、2

克、…、10克，現(xiàn)有三組祛碼：

（甲組）1,2,2,5,10（克）

（乙組）1.2,3,4,10（克）

（丙組）1,1,2,5,10（克）

問(wèn)哪?組祛碼秤重時(shí)所用的平均祛碼數(shù)最少？

解設(shè)④、虞、,分別表示及甲組、乙組、丙組祛碼秤重時(shí)所用的祛碼數(shù)，則有

物品重量度12345678910

41122122331

$1111222331

芻1123122341

于是E&=^（1+1+2+2+14-2+2+3+3+1）=1.8

酸=^j（l+l+1+1+2+2+2+3+3+1）=1.7

陽(yáng)=^（1+1+2+3+1+2+2+3+4+1）=2

所以，用乙組祛碼秤重時(shí)所用的平均祛碼數(shù)最少。

2.33某個(gè)邊長(zhǎng)為500米的正方形場(chǎng)地，用航空測(cè)量法測(cè)得邊長(zhǎng)的誤差為：0米的概率是0.49,±10

米的概率各是0.16,±20米的概率各是0.08,±30米的概率各是0.05,求場(chǎng)地面積的數(shù)學(xué)期望。

解設(shè)場(chǎng)地面積為S米2,邊長(zhǎng)的誤差為4米，則S=6+500）2且

E&=0E&2=2（102x0.16+2（）2x0.08+3（）2x0.05）=186

所以ES=E化+500）2=E$+1000EJ+250000=250186（米？）

2.34對(duì)三架儀器進(jìn)行檢驗(yàn)，各儀器發(fā)生故障是獨(dú)立的，旦概率分別為P|、phPy試證發(fā)生故

障的儀器數(shù)的數(shù)學(xué)P1+P2+P3。

e[1第，?架儀器發(fā)生故障

■第i架儀器未發(fā)生故障一’’

J為發(fā)生故障的儀器數(shù)，則E&=P&=1）=p：,i=1,2,3,

所以=E&[+Ej?+E&3-Pl+P2+〃3.

2.37如果在15000件產(chǎn)品中有1000件不合格品，從中任意抽取150件進(jìn)行檢查，求查得不合格品數(shù)

的數(shù)學(xué)期望。

解設(shè)，

1V1

則的分布列為X11，因而=——。設(shè)4為查得的不合格品數(shù)，則

<15T?J15

150150

4=E/,所以EJ=ZEq=10o

i=li=l

2.38從數(shù)字0,1,…，n中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，求這兩個(gè)數(shù)字之差的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望。

鹿一Z+]

解設(shè)J為所選兩個(gè)數(shù)字之差的絕對(duì)值，則P(J=Z)==——「，％=1,2,?一，〃，

I

于是=￡攵n-k+l2〃n+2

------^￡[(〃+1次"]=

k=1〃(〃+1)4=13

I2)

2.39把數(shù)字1,2,-一，〃任意在排成一列，如果數(shù)字％恰好出現(xiàn)在第女個(gè)位置上，則稱有一個(gè)匹配,

求匹配數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

"學(xué)野黃學(xué)德置上晦的分布列為:(10)

解設(shè)J*=<11-1

0數(shù)字人不在第左個(gè)位置上

\nnJ

1nn

于是E菰=P(短=1)=一,設(shè)匹配數(shù)為4,則/=￡或，因而EJ=￡E氤=1。

nA=Iy

2.40設(shè)J為取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，證明:

⑴后0(“〃)；

n=l

(2)D&=2s/PC>n)~E式E&+1).

n-\

oo

證明⑴由于￡4=2〃「(4=〃)存在，所以該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。從而

n=0

Eg=S〃pc=〃)=XZPG=〃)=￡￡P(guān)C=〃)=￡pc?i)。

n=\〃=1i=li=ln-ii=l

oo

(2)DJ存在,所以級(jí)數(shù)=Z〃2p(j=〃)也絕對(duì)收斂，從而

〃=0

DJ=EJ2+Ej_EJ(EJ+1)=W〃(〃+1)P(J=〃)-E氧EJ+1)

n=l

=ZiP化=〃)一E&(Eg+1)=2￡?P=n)-E氫Ej+1)

n=lZ=1/=1n=i

=2￡”(短〃)-酸(酸+1).

〃=1

2.41在貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為°,試驗(yàn)進(jìn)行到成功與失敗均出現(xiàn)時(shí)停止，求平均試

驗(yàn)次數(shù)。

解設(shè)成功與失敗均出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)為則

尸(J>1)=1.P(J?〃)=p"T+q"T,〃=2,3,…(4=1-p)

oooo

利用上題的結(jié)論，EJ=PCzi)+￡P(guān)C?〃)=i+Z(p"T+。1)

n=2n=2

,p,qp2-p+\

l-p\-qp(l-p)

2.42從一個(gè)裝有"2個(gè)白球、幾個(gè)黑球的袋中摸球，直至摸到白球時(shí)停止。如果(D摸球是為返回的，

(2)摸球是返回的，試對(duì)這兩種不同的摸球方式求：取出黑球數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

解略。

2.43對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如果檢查到第％件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認(rèn)為這批產(chǎn)品合格，如在尚未抽

到第％件時(shí)已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查，且認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格。設(shè)產(chǎn)出數(shù)量很大，可以認(rèn)為每次

檢查到不合格品的概率都是p，問(wèn)平均每批要檢查多少件？

解略。

2.44流水作業(yè)線上生產(chǎn)出的每個(gè)產(chǎn)品為不合格品的概率p,當(dāng)生產(chǎn)出％個(gè)不合格品時(shí)即停工檢修一

次。求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。

解設(shè)第個(gè)不合格出現(xiàn)后到第i個(gè)不合格品出現(xiàn)時(shí)的產(chǎn)品數(shù)為i=l,2,…-，Z.又在兩次檢修

k

之間產(chǎn)品總數(shù)為則盤(pán)

/=1

因。.獨(dú)立同分布，P&=j)=qJ-p,j=1,2,…G?=1—〃)，由此得：

E卻=二tJQj~'P=~1，E&；=fj2q，Tp="

j=iPMP~

。。=崗-(酸)2=

p

心4*,D上沖

2.46設(shè)隨機(jī)變量J與〃獨(dú)立，且方差存在，則有

。（切）=。+（Ej）2.￡>〃+￡）］.（即產(chǎn)（由此并可得￡）（切）？D^D?J）

證明D（5）=E$?fS）2=E針E?f-（酸）2（助）2

=E「Erf-E$（E療+E7回『TE+“E療

=E^Dq-的丫Dj=D/D/］+陽(yáng)了.Drj+'(Eq)2

2.47在整數(shù)。到9中先后按下列兩種情況任取兩個(gè)數(shù)，記為J和〃：(1)第一個(gè)數(shù)取后放回，再取第

二個(gè)數(shù)；(2)第一個(gè)數(shù)取后不放回就取第二個(gè)數(shù)，求在〃=%(0WZW9)的條件下J的分布列。

解⑴P(J=i|〃=攵)=看i=0,1,???,9.

(2)P(J=iI〃=k)=L(z=0,1,---,9,zk),P?=k\〃